Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme20l2 Unicode version

Theorem cdleme20l2 31132
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113, last paragraph on p. 114, penultimate line.  D,  F,  Y,  G represent s2, f(s), t2, f(t) respectively. (Contributed by NM, 20-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme19.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdleme19.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdleme19.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdleme19.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdleme19.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdleme19.u  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
cdleme19.f  |-  F  =  ( ( S  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  S )  ./\  W )
) )
cdleme19.g  |-  G  =  ( ( T  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  T )  ./\  W )
) )
cdleme19.d  |-  D  =  ( ( R  .\/  S )  ./\  W )
cdleme19.y  |-  Y  =  ( ( R  .\/  T )  ./\  W )
cdleme20.v  |-  V  =  ( ( S  .\/  T )  ./\  W )
Assertion
Ref Expression
cdleme20l2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  ( ( F 
.\/  D )  ./\  ( G  .\/  Y ) )  e.  A )

Proof of Theorem cdleme20l2
StepHypRef Expression
1 simp11l 1066 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  K  e.  HL )
2 hllat 30175 . . . . 5  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
31, 2syl 15 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  K  e.  Lat )
4 simp11r 1067 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  W  e.  H
)
5 simp12l 1068 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  P  e.  A
)
6 simp13l 1070 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  Q  e.  A
)
7 simp22l 1074 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  S  e.  A
)
8 cdleme19.l . . . . . 6  |-  .<_  =  ( le `  K )
9 cdleme19.j . . . . . 6  |-  .\/  =  ( join `  K )
10 cdleme19.m . . . . . 6  |-  ./\  =  ( meet `  K )
11 cdleme19.a . . . . . 6  |-  A  =  ( Atoms `  K )
12 cdleme19.h . . . . . 6  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
13 cdleme19.u . . . . . 6  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
14 cdleme19.f . . . . . 6  |-  F  =  ( ( S  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  S )  ./\  W )
) )
15 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
168, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15cdleme1b 31037 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  S  e.  A ) )  ->  F  e.  ( Base `  K ) )
171, 4, 5, 6, 7, 16syl23anc 1189 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  F  e.  (
Base `  K )
)
18 simp21l 1072 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  R  e.  A
)
19 cdleme19.d . . . . . 6  |-  D  =  ( ( R  .\/  S )  ./\  W )
208, 9, 10, 11, 12, 19, 15cdlemedb 31108 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A ) )  ->  D  e.  ( Base `  K ) )
211, 4, 18, 7, 20syl22anc 1183 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  D  e.  (
Base `  K )
)
22 simp23l 1076 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  T  e.  A
)
23 cdleme19.g . . . . . 6  |-  G  =  ( ( T  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  T )  ./\  W )
) )
248, 9, 10, 11, 12, 13, 23, 15cdleme1b 31037 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  T  e.  A ) )  ->  G  e.  ( Base `  K ) )
251, 4, 5, 6, 22, 24syl23anc 1189 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  G  e.  (
Base `  K )
)
26 cdleme19.y . . . . . 6  |-  Y  =  ( ( R  .\/  T )  ./\  W )
278, 9, 10, 11, 12, 26, 15cdlemedb 31108 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( R  e.  A  /\  T  e.  A ) )  ->  Y  e.  ( Base `  K ) )
281, 4, 18, 22, 27syl22anc 1183 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  Y  e.  (
Base `  K )
)
2915, 9latj4 14223 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  ( Base `  K )  /\  D  e.  ( Base `  K ) )  /\  ( G  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K ) ) )  ->  ( ( F 
.\/  D )  .\/  ( G  .\/  Y ) )  =  ( ( F  .\/  G ) 
.\/  ( D  .\/  Y ) ) )
303, 17, 21, 25, 28, 29syl122anc 1191 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  ( ( F 
.\/  D )  .\/  ( G  .\/  Y ) )  =  ( ( F  .\/  G ) 
.\/  ( D  .\/  Y ) ) )
31 simp1 955 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) ) )
32 simp22 989 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )
33 simp23 990 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )
34 simp21 988 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )
35 simp31 991 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )
36 simp321 1105 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )
37 simp322 1106 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )
3836, 37jca 518 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )
39 simp323 1107 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  R  .<_  ( P 
.\/  Q ) )
40 cdleme20.v . . . . . . 7  |-  V  =  ( ( S  .\/  T )  ./\  W )
418, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 23, 19, 26, 40cdleme20d 31123 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( ( F  .\/  G )  ./\  ( D  .\/  Y ) )  =  V )
4231, 32, 33, 34, 35, 38, 39, 41syl133anc 1205 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  ( ( F 
.\/  G )  ./\  ( D  .\/  Y ) )  =  V )
43 simp22r 1075 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  -.  S  .<_  W )
44 simp31r 1079 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  S  =/=  T
)
458, 9, 10, 11, 12, 40lhpat2 30856 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  S  =/=  T ) )  ->  V  e.  A
)
461, 4, 7, 43, 22, 44, 45syl222anc 1198 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  V  e.  A
)
4742, 46eqeltrd 2370 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  ( ( F 
.\/  G )  ./\  ( D  .\/  Y ) )  e.  A )
48 simp11 985 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
49 simp12 986 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
50 simp13 987 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )
51 simp31l 1078 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  P  =/=  Q
)
528, 9, 10, 11, 12, 13, 14cdleme3fa 31047 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  F  e.  A )
5348, 49, 50, 32, 51, 36, 52syl132anc 1200 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  F  e.  A
)
548, 9, 10, 11, 12, 13, 23cdleme3fa 31047 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  G  e.  A )
5548, 49, 50, 33, 51, 37, 54syl132anc 1200 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  G  e.  A
)
56 simp33r 1083 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) )
578, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 23cdleme16b 31090 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  U  .<_  ( S 
.\/  T ) ) )  ->  F  =/=  G )
5831, 32, 33, 35, 36, 37, 56, 57syl133anc 1205 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  F  =/=  G
)
59 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( LLines `  K )  =  (
LLines `  K )
609, 11, 59llni2 30323 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  F  e.  A  /\  G  e.  A )  /\  F  =/=  G
)  ->  ( F  .\/  G )  e.  (
LLines `  K ) )
611, 53, 55, 58, 60syl31anc 1185 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  ( F  .\/  G )  e.  ( LLines `  K ) )
628, 9, 10, 11, 12, 19cdlemeda 31109 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  D  e.  A )
631, 4, 7, 43, 18, 39, 36, 62syl223anc 1208 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  D  e.  A
)
64 simp23r 1077 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  -.  T  .<_  W )
658, 9, 10, 11, 12, 26cdlemeda 31109 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  Y  e.  A )
661, 4, 22, 64, 18, 39, 37, 65syl223anc 1208 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  Y  e.  A
)
67 simp32 992 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )
68 simp33l 1082 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  -.  R  .<_  ( S  .\/  T ) )
698, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 23, 19, 26, 40cdleme20j 31129 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  -.  R  .<_  ( S  .\/  T
) ) )  ->  D  =/=  Y )
7048, 49, 50, 34, 32, 33, 35, 67, 68, 69syl333anc 1214 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  D  =/=  Y
)
719, 11, 59llni2 30323 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  D  e.  A  /\  Y  e.  A )  /\  D  =/=  Y
)  ->  ( D  .\/  Y )  e.  (
LLines `  K ) )
721, 63, 66, 70, 71syl31anc 1185 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  ( D  .\/  Y )  e.  ( LLines `  K ) )
73 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( LPlanes `  K )  =  (
LPlanes `  K )
749, 10, 11, 59, 732llnmj 30371 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( F  .\/  G )  e.  ( LLines `  K
)  /\  ( D  .\/  Y )  e.  (
LLines `  K ) )  ->  ( ( ( F  .\/  G ) 
./\  ( D  .\/  Y ) )  e.  A  <->  ( ( F  .\/  G
)  .\/  ( D  .\/  Y ) )  e.  ( LPlanes `  K )
) )
751, 61, 72, 74syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  ( ( ( F  .\/  G ) 
./\  ( D  .\/  Y ) )  e.  A  <->  ( ( F  .\/  G
)  .\/  ( D  .\/  Y ) )  e.  ( LPlanes `  K )
) )
7647, 75mpbid 201 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  ( ( F 
.\/  G )  .\/  ( D  .\/  Y ) )  e.  ( LPlanes `  K ) )
7730, 76eqeltrd 2370 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  ( ( F 
.\/  D )  .\/  ( G  .\/  Y ) )  e.  ( LPlanes `  K ) )
788, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 23, 19, 26, 40cdleme20l1 31131 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  ( F  .\/  D )  e.  ( LLines `  K )
)
7948, 49, 50, 18, 7, 43, 51, 36, 39, 78syl333anc 1214 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  ( F  .\/  D )  e.  ( LLines `  K ) )
80 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( ( T  .\/  S ) 
./\  W )  =  ( ( T  .\/  S )  ./\  W )
818, 9, 10, 11, 12, 13, 23, 14, 26, 19, 80cdleme20l1 31131 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  ( G  .\/  Y )  e.  ( LLines `  K )
)
8248, 49, 50, 18, 22, 64, 51, 37, 39, 81syl333anc 1214 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  ( G  .\/  Y )  e.  ( LLines `  K ) )
839, 10, 11, 59, 732llnmj 30371 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( F  .\/  D )  e.  ( LLines `  K
)  /\  ( G  .\/  Y )  e.  (
LLines `  K ) )  ->  ( ( ( F  .\/  D ) 
./\  ( G  .\/  Y ) )  e.  A  <->  ( ( F  .\/  D
)  .\/  ( G  .\/  Y ) )  e.  ( LPlanes `  K )
) )
841, 79, 82, 83syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  ( ( ( F  .\/  D ) 
./\  ( G  .\/  Y ) )  e.  A  <->  ( ( F  .\/  D
)  .\/  ( G  .\/  Y ) )  e.  ( LPlanes `  K )
) )
8577, 84mpbird 223 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  ( ( F 
.\/  D )  ./\  ( G  .\/  Y ) )  e.  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   lecple 13231   joincjn 14094   meetcmee 14095   Latclat 14167   Atomscatm 30075   HLchlt 30162   LLinesclln 30302   LPlanesclpl 30303   LHypclh 30795
This theorem is referenced by:  cdleme20l  31133
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-undef 6314  df-riota 6320  df-poset 14096  df-plt 14108  df-lub 14124  df-glb 14125  df-join 14126  df-meet 14127  df-p0 14161  df-p1 14162  df-lat 14168  df-clat 14230  df-oposet 29988  df-ol 29990  df-oml 29991  df-covers 30078  df-ats 30079  df-atl 30110  df-cvlat 30134  df-hlat 30163  df-llines 30309  df-lplanes 30310  df-lvols 30311  df-lines 30312  df-psubsp 30314  df-pmap 30315  df-padd 30607  df-lhyp 30799
  Copyright terms: Public domain W3C validator