Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme21i Structured version   Unicode version

Theorem cdleme21i 31069
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 115. (Contributed by NM, 29-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme21.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdleme21.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdleme21.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdleme21.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdleme21.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdleme21.u  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
cdleme21.f  |-  F  =  ( ( S  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  S )  ./\  W )
) )
cdleme21g.g  |-  G  =  ( ( T  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  T )  ./\  W )
) )
cdleme21g.d  |-  D  =  ( ( R  .\/  S )  ./\  W )
cdleme21g.y  |-  Y  =  ( ( R  .\/  T )  ./\  W )
cdleme21g.n  |-  N  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( F  .\/  D ) )
cdleme21g.o  |-  O  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( G  .\/  Y ) )
Assertion
Ref Expression
cdleme21i  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  -> 
( E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P 
.\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) )  ->  N  =  O ) )
Distinct variable groups:    A, r    F, r    G, r    H, r    .\/ , r    K, r    .<_ , r    ./\ , r    P, r    Q, r    R, r    S, r    T, r    W, r
Allowed substitution hints:    D( r)    U( r)    N( r)    O( r)    Y( r)

Proof of Theorem cdleme21i
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl11 1032 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  /\  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 simp12 988 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  -> 
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
3 simp13 989 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  -> 
( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )
4 simp21l 1074 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  S  e.  A )
52, 3, 43jca 1134 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  -> 
( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  S  e.  A
) )
65adantr 452 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  /\  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r ) ) )  ->  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  S  e.  A
) )
7 simp231 1101 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  P  =/=  Q )
87adantr 452 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  /\  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r ) ) )  ->  P  =/=  Q
)
9 simp232 1102 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) )
109adantr 452 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  /\  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r ) ) )  ->  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )
11 simpr 448 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  /\  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r ) ) )  ->  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r ) ) )
12 cdleme21.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  K )
13 cdleme21.j . . . . 5  |-  .\/  =  ( join `  K )
14 cdleme21.a . . . . 5  |-  A  =  ( Atoms `  K )
15 cdleme21.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
1612, 13, 14, 154atexlem7 30809 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  S  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  E. z  e.  A  ( -.  z  .<_  W  /\  ( P  .\/  z )  =  ( S  .\/  z ) ) )
171, 6, 8, 10, 11, 16syl113anc 1196 . . 3  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  /\  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r ) ) )  ->  E. z  e.  A  ( -.  z  .<_  W  /\  ( P  .\/  z )  =  ( S  .\/  z ) ) )
1817ex 424 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  -> 
( E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P 
.\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) )  ->  E. z  e.  A  ( -.  z  .<_  W  /\  ( P  .\/  z )  =  ( S  .\/  z
) ) ) )
19 cdleme21.m . . 3  |-  ./\  =  ( meet `  K )
20 cdleme21.u . . 3  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
21 cdleme21.f . . 3  |-  F  =  ( ( S  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  S )  ./\  W )
) )
22 cdleme21g.g . . 3  |-  G  =  ( ( T  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  T )  ./\  W )
) )
23 cdleme21g.d . . 3  |-  D  =  ( ( R  .\/  S )  ./\  W )
24 cdleme21g.y . . 3  |-  Y  =  ( ( R  .\/  T )  ./\  W )
25 cdleme21g.n . . 3  |-  N  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( F  .\/  D ) )
26 cdleme21g.o . . 3  |-  O  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( G  .\/  Y ) )
2712, 13, 19, 14, 15, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26cdleme21h 31068 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  -> 
( E. z  e.  A  ( -.  z  .<_  W  /\  ( P 
.\/  z )  =  ( S  .\/  z
) )  ->  N  =  O ) )
2818, 27syld 42 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  -> 
( E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P 
.\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) )  ->  N  =  O ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   E.wrex 2698   class class class wbr 4204   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   lecple 13528   joincjn 14393   meetcmee 14394   Atomscatm 29998   HLchlt 30085   LHypclh 30718
This theorem is referenced by:  cdleme21j  31070
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-undef 6535  df-riota 6541  df-poset 14395  df-plt 14407  df-lub 14423  df-glb 14424  df-join 14425  df-meet 14426  df-p0 14460  df-p1 14461  df-lat 14467  df-clat 14529  df-oposet 29911  df-ol 29913  df-oml 29914  df-covers 30001  df-ats 30002  df-atl 30033  df-cvlat 30057  df-hlat 30086  df-llines 30232  df-lplanes 30233  df-lvols 30234  df-lines 30235  df-psubsp 30237  df-pmap 30238  df-padd 30530  df-lhyp 30722
  Copyright terms: Public domain W3C validator