Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme24 Unicode version

Theorem cdleme24 31163
Description: Quantified version of cdleme21k 31149. (Contributed by NM, 26-Dec-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme24.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cdleme24.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdleme24.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdleme24.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdleme24.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdleme24.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdleme24.u  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
cdleme24.f  |-  F  =  ( ( s  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  s )  ./\  W
) ) )
cdleme24.n  |-  N  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( F  .\/  ( ( R  .\/  s )  ./\  W
) ) )
cdleme24.g  |-  G  =  ( ( t  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  t )  ./\  W
) ) )
cdleme24.o  |-  O  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( G  .\/  ( ( R  .\/  t )  ./\  W
) ) )
Assertion
Ref Expression
cdleme24  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  A. s  e.  A  A. t  e.  A  ( (
( -.  s  .<_  W  /\  -.  s  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  N  =  O ) )
Distinct variable groups:    t, s, A    B, s, t    H, s, t    .\/ , s, t    K, s, t    .<_ , s, t    ./\ , s    P, s, t    Q, s, t    R, s, t    W, s, t
Allowed substitution hints:    U( t, s)    F( t, s)    G( t, s)    ./\ ( t)    N( t,
s)    O( t, s)

Proof of Theorem cdleme24
StepHypRef Expression
1 simp111 1084 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( ( -.  s  .<_  W  /\  -.  s  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 simp112 1085 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( ( -.  s  .<_  W  /\  -.  s  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
3 simp113 1086 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( ( -.  s  .<_  W  /\  -.  s  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )
4 simp12 986 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( ( -.  s  .<_  W  /\  -.  s  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )
5 simp2l 981 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( ( -.  s  .<_  W  /\  -.  s  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  s  e.  A )
6 simp3ll 1026 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( ( -.  s  .<_  W  /\  -.  s  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  -.  s  .<_  W )
75, 6jca 518 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( ( -.  s  .<_  W  /\  -.  s  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )
8 simp2r 982 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( ( -.  s  .<_  W  /\  -.  s  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  t  e.  A )
9 simp3rl 1028 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( ( -.  s  .<_  W  /\  -.  s  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  -.  t  .<_  W )
108, 9jca 518 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( ( -.  s  .<_  W  /\  -.  s  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )
11 simp13l 1070 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( ( -.  s  .<_  W  /\  -.  s  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  P  =/=  Q )
12 simp3lr 1027 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( ( -.  s  .<_  W  /\  -.  s  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  -.  s  .<_  ( P  .\/  Q ) )
13 simp3rr 1029 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( ( -.  s  .<_  W  /\  -.  s  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )
14 simp13r 1071 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( ( -.  s  .<_  W  /\  -.  s  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )
1512, 13, 143jca 1132 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( ( -.  s  .<_  W  /\  -.  s  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  ( -.  s  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )
16 cdleme24.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  K )
17 cdleme24.j . . . . 5  |-  .\/  =  ( join `  K )
18 cdleme24.m . . . . 5  |-  ./\  =  ( meet `  K )
19 cdleme24.a . . . . 5  |-  A  =  ( Atoms `  K )
20 cdleme24.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
21 cdleme24.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
22 cdleme24.f . . . . 5  |-  F  =  ( ( s  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  s )  ./\  W
) ) )
23 cdleme24.g . . . . 5  |-  G  =  ( ( t  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  t )  ./\  W
) ) )
24 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( ( R  .\/  s ) 
./\  W )  =  ( ( R  .\/  s )  ./\  W
)
25 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( ( R  .\/  t ) 
./\  W )  =  ( ( R  .\/  t )  ./\  W
)
26 cdleme24.n . . . . 5  |-  N  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( F  .\/  ( ( R  .\/  s )  ./\  W
) ) )
27 cdleme24.o . . . . 5  |-  O  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( G  .\/  ( ( R  .\/  t )  ./\  W
) ) )
2816, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27cdleme21k 31149 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  N  =  O )
291, 2, 3, 4, 7, 10, 11, 15, 28syl332anc 1213 . . 3  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( ( -.  s  .<_  W  /\  -.  s  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  N  =  O )
30293exp 1150 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  (
( s  e.  A  /\  t  e.  A
)  ->  ( (
( -.  s  .<_  W  /\  -.  s  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  N  =  O ) ) )
3130ralrimivv 2647 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  A. s  e.  A  A. t  e.  A  ( (
( -.  s  .<_  W  /\  -.  s  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  N  =  O ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   lecple 13231   joincjn 14094   meetcmee 14095   Atomscatm 30075   HLchlt 30162   LHypclh 30795
This theorem is referenced by:  cdleme25b  31165
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-undef 6314  df-riota 6320  df-poset 14096  df-plt 14108  df-lub 14124  df-glb 14125  df-join 14126  df-meet 14127  df-p0 14161  df-p1 14162  df-lat 14168  df-clat 14230  df-oposet 29988  df-ol 29990  df-oml 29991  df-covers 30078  df-ats 30079  df-atl 30110  df-cvlat 30134  df-hlat 30163  df-llines 30309  df-lplanes 30310  df-lvols 30311  df-lines 30312  df-psubsp 30314  df-pmap 30315  df-padd 30607  df-lhyp 30799
  Copyright terms: Public domain W3C validator