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Theorem cdlemc5 31065
Description: Lemma for cdlemc 31067. (Contributed by NM, 26-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemc3.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdlemc3.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdlemc3.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdlemc3.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdlemc3.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdlemc3.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
cdlemc3.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
cdlemc5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( F `  Q
)  =  ( ( Q  .\/  ( R `
 F ) ) 
./\  ( ( F `
 P )  .\/  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
) ) )

Proof of Theorem cdlemc5
StepHypRef Expression
1 simp1l 982 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  ->  K  e.  HL )
2 simp23l 1079 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  ->  Q  e.  A )
3 simp1 958 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
4 simp21 991 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  ->  F  e.  T )
5 cdlemc3.l . . . . . . 7  |-  .<_  =  ( le `  K )
6 cdlemc3.a . . . . . . 7  |-  A  =  ( Atoms `  K )
7 cdlemc3.h . . . . . . 7  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
8 cdlemc3.t . . . . . . 7  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
95, 6, 7, 8ltrnat 31010 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  Q  e.  A
)  ->  ( F `  Q )  e.  A
)
103, 4, 2, 9syl3anc 1185 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( F `  Q
)  e.  A )
11 cdlemc3.j . . . . . 6  |-  .\/  =  ( join `  K )
125, 11, 6hlatlej2 30246 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A  /\  ( F `  Q )  e.  A )  -> 
( F `  Q
)  .<_  ( Q  .\/  ( F `  Q ) ) )
131, 2, 10, 12syl3anc 1185 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( F `  Q
)  .<_  ( Q  .\/  ( F `  Q ) ) )
14 simp23 993 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )
15 cdlemc3.r . . . . . 6  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
165, 11, 6, 7, 8, 15trljat1 31036 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  ->  ( Q  .\/  ( R `  F
) )  =  ( Q  .\/  ( F `
 Q ) ) )
173, 4, 14, 16syl3anc 1185 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( Q  .\/  ( R `  F )
)  =  ( Q 
.\/  ( F `  Q ) ) )
1813, 17breqtrrd 4241 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( F `  Q
)  .<_  ( Q  .\/  ( R `  F ) ) )
19 simp22 992 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
20 cdlemc3.m . . . . 5  |-  ./\  =  ( meet `  K )
215, 11, 20, 6, 7, 8cdlemc2 31062 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) ) )  ->  ( F `  Q )  .<_  ( ( F `  P )  .\/  (
( P  .\/  Q
)  ./\  W )
) )
223, 4, 19, 14, 21syl112anc 1189 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( F `  Q
)  .<_  ( ( F `
 P )  .\/  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
) )
23 hllat 30234 . . . . 5  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
241, 23syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  ->  K  e.  Lat )
25 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
2625, 6atbase 30160 . . . . . 6  |-  ( Q  e.  A  ->  Q  e.  ( Base `  K
) )
272, 26syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  ->  Q  e.  ( Base `  K ) )
2825, 7, 8ltrncl 30995 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  Q  e.  ( Base `  K ) )  ->  ( F `  Q )  e.  (
Base `  K )
)
293, 4, 27, 28syl3anc 1185 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( F `  Q
)  e.  ( Base `  K ) )
3025, 7, 8, 15trlcl 31034 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( R `  F )  e.  (
Base `  K )
)
313, 4, 30syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( R `  F
)  e.  ( Base `  K ) )
3225, 11latjcl 14484 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Q  e.  ( Base `  K )  /\  ( R `  F )  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( Q  .\/  ( R `  F ) )  e.  ( Base `  K
) )
3324, 27, 31, 32syl3anc 1185 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( Q  .\/  ( R `  F )
)  e.  ( Base `  K ) )
34 simp22l 1077 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  ->  P  e.  A )
3525, 6atbase 30160 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
3634, 35syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  ->  P  e.  ( Base `  K ) )
3725, 7, 8ltrncl 30995 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  P  e.  ( Base `  K ) )  ->  ( F `  P )  e.  (
Base `  K )
)
383, 4, 36, 37syl3anc 1185 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( F `  P
)  e.  ( Base `  K ) )
3925, 11, 6hlatjcl 30237 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  ( P  .\/  Q
)  e.  ( Base `  K ) )
401, 34, 2, 39syl3anc 1185 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( P  .\/  Q
)  e.  ( Base `  K ) )
41 simp1r 983 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  ->  W  e.  H )
4225, 7lhpbase 30868 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  ( Base `  K
) )
4341, 42syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  ->  W  e.  ( Base `  K ) )
4425, 20latmcl 14485 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  .\/  Q )  e.  ( Base `  K
)  /\  W  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )  e.  ( Base `  K ) )
4524, 40, 43, 44syl3anc 1185 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( ( P  .\/  Q )  ./\  W )  e.  ( Base `  K
) )
4625, 11latjcl 14484 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F `  P )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )  e.  ( Base `  K ) )  -> 
( ( F `  P )  .\/  (
( P  .\/  Q
)  ./\  W )
)  e.  ( Base `  K ) )
4724, 38, 45, 46syl3anc 1185 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( ( F `  P )  .\/  (
( P  .\/  Q
)  ./\  W )
)  e.  ( Base `  K ) )
4825, 5, 20latlem12 14512 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( F `  Q )  e.  (
Base `  K )  /\  ( Q  .\/  ( R `  F )
)  e.  ( Base `  K )  /\  (
( F `  P
)  .\/  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W ) )  e.  (
Base `  K )
) )  ->  (
( ( F `  Q )  .<_  ( Q 
.\/  ( R `  F ) )  /\  ( F `  Q ) 
.<_  ( ( F `  P )  .\/  (
( P  .\/  Q
)  ./\  W )
) )  <->  ( F `  Q )  .<_  ( ( Q  .\/  ( R `
 F ) ) 
./\  ( ( F `
 P )  .\/  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
) ) ) )
4924, 29, 33, 47, 48syl13anc 1187 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( ( ( F `
 Q )  .<_  ( Q  .\/  ( R `
 F ) )  /\  ( F `  Q )  .<_  ( ( F `  P ) 
.\/  ( ( P 
.\/  Q )  ./\  W ) ) )  <->  ( F `  Q )  .<_  ( ( Q  .\/  ( R `
 F ) ) 
./\  ( ( F `
 P )  .\/  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
) ) ) )
5018, 22, 49mpbi2and 889 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( F `  Q
)  .<_  ( ( Q 
.\/  ( R `  F ) )  ./\  ( ( F `  P )  .\/  (
( P  .\/  Q
)  ./\  W )
) ) )
51 hlatl 30231 . . . 4  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  AtLat )
521, 51syl 16 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  ->  K  e.  AtLat )
53 simp3r 987 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( F `  P
)  =/=  P )
545, 6, 7, 8, 15trlat 31039 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( F  e.  T  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  ->  ( R `  F )  e.  A
)
553, 19, 4, 53, 54syl112anc 1189 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( R `  F
)  e.  A )
565, 7, 8, 15trlle 31054 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( R `  F )  .<_  W )
573, 4, 56syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( R `  F
)  .<_  W )
58 simp23r 1080 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  ->  -.  Q  .<_  W )
59 nbrne2 4233 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R `  F
)  .<_  W  /\  -.  Q  .<_  W )  -> 
( R `  F
)  =/=  Q )
6059necomd 2689 . . . . . 6  |-  ( ( ( R `  F
)  .<_  W  /\  -.  Q  .<_  W )  ->  Q  =/=  ( R `  F ) )
6157, 58, 60syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  ->  Q  =/=  ( R `  F ) )
62 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( LLines `  K )  =  (
LLines `  K )
6311, 6, 62llni2 30382 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A  /\  ( R `  F )  e.  A )  /\  Q  =/=  ( R `  F ) )  -> 
( Q  .\/  ( R `  F )
)  e.  ( LLines `  K ) )
641, 2, 55, 61, 63syl31anc 1188 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( Q  .\/  ( R `  F )
)  e.  ( LLines `  K ) )
655, 6, 7, 8ltrnat 31010 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  P  e.  A
)  ->  ( F `  P )  e.  A
)
663, 4, 34, 65syl3anc 1185 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( F `  P
)  e.  A )
675, 11, 6hlatlej1 30245 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  ( F `  P )  e.  A )  ->  P  .<_  ( P  .\/  ( F `  P ) ) )
681, 34, 66, 67syl3anc 1185 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  ->  P  .<_  ( P  .\/  ( F `  P ) ) )
69 simp3l 986 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  ->  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  ( F `  P ) ) )
70 nbrne2 4233 . . . . . . 7  |-  ( ( P  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P ) ) )  ->  P  =/=  Q )
7168, 69, 70syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  ->  P  =/=  Q )
725, 11, 20, 6, 7lhpat 30913 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  P  =/=  Q ) )  ->  ( ( P 
.\/  Q )  ./\  W )  e.  A )
733, 19, 2, 71, 72syl112anc 1189 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( ( P  .\/  Q )  ./\  W )  e.  A )
7425, 5, 20latmle2 14511 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  .\/  Q )  e.  ( Base `  K
)  /\  W  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )  .<_  W )
7524, 40, 43, 74syl3anc 1185 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( ( P  .\/  Q )  ./\  W )  .<_  W )
765, 6, 7, 8ltrnel 31009 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( F `  P )  e.  A  /\  -.  ( F `  P )  .<_  W ) )
7776simprd 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  -.  ( F `  P )  .<_  W )
783, 4, 19, 77syl3anc 1185 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  ->  -.  ( F `  P
)  .<_  W )
79 nbrne2 4233 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )  .<_  W  /\  -.  ( F `  P )  .<_  W )  ->  (
( P  .\/  Q
)  ./\  W )  =/=  ( F `  P
) )
8079necomd 2689 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )  .<_  W  /\  -.  ( F `  P )  .<_  W )  ->  ( F `  P )  =/=  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
)
8175, 78, 80syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( F `  P
)  =/=  ( ( P  .\/  Q ) 
./\  W ) )
8211, 6, 62llni2 30382 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( F `  P
)  e.  A  /\  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )  e.  A )  /\  ( F `  P )  =/=  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
)  ->  ( ( F `  P )  .\/  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
)  e.  ( LLines `  K ) )
831, 66, 73, 81, 82syl31anc 1188 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( ( F `  P )  .\/  (
( P  .\/  Q
)  ./\  W )
)  e.  ( LLines `  K ) )
845, 11, 20, 6, 7, 8, 15cdlemc4 31064 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P )
) )  ->  ( Q  .\/  ( R `  F ) )  =/=  ( ( F `  P )  .\/  (
( P  .\/  Q
)  ./\  W )
) )
85843adant3r 1182 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( Q  .\/  ( R `  F )
)  =/=  ( ( F `  P ) 
.\/  ( ( P 
.\/  Q )  ./\  W ) ) )
8625, 20latmcl 14485 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( Q  .\/  ( R `
 F ) )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( ( F `  P )  .\/  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
)  e.  ( Base `  K ) )  -> 
( ( Q  .\/  ( R `  F ) )  ./\  ( ( F `  P )  .\/  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
) )  e.  (
Base `  K )
)
8724, 33, 47, 86syl3anc 1185 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( ( Q  .\/  ( R `  F ) )  ./\  ( ( F `  P )  .\/  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
) )  e.  (
Base `  K )
)
88 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( 0.
`  K )  =  ( 0. `  K
)
8925, 5, 88, 6atlen0 30181 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  AtLat  /\  ( ( Q  .\/  ( R `  F ) )  ./\  ( ( F `  P )  .\/  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
) )  e.  (
Base `  K )  /\  ( F `  Q
)  e.  A )  /\  ( F `  Q )  .<_  ( ( Q  .\/  ( R `
 F ) ) 
./\  ( ( F `
 P )  .\/  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
) ) )  -> 
( ( Q  .\/  ( R `  F ) )  ./\  ( ( F `  P )  .\/  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
) )  =/=  ( 0. `  K ) )
9052, 87, 10, 50, 89syl31anc 1188 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( ( Q  .\/  ( R `  F ) )  ./\  ( ( F `  P )  .\/  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
) )  =/=  ( 0. `  K ) )
9120, 88, 6, 622llnmat 30394 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( Q  .\/  ( R `  F )
)  e.  ( LLines `  K )  /\  (
( F `  P
)  .\/  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W ) )  e.  (
LLines `  K ) )  /\  ( ( Q 
.\/  ( R `  F ) )  =/=  ( ( F `  P )  .\/  (
( P  .\/  Q
)  ./\  W )
)  /\  ( ( Q  .\/  ( R `  F ) )  ./\  ( ( F `  P )  .\/  (
( P  .\/  Q
)  ./\  W )
) )  =/=  ( 0. `  K ) ) )  ->  ( ( Q  .\/  ( R `  F ) )  ./\  ( ( F `  P )  .\/  (
( P  .\/  Q
)  ./\  W )
) )  e.  A
)
921, 64, 83, 85, 90, 91syl32anc 1193 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( ( Q  .\/  ( R `  F ) )  ./\  ( ( F `  P )  .\/  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
) )  e.  A
)
935, 6atcmp 30182 . . 3  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  ( F `  Q )  e.  A  /\  (
( Q  .\/  ( R `  F )
)  ./\  ( ( F `  P )  .\/  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
) )  e.  A
)  ->  ( ( F `  Q )  .<_  ( ( Q  .\/  ( R `  F ) )  ./\  ( ( F `  P )  .\/  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
) )  <->  ( F `  Q )  =  ( ( Q  .\/  ( R `  F )
)  ./\  ( ( F `  P )  .\/  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
) ) ) )
9452, 10, 92, 93syl3anc 1185 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( ( F `  Q )  .<_  ( ( Q  .\/  ( R `
 F ) ) 
./\  ( ( F `
 P )  .\/  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
) )  <->  ( F `  Q )  =  ( ( Q  .\/  ( R `  F )
)  ./\  ( ( F `  P )  .\/  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
) ) ) )
9550, 94mpbid 203 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( F `  Q
)  =  ( ( Q  .\/  ( R `
 F ) ) 
./\  ( ( F `
 P )  .\/  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   class class class wbr 4215   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   Basecbs 13474   lecple 13541   joincjn 14406   meetcmee 14407   0.cp0 14471   Latclat 14479   Atomscatm 30134   AtLatcal 30135   HLchlt 30221   LLinesclln 30361   LHypclh 30854   LTrncltrn 30971   trLctrl 31028
This theorem is referenced by:  cdlemc  31067
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-undef 6546  df-riota 6552  df-map 7023  df-poset 14408  df-plt 14420  df-lub 14436  df-glb 14437  df-join 14438  df-meet 14439  df-p0 14473  df-p1 14474  df-lat 14480  df-clat 14542  df-oposet 30047  df-ol 30049  df-oml 30050  df-covers 30137  df-ats 30138  df-atl 30169  df-cvlat 30193  df-hlat 30222  df-llines 30368  df-psubsp 30373  df-pmap 30374  df-padd 30666  df-lhyp 30858  df-laut 30859  df-ldil 30974  df-ltrn 30975  df-trl 31029
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