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Theorem cdlemc5 30689
Description: Lemma for cdlemc 30691. (Contributed by NM, 26-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemc3.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdlemc3.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdlemc3.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdlemc3.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdlemc3.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdlemc3.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
cdlemc3.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
cdlemc5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( F `  Q
)  =  ( ( Q  .\/  ( R `
 F ) ) 
./\  ( ( F `
 P )  .\/  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
) ) )

Proof of Theorem cdlemc5
StepHypRef Expression
1 simp1l 981 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  ->  K  e.  HL )
2 simp23l 1078 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  ->  Q  e.  A )
3 simp1 957 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
4 simp21 990 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  ->  F  e.  T )
5 cdlemc3.l . . . . . . 7  |-  .<_  =  ( le `  K )
6 cdlemc3.a . . . . . . 7  |-  A  =  ( Atoms `  K )
7 cdlemc3.h . . . . . . 7  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
8 cdlemc3.t . . . . . . 7  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
95, 6, 7, 8ltrnat 30634 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  Q  e.  A
)  ->  ( F `  Q )  e.  A
)
103, 4, 2, 9syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( F `  Q
)  e.  A )
11 cdlemc3.j . . . . . 6  |-  .\/  =  ( join `  K )
125, 11, 6hlatlej2 29870 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A  /\  ( F `  Q )  e.  A )  -> 
( F `  Q
)  .<_  ( Q  .\/  ( F `  Q ) ) )
131, 2, 10, 12syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( F `  Q
)  .<_  ( Q  .\/  ( F `  Q ) ) )
14 simp23 992 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )
15 cdlemc3.r . . . . . 6  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
165, 11, 6, 7, 8, 15trljat1 30660 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  ->  ( Q  .\/  ( R `  F
) )  =  ( Q  .\/  ( F `
 Q ) ) )
173, 4, 14, 16syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( Q  .\/  ( R `  F )
)  =  ( Q 
.\/  ( F `  Q ) ) )
1813, 17breqtrrd 4206 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( F `  Q
)  .<_  ( Q  .\/  ( R `  F ) ) )
19 simp22 991 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
20 cdlemc3.m . . . . 5  |-  ./\  =  ( meet `  K )
215, 11, 20, 6, 7, 8cdlemc2 30686 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) ) )  ->  ( F `  Q )  .<_  ( ( F `  P )  .\/  (
( P  .\/  Q
)  ./\  W )
) )
223, 4, 19, 14, 21syl112anc 1188 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( F `  Q
)  .<_  ( ( F `
 P )  .\/  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
) )
23 hllat 29858 . . . . 5  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
241, 23syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  ->  K  e.  Lat )
25 eqid 2412 . . . . . . 7  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
2625, 6atbase 29784 . . . . . 6  |-  ( Q  e.  A  ->  Q  e.  ( Base `  K
) )
272, 26syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  ->  Q  e.  ( Base `  K ) )
2825, 7, 8ltrncl 30619 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  Q  e.  ( Base `  K ) )  ->  ( F `  Q )  e.  (
Base `  K )
)
293, 4, 27, 28syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( F `  Q
)  e.  ( Base `  K ) )
3025, 7, 8, 15trlcl 30658 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( R `  F )  e.  (
Base `  K )
)
313, 4, 30syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( R `  F
)  e.  ( Base `  K ) )
3225, 11latjcl 14442 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Q  e.  ( Base `  K )  /\  ( R `  F )  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( Q  .\/  ( R `  F ) )  e.  ( Base `  K
) )
3324, 27, 31, 32syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( Q  .\/  ( R `  F )
)  e.  ( Base `  K ) )
34 simp22l 1076 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  ->  P  e.  A )
3525, 6atbase 29784 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
3634, 35syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  ->  P  e.  ( Base `  K ) )
3725, 7, 8ltrncl 30619 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  P  e.  ( Base `  K ) )  ->  ( F `  P )  e.  (
Base `  K )
)
383, 4, 36, 37syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( F `  P
)  e.  ( Base `  K ) )
3925, 11, 6hlatjcl 29861 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  ( P  .\/  Q
)  e.  ( Base `  K ) )
401, 34, 2, 39syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( P  .\/  Q
)  e.  ( Base `  K ) )
41 simp1r 982 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  ->  W  e.  H )
4225, 7lhpbase 30492 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  ( Base `  K
) )
4341, 42syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  ->  W  e.  ( Base `  K ) )
4425, 20latmcl 14443 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  .\/  Q )  e.  ( Base `  K
)  /\  W  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )  e.  ( Base `  K ) )
4524, 40, 43, 44syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( ( P  .\/  Q )  ./\  W )  e.  ( Base `  K
) )
4625, 11latjcl 14442 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F `  P )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )  e.  ( Base `  K ) )  -> 
( ( F `  P )  .\/  (
( P  .\/  Q
)  ./\  W )
)  e.  ( Base `  K ) )
4724, 38, 45, 46syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( ( F `  P )  .\/  (
( P  .\/  Q
)  ./\  W )
)  e.  ( Base `  K ) )
4825, 5, 20latlem12 14470 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( F `  Q )  e.  (
Base `  K )  /\  ( Q  .\/  ( R `  F )
)  e.  ( Base `  K )  /\  (
( F `  P
)  .\/  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W ) )  e.  (
Base `  K )
) )  ->  (
( ( F `  Q )  .<_  ( Q 
.\/  ( R `  F ) )  /\  ( F `  Q ) 
.<_  ( ( F `  P )  .\/  (
( P  .\/  Q
)  ./\  W )
) )  <->  ( F `  Q )  .<_  ( ( Q  .\/  ( R `
 F ) ) 
./\  ( ( F `
 P )  .\/  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
) ) ) )
4924, 29, 33, 47, 48syl13anc 1186 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( ( ( F `
 Q )  .<_  ( Q  .\/  ( R `
 F ) )  /\  ( F `  Q )  .<_  ( ( F `  P ) 
.\/  ( ( P 
.\/  Q )  ./\  W ) ) )  <->  ( F `  Q )  .<_  ( ( Q  .\/  ( R `
 F ) ) 
./\  ( ( F `
 P )  .\/  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
) ) ) )
5018, 22, 49mpbi2and 888 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( F `  Q
)  .<_  ( ( Q 
.\/  ( R `  F ) )  ./\  ( ( F `  P )  .\/  (
( P  .\/  Q
)  ./\  W )
) ) )
51 hlatl 29855 . . . 4  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  AtLat )
521, 51syl 16 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  ->  K  e.  AtLat )
53 simp3r 986 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( F `  P
)  =/=  P )
545, 6, 7, 8, 15trlat 30663 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( F  e.  T  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  ->  ( R `  F )  e.  A
)
553, 19, 4, 53, 54syl112anc 1188 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( R `  F
)  e.  A )
565, 7, 8, 15trlle 30678 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( R `  F )  .<_  W )
573, 4, 56syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( R `  F
)  .<_  W )
58 simp23r 1079 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  ->  -.  Q  .<_  W )
59 nbrne2 4198 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R `  F
)  .<_  W  /\  -.  Q  .<_  W )  -> 
( R `  F
)  =/=  Q )
6059necomd 2658 . . . . . 6  |-  ( ( ( R `  F
)  .<_  W  /\  -.  Q  .<_  W )  ->  Q  =/=  ( R `  F ) )
6157, 58, 60syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  ->  Q  =/=  ( R `  F ) )
62 eqid 2412 . . . . . 6  |-  ( LLines `  K )  =  (
LLines `  K )
6311, 6, 62llni2 30006 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A  /\  ( R `  F )  e.  A )  /\  Q  =/=  ( R `  F ) )  -> 
( Q  .\/  ( R `  F )
)  e.  ( LLines `  K ) )
641, 2, 55, 61, 63syl31anc 1187 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( Q  .\/  ( R `  F )
)  e.  ( LLines `  K ) )
655, 6, 7, 8ltrnat 30634 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  P  e.  A
)  ->  ( F `  P )  e.  A
)
663, 4, 34, 65syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( F `  P
)  e.  A )
675, 11, 6hlatlej1 29869 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  ( F `  P )  e.  A )  ->  P  .<_  ( P  .\/  ( F `  P ) ) )
681, 34, 66, 67syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  ->  P  .<_  ( P  .\/  ( F `  P ) ) )
69 simp3l 985 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  ->  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  ( F `  P ) ) )
70 nbrne2 4198 . . . . . . 7  |-  ( ( P  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P ) ) )  ->  P  =/=  Q )
7168, 69, 70syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  ->  P  =/=  Q )
725, 11, 20, 6, 7lhpat 30537 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  P  =/=  Q ) )  ->  ( ( P 
.\/  Q )  ./\  W )  e.  A )
733, 19, 2, 71, 72syl112anc 1188 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( ( P  .\/  Q )  ./\  W )  e.  A )
7425, 5, 20latmle2 14469 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  .\/  Q )  e.  ( Base `  K
)  /\  W  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )  .<_  W )
7524, 40, 43, 74syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( ( P  .\/  Q )  ./\  W )  .<_  W )
765, 6, 7, 8ltrnel 30633 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( F `  P )  e.  A  /\  -.  ( F `  P )  .<_  W ) )
7776simprd 450 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  -.  ( F `  P )  .<_  W )
783, 4, 19, 77syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  ->  -.  ( F `  P
)  .<_  W )
79 nbrne2 4198 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )  .<_  W  /\  -.  ( F `  P )  .<_  W )  ->  (
( P  .\/  Q
)  ./\  W )  =/=  ( F `  P
) )
8079necomd 2658 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )  .<_  W  /\  -.  ( F `  P )  .<_  W )  ->  ( F `  P )  =/=  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
)
8175, 78, 80syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( F `  P
)  =/=  ( ( P  .\/  Q ) 
./\  W ) )
8211, 6, 62llni2 30006 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( F `  P
)  e.  A  /\  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )  e.  A )  /\  ( F `  P )  =/=  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
)  ->  ( ( F `  P )  .\/  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
)  e.  ( LLines `  K ) )
831, 66, 73, 81, 82syl31anc 1187 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( ( F `  P )  .\/  (
( P  .\/  Q
)  ./\  W )
)  e.  ( LLines `  K ) )
845, 11, 20, 6, 7, 8, 15cdlemc4 30688 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P )
) )  ->  ( Q  .\/  ( R `  F ) )  =/=  ( ( F `  P )  .\/  (
( P  .\/  Q
)  ./\  W )
) )
85843adant3r 1181 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( Q  .\/  ( R `  F )
)  =/=  ( ( F `  P ) 
.\/  ( ( P 
.\/  Q )  ./\  W ) ) )
8625, 20latmcl 14443 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( Q  .\/  ( R `
 F ) )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( ( F `  P )  .\/  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
)  e.  ( Base `  K ) )  -> 
( ( Q  .\/  ( R `  F ) )  ./\  ( ( F `  P )  .\/  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
) )  e.  (
Base `  K )
)
8724, 33, 47, 86syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( ( Q  .\/  ( R `  F ) )  ./\  ( ( F `  P )  .\/  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
) )  e.  (
Base `  K )
)
88 eqid 2412 . . . . . 6  |-  ( 0.
`  K )  =  ( 0. `  K
)
8925, 5, 88, 6atlen0 29805 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  AtLat  /\  ( ( Q  .\/  ( R `  F ) )  ./\  ( ( F `  P )  .\/  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
) )  e.  (
Base `  K )  /\  ( F `  Q
)  e.  A )  /\  ( F `  Q )  .<_  ( ( Q  .\/  ( R `
 F ) ) 
./\  ( ( F `
 P )  .\/  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
) ) )  -> 
( ( Q  .\/  ( R `  F ) )  ./\  ( ( F `  P )  .\/  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
) )  =/=  ( 0. `  K ) )
9052, 87, 10, 50, 89syl31anc 1187 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( ( Q  .\/  ( R `  F ) )  ./\  ( ( F `  P )  .\/  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
) )  =/=  ( 0. `  K ) )
9120, 88, 6, 622llnmat 30018 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( Q  .\/  ( R `  F )
)  e.  ( LLines `  K )  /\  (
( F `  P
)  .\/  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W ) )  e.  (
LLines `  K ) )  /\  ( ( Q 
.\/  ( R `  F ) )  =/=  ( ( F `  P )  .\/  (
( P  .\/  Q
)  ./\  W )
)  /\  ( ( Q  .\/  ( R `  F ) )  ./\  ( ( F `  P )  .\/  (
( P  .\/  Q
)  ./\  W )
) )  =/=  ( 0. `  K ) ) )  ->  ( ( Q  .\/  ( R `  F ) )  ./\  ( ( F `  P )  .\/  (
( P  .\/  Q
)  ./\  W )
) )  e.  A
)
921, 64, 83, 85, 90, 91syl32anc 1192 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( ( Q  .\/  ( R `  F ) )  ./\  ( ( F `  P )  .\/  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
) )  e.  A
)
935, 6atcmp 29806 . . 3  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  ( F `  Q )  e.  A  /\  (
( Q  .\/  ( R `  F )
)  ./\  ( ( F `  P )  .\/  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
) )  e.  A
)  ->  ( ( F `  Q )  .<_  ( ( Q  .\/  ( R `  F ) )  ./\  ( ( F `  P )  .\/  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
) )  <->  ( F `  Q )  =  ( ( Q  .\/  ( R `  F )
)  ./\  ( ( F `  P )  .\/  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
) ) ) )
9452, 10, 92, 93syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( ( F `  Q )  .<_  ( ( Q  .\/  ( R `
 F ) ) 
./\  ( ( F `
 P )  .\/  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
) )  <->  ( F `  Q )  =  ( ( Q  .\/  ( R `  F )
)  ./\  ( ( F `  P )  .\/  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
) ) ) )
9550, 94mpbid 202 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( F `  Q
)  =  ( ( Q  .\/  ( R `
 F ) ) 
./\  ( ( F `
 P )  .\/  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2575   class class class wbr 4180   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   Basecbs 13432   lecple 13499   joincjn 14364   meetcmee 14365   0.cp0 14429   Latclat 14437   Atomscatm 29758   AtLatcal 29759   HLchlt 29845   LLinesclln 29985   LHypclh 30478   LTrncltrn 30595   trLctrl 30652
This theorem is referenced by:  cdlemc  30691
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-op 3791  df-uni 3984  df-iun 4063  df-iin 4064  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-id 4466  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-undef 6510  df-riota 6516  df-map 6987  df-poset 14366  df-plt 14378  df-lub 14394  df-glb 14395  df-join 14396  df-meet 14397  df-p0 14431  df-p1 14432  df-lat 14438  df-clat 14500  df-oposet 29671  df-ol 29673  df-oml 29674  df-covers 29761  df-ats 29762  df-atl 29793  df-cvlat 29817  df-hlat 29846  df-llines 29992  df-psubsp 29997  df-pmap 29998  df-padd 30290  df-lhyp 30482  df-laut 30483  df-ldil 30598  df-ltrn 30599  df-trl 30653
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