Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme27a Unicode version

Theorem cdleme27a 31178
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113. cdleme26f 31174 with s and t swapped (this case is not mentioned by them). If s  <_ t  \/ v, then f(s)  <_ fs(t)  \/ v. TODO: FIX COMMENT. (Contributed by NM, 3-Feb-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme26.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cdleme26.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdleme26.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdleme26.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdleme26.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdleme26.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdleme27.u  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
cdleme27.f  |-  F  =  ( ( s  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  s )  ./\  W
) ) )
cdleme27.z  |-  Z  =  ( ( z  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  z )  ./\  W
) ) )
cdleme27.n  |-  N  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( Z  .\/  ( ( s  .\/  z )  ./\  W
) ) )
cdleme27.d  |-  D  =  ( iota_ u  e.  B A. z  e.  A  ( ( -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  u  =  N ) )
cdleme27.c  |-  C  =  if ( s  .<_  ( P  .\/  Q ) ,  D ,  F
)
cdleme27.g  |-  G  =  ( ( t  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  t )  ./\  W
) ) )
cdleme27.o  |-  O  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( Z  .\/  ( ( t  .\/  z )  ./\  W
) ) )
cdleme27.e  |-  E  =  ( iota_ u  e.  B A. z  e.  A  ( ( -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  u  =  O ) )
cdleme27.y  |-  Y  =  if ( t  .<_  ( P  .\/  Q ) ,  E ,  G
)
Assertion
Ref Expression
cdleme27a  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  C  .<_  ( Y  .\/  V ) )
Distinct variable groups:    t, s, u, z, A    B, s,
t, u, z    u, F    u, G    H, s,
t, z    .\/ , s, t, u, z    K, s, t, z    .<_ , s, t, u, z    ./\ , s,
t, u, z    t, N, u    O, s, u    P, s, t, u, z    Q, s, t, u, z    U, s, t, u, z   
z, V    W, s,
t, u, z
Allowed substitution hints:    C( z, u, t, s)    D( z, u, t, s)    E( z, u, t, s)    F( z, t, s)    G( z, t, s)    H( u)    K( u)    N( z, s)    O( z, t)    V( u, t, s)    Y( z, u, t, s)    Z( z, u, t, s)

Proof of Theorem cdleme27a
StepHypRef Expression
1 simp211 1093 . . . . . . 7  |-  ( ( ( s  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  /\  ( t 
.\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 simp221 1096 . . . . . . 7  |-  ( ( ( s  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  /\  ( t 
.\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
3 simp222 1097 . . . . . . 7  |-  ( ( ( s  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  /\  ( t 
.\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  ->  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )
4 simp213 1095 . . . . . . 7  |-  ( ( ( s  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  /\  ( t 
.\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  ->  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )
5 simp223 1098 . . . . . . 7  |-  ( ( ( s  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  /\  ( t 
.\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  ->  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )
6 simp23r 1077 . . . . . . 7  |-  ( ( ( s  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  /\  ( t 
.\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  ->  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )
7 simp212 1094 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( s  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  /\  ( t 
.\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  ->  P  =/=  Q )
8 simp1l 979 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( s  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  /\  ( t 
.\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  ->  s  .<_  ( P  .\/  Q
) )
9 simp1r 980 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( s  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  /\  ( t 
.\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  ->  t  .<_  ( P  .\/  Q
) )
107, 8, 93jca 1132 . . . . . . 7  |-  ( ( ( s  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  /\  ( t 
.\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  ->  ( P  =/=  Q  /\  s  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  t  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )
11 simp3 957 . . . . . . 7  |-  ( ( ( s  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  /\  ( t 
.\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  ->  (
t  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q ) )
12 cdleme26.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  K
)
13 cdleme26.l . . . . . . . 8  |-  .<_  =  ( le `  K )
14 cdleme26.j . . . . . . . 8  |-  .\/  =  ( join `  K )
15 cdleme26.m . . . . . . . 8  |-  ./\  =  ( meet `  K )
16 cdleme26.a . . . . . . . 8  |-  A  =  ( Atoms `  K )
17 cdleme26.h . . . . . . . 8  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
18 cdleme27.u . . . . . . . 8  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
19 cdleme27.z . . . . . . . 8  |-  Z  =  ( ( z  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  z )  ./\  W
) ) )
20 cdleme27.n . . . . . . . 8  |-  N  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( Z  .\/  ( ( s  .\/  z )  ./\  W
) ) )
21 cdleme27.o . . . . . . . 8  |-  O  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( Z  .\/  ( ( t  .\/  z )  ./\  W
) ) )
22 cdleme27.d . . . . . . . 8  |-  D  =  ( iota_ u  e.  B A. z  e.  A  ( ( -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  u  =  N ) )
23 cdleme27.e . . . . . . . 8  |-  E  =  ( iota_ u  e.  B A. z  e.  A  ( ( -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  u  =  O ) )
2412, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23cdleme26ee 31171 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  s  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
t  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  D  .<_  ( E  .\/  V ) )
251, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 11, 24syl332anc 1213 . . . . . 6  |-  ( ( ( s  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  /\  ( t 
.\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  ->  D  .<_  ( E  .\/  V
) )
26253expia 1153 . . . . 5  |-  ( ( ( s  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) ) )  ->  (
( t  .\/  V
)  =  ( P 
.\/  Q )  ->  D  .<_  ( E  .\/  V ) ) )
27 simp1r 980 . . . . . . 7  |-  ( ( ( s  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  /\  ( t 
.\/  V )  =/=  ( P  .\/  Q
) )  ->  t  .<_  ( P  .\/  Q
) )
28 simp11l 1066 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  K  e.  HL )
29283ad2ant2 977 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( s  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  /\  ( t 
.\/  V )  =/=  ( P  .\/  Q
) )  ->  K  e.  HL )
30 simp13l 1070 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  s  e.  A )
31303ad2ant2 977 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( s  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  /\  ( t 
.\/  V )  =/=  ( P  .\/  Q
) )  ->  s  e.  A )
32 simp23l 1076 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  t  e.  A )
33323ad2ant2 977 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( s  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  /\  ( t 
.\/  V )  =/=  ( P  .\/  Q
) )  ->  t  e.  A )
34 simp3ll 1026 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  s  =/=  t )
35343ad2ant2 977 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( s  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  /\  ( t 
.\/  V )  =/=  ( P  .\/  Q
) )  ->  s  =/=  t )
3631, 33, 353jca 1132 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( s  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  /\  ( t 
.\/  V )  =/=  ( P  .\/  Q
) )  ->  (
s  e.  A  /\  t  e.  A  /\  s  =/=  t ) )
37 simp21l 1072 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  P  e.  A )
38373ad2ant2 977 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( s  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  /\  ( t 
.\/  V )  =/=  ( P  .\/  Q
) )  ->  P  e.  A )
39 simp22l 1074 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  Q  e.  A )
40393ad2ant2 977 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( s  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  /\  ( t 
.\/  V )  =/=  ( P  .\/  Q
) )  ->  Q  e.  A )
41 simp212 1094 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( s  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  /\  ( t 
.\/  V )  =/=  ( P  .\/  Q
) )  ->  P  =/=  Q )
42 simp3rl 1028 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  V  e.  A )
43423ad2ant2 977 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( s  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  /\  ( t 
.\/  V )  =/=  ( P  .\/  Q
) )  ->  V  e.  A )
44 simp3 957 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( s  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  /\  ( t 
.\/  V )  =/=  ( P  .\/  Q
) )  ->  (
t  .\/  V )  =/=  ( P  .\/  Q
) )
45 simp3lr 1027 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  s  .<_  ( t  .\/  V ) )
46453ad2ant2 977 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( s  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  /\  ( t 
.\/  V )  =/=  ( P  .\/  Q
) )  ->  s  .<_  ( t  .\/  V
) )
47 simp1l 979 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( s  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  /\  ( t 
.\/  V )  =/=  ( P  .\/  Q
) )  ->  s  .<_  ( P  .\/  Q
) )
4844, 46, 473jca 1132 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( s  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  /\  ( t 
.\/  V )  =/=  ( P  .\/  Q
) )  ->  (
( t  .\/  V
)  =/=  ( P 
.\/  Q )  /\  s  .<_  ( t  .\/  V )  /\  s  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )
4913, 14, 15, 16, 17cdleme22b 31152 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( s  e.  A  /\  t  e.  A  /\  s  =/=  t
) )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  P  =/=  Q )  /\  ( V  e.  A  /\  ( ( t  .\/  V )  =/=  ( P 
.\/  Q )  /\  s  .<_  ( t  .\/  V )  /\  s  .<_  ( P  .\/  Q ) ) ) )  ->  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )
5029, 36, 38, 40, 41, 43, 48, 49syl232anc 1209 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( s  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  /\  ( t 
.\/  V )  =/=  ( P  .\/  Q
) )  ->  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )
5150pm2.21d 98 . . . . . . 7  |-  ( ( ( s  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  /\  ( t 
.\/  V )  =/=  ( P  .\/  Q
) )  ->  (
t  .<_  ( P  .\/  Q )  ->  D  .<_  ( E  .\/  V ) ) )
5227, 51mpd 14 . . . . . 6  |-  ( ( ( s  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  /\  ( t 
.\/  V )  =/=  ( P  .\/  Q
) )  ->  D  .<_  ( E  .\/  V
) )
53523expia 1153 . . . . 5  |-  ( ( ( s  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) ) )  ->  (
( t  .\/  V
)  =/=  ( P 
.\/  Q )  ->  D  .<_  ( E  .\/  V ) ) )
5426, 53pm2.61dne 2536 . . . 4  |-  ( ( ( s  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) ) )  ->  D  .<_  ( E  .\/  V
) )
55 cdleme27.c . . . . . 6  |-  C  =  if ( s  .<_  ( P  .\/  Q ) ,  D ,  F
)
56 iftrue 3584 . . . . . 6  |-  ( s 
.<_  ( P  .\/  Q
)  ->  if (
s  .<_  ( P  .\/  Q ) ,  D ,  F )  =  D )
5755, 56syl5eq 2340 . . . . 5  |-  ( s 
.<_  ( P  .\/  Q
)  ->  C  =  D )
5857ad2antrr 706 . . . 4  |-  ( ( ( s  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) ) )  ->  C  =  D )
59 cdleme27.y . . . . . . 7  |-  Y  =  if ( t  .<_  ( P  .\/  Q ) ,  E ,  G
)
60 iftrue 3584 . . . . . . 7  |-  ( t 
.<_  ( P  .\/  Q
)  ->  if (
t  .<_  ( P  .\/  Q ) ,  E ,  G )  =  E )
6159, 60syl5eq 2340 . . . . . 6  |-  ( t 
.<_  ( P  .\/  Q
)  ->  Y  =  E )
6261oveq1d 5889 . . . . 5  |-  ( t 
.<_  ( P  .\/  Q
)  ->  ( Y  .\/  V )  =  ( E  .\/  V ) )
6362ad2antlr 707 . . . 4  |-  ( ( ( s  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) ) )  ->  ( Y  .\/  V )  =  ( E  .\/  V
) )
6454, 58, 633brtr4d 4069 . . 3  |-  ( ( ( s  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) ) )  ->  C  .<_  ( Y  .\/  V
) )
6564ex 423 . 2  |-  ( ( s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  t  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  (
( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  C  .<_  ( Y  .\/  V ) ) )
66 simpr11 1039 . . . . 5  |-  ( ( ( s  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
67 simpr12 1040 . . . . . 6  |-  ( ( ( s  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) ) )  ->  P  =/=  Q )
68 simpll 730 . . . . . 6  |-  ( ( ( s  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) ) )  ->  s  .<_  ( P  .\/  Q
) )
6967, 68jca 518 . . . . 5  |-  ( ( ( s  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) ) )  ->  ( P  =/=  Q  /\  s  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )
70 simpr23 1044 . . . . 5  |-  ( ( ( s  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) ) )  ->  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )
71 simpr21 1042 . . . . 5  |-  ( ( ( s  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) ) )  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
72 simpr22 1043 . . . . 5  |-  ( ( ( s  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) ) )  ->  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )
73 simpr13 1041 . . . . 5  |-  ( ( ( s  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) ) )  ->  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )
74 simplr 731 . . . . 5  |-  ( ( ( s  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) ) )  ->  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )
75 simpr3l 1016 . . . . 5  |-  ( ( ( s  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) ) )  ->  (
s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V ) ) )
76 simpr3r 1017 . . . . 5  |-  ( ( ( s  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) ) )  ->  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )
77 cdleme27.g . . . . . 6  |-  G  =  ( ( t  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  t )  ./\  W
) ) )
78 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( ( P  .\/  Q ) 
./\  ( G  .\/  ( ( s  .\/  t )  ./\  W
) ) )  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( G  .\/  ( ( s  .\/  t )  ./\  W
) ) )
79 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( iota_ u  e.  B A. t  e.  A  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  ->  u  =  ( ( P  .\/  Q
)  ./\  ( G  .\/  ( ( s  .\/  t )  ./\  W
) ) ) ) )  =  ( iota_ u  e.  B A. t  e.  A  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  ->  u  =  ( ( P  .\/  Q
)  ./\  ( G  .\/  ( ( s  .\/  t )  ./\  W
) ) ) ) )
8019, 20, 77, 78, 22, 79cdleme25cv 31169 . . . . . 6  |-  D  =  ( iota_ u  e.  B A. t  e.  A  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  u  =  ( ( P 
.\/  Q )  ./\  ( G  .\/  ( ( s  .\/  t ) 
./\  W ) ) ) ) )
8112, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 77, 78, 80cdleme26f 31174 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  s  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( -.  t  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  (
s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  D  .<_  ( G  .\/  V ) )
8266, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 81syl333anc 1214 . . . 4  |-  ( ( ( s  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) ) )  ->  D  .<_  ( G  .\/  V
) )
8357ad2antrr 706 . . . 4  |-  ( ( ( s  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) ) )  ->  C  =  D )
84 iffalse 3585 . . . . . . 7  |-  ( -.  t  .<_  ( P  .\/  Q )  ->  if ( t  .<_  ( P 
.\/  Q ) ,  E ,  G )  =  G )
8559, 84syl5eq 2340 . . . . . 6  |-  ( -.  t  .<_  ( P  .\/  Q )  ->  Y  =  G )
8685oveq1d 5889 . . . . 5  |-  ( -.  t  .<_  ( P  .\/  Q )  ->  ( Y  .\/  V )  =  ( G  .\/  V
) )
8786ad2antlr 707 . . . 4  |-  ( ( ( s  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) ) )  ->  ( Y  .\/  V )  =  ( G  .\/  V
) )
8882, 83, 873brtr4d 4069 . . 3  |-  ( ( ( s  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) ) )  ->  C  .<_  ( Y  .\/  V
) )
8988ex 423 . 2  |-  ( ( s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  (
( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  C  .<_  ( Y  .\/  V ) ) )
90 simpr11 1039 . . . . 5  |-  ( ( ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
91 simpr12 1040 . . . . . 6  |-  ( ( ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) ) )  ->  P  =/=  Q )
92 simplr 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) ) )  ->  t  .<_  ( P  .\/  Q
) )
9391, 92jca 518 . . . . 5  |-  ( ( ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) ) )  ->  ( P  =/=  Q  /\  t  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )
94 simpr13 1041 . . . . 5  |-  ( ( ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) ) )  ->  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )
95 simpr21 1042 . . . . 5  |-  ( ( ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) ) )  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
96 simpr22 1043 . . . . 5  |-  ( ( ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) ) )  ->  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )
97 simpr23 1044 . . . . 5  |-  ( ( ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) ) )  ->  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )
98 simpll 730 . . . . 5  |-  ( ( ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) ) )  ->  -.  s  .<_  ( P  .\/  Q ) )
99 simpr3l 1016 . . . . 5  |-  ( ( ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) ) )  ->  (
s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V ) ) )
100 simpr3r 1017 . . . . 5  |-  ( ( ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) ) )  ->  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )
101 cdleme27.f . . . . . 6  |-  F  =  ( ( s  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  s )  ./\  W
) ) )
102 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( ( P  .\/  Q ) 
./\  ( F  .\/  ( ( t  .\/  s )  ./\  W
) ) )  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( F  .\/  ( ( t  .\/  s )  ./\  W
) ) )
103 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( iota_ u  e.  B A. s  e.  A  ( ( -.  s  .<_  W  /\  -.  s  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  ->  u  =  ( ( P  .\/  Q
)  ./\  ( F  .\/  ( ( t  .\/  s )  ./\  W
) ) ) ) )  =  ( iota_ u  e.  B A. s  e.  A  ( ( -.  s  .<_  W  /\  -.  s  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  ->  u  =  ( ( P  .\/  Q
)  ./\  ( F  .\/  ( ( t  .\/  s )  ./\  W
) ) ) ) )
10419, 21, 101, 102, 23, 103cdleme25cv 31169 . . . . . 6  |-  E  =  ( iota_ u  e.  B A. s  e.  A  ( ( -.  s  .<_  W  /\  -.  s  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  u  =  ( ( P 
.\/  Q )  ./\  ( F  .\/  ( ( t  .\/  s ) 
./\  W ) ) ) ) )
10512, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 101, 102, 104cdleme26f2 31176 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  t  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  (
s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  F  .<_  ( E  .\/  V ) )
10690, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 105syl333anc 1214 . . . 4  |-  ( ( ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) ) )  ->  F  .<_  ( E  .\/  V
) )
107 iffalse 3585 . . . . . 6  |-  ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  ->  if ( s  .<_  ( P 
.\/  Q ) ,  D ,  F )  =  F )
10855, 107syl5eq 2340 . . . . 5  |-  ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  ->  C  =  F )
109108ad2antrr 706 . . . 4  |-  ( ( ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) ) )  ->  C  =  F )
11062ad2antlr 707 . . . 4  |-  ( ( ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) ) )  ->  ( Y  .\/  V )  =  ( E  .\/  V
) )
111106, 109, 1103brtr4d 4069 . . 3  |-  ( ( ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) ) )  ->  C  .<_  ( Y  .\/  V
) )
112111ex 423 . 2  |-  ( ( -.  s  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  (
( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  C  .<_  ( Y  .\/  V ) ) )
113 simpr11 1039 . . . . 5  |-  ( ( ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
114 simpr23 1044 . . . . 5  |-  ( ( ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) ) )  ->  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )
115 simplr 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) ) )  ->  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )
116 simpll 730 . . . . . 6  |-  ( ( ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) ) )  ->  -.  s  .<_  ( P  .\/  Q ) )
117 simpr12 1040 . . . . . 6  |-  ( ( ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) ) )  ->  P  =/=  Q )
118115, 116, 1173jca 1132 . . . . 5  |-  ( ( ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) ) )  ->  ( -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  P  =/=  Q ) )
119 simpr21 1042 . . . . 5  |-  ( ( ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) ) )  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
120 simpr22 1043 . . . . 5  |-  ( ( ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) ) )  ->  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )
121 simpr13 1041 . . . . 5  |-  ( ( ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) ) )  ->  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )
122 simpr3l 1016 . . . . 5  |-  ( ( ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) ) )  ->  (
s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V ) ) )
123 simpr3r 1017 . . . . 5  |-  ( ( ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) ) )  ->  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )
12413, 14, 15, 16, 17, 18, 101, 77cdleme22g 31159 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  ( -.  t  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  s  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  P  =/=  Q ) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W )  /\  (
s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  F  .<_  ( G  .\/  V ) )
125113, 114, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124syl323anc 1212 . . . 4  |-  ( ( ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) ) )  ->  F  .<_  ( G  .\/  V
) )
126108ad2antrr 706 . . . 4  |-  ( ( ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) ) )  ->  C  =  F )
12786ad2antlr 707 . . . 4  |-  ( ( ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) ) )  ->  ( Y  .\/  V )  =  ( G  .\/  V
) )
128125, 126, 1273brtr4d 4069 . . 3  |-  ( ( ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) ) )  ->  C  .<_  ( Y  .\/  V
) )
129128ex 423 . 2  |-  ( ( -.  s  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  ->  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  C  .<_  ( Y  .\/  V ) ) )
13065, 89, 112, 1294cases 915 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  C  .<_  ( Y  .\/  V ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   ifcif 3578   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   iota_crio 6313   Basecbs 13164   lecple 13231   joincjn 14094   meetcmee 14095   Atomscatm 30075   HLchlt 30162   LHypclh 30795
This theorem is referenced by:  cdleme27N  31180  cdleme28a  31181
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-undef 6314  df-riota 6320  df-poset 14096  df-plt 14108  df-lub 14124  df-glb 14125  df-join 14126  df-meet 14127  df-p0 14161  df-p1 14162  df-lat 14168  df-clat 14230  df-oposet 29988  df-ol 29990  df-oml 29991  df-covers 30078  df-ats 30079  df-atl 30110  df-cvlat 30134  df-hlat 30163  df-llines 30309  df-lplanes 30310  df-lvols 30311  df-lines 30312  df-psubsp 30314  df-pmap 30315  df-padd 30607  df-lhyp 30799
  Copyright terms: Public domain W3C validator