Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme27a Structured version   Unicode version

Theorem cdleme27a 31226
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113. cdleme26f 31222 with s and t swapped (this case is not mentioned by them). If s  <_ t  \/ v, then f(s)  <_ fs(t)  \/ v. TODO: FIX COMMENT. (Contributed by NM, 3-Feb-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme26.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cdleme26.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdleme26.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdleme26.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdleme26.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdleme26.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdleme27.u  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
cdleme27.f  |-  F  =  ( ( s  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  s )  ./\  W
) ) )
cdleme27.z  |-  Z  =  ( ( z  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  z )  ./\  W
) ) )
cdleme27.n  |-  N  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( Z  .\/  ( ( s  .\/  z )  ./\  W
) ) )
cdleme27.d  |-  D  =  ( iota_ u  e.  B A. z  e.  A  ( ( -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  u  =  N ) )
cdleme27.c  |-  C  =  if ( s  .<_  ( P  .\/  Q ) ,  D ,  F
)
cdleme27.g  |-  G  =  ( ( t  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  t )  ./\  W
) ) )
cdleme27.o  |-  O  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( Z  .\/  ( ( t  .\/  z )  ./\  W
) ) )
cdleme27.e  |-  E  =  ( iota_ u  e.  B A. z  e.  A  ( ( -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  u  =  O ) )
cdleme27.y  |-  Y  =  if ( t  .<_  ( P  .\/  Q ) ,  E ,  G
)
Assertion
Ref Expression
cdleme27a  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  C  .<_  ( Y  .\/  V ) )
Distinct variable groups:    t, s, u, z, A    B, s,
t, u, z    u, F    u, G    H, s,
t, z    .\/ , s, t, u, z    K, s, t, z    .<_ , s, t, u, z    ./\ , s,
t, u, z    t, N, u    O, s, u    P, s, t, u, z    Q, s, t, u, z    U, s, t, u, z   
z, V    W, s,
t, u, z
Allowed substitution hints:    C( z, u, t, s)    D( z, u, t, s)    E( z, u, t, s)    F( z, t, s)    G( z, t, s)    H( u)    K( u)    N( z, s)    O( z, t)    V( u, t, s)    Y( z, u, t, s)    Z( z, u, t, s)

Proof of Theorem cdleme27a
StepHypRef Expression
1 simp211 1096 . . . . . . 7  |-  ( ( ( s  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  /\  ( t 
.\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 simp221 1099 . . . . . . 7  |-  ( ( ( s  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  /\  ( t 
.\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
3 simp222 1100 . . . . . . 7  |-  ( ( ( s  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  /\  ( t 
.\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  ->  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )
4 simp213 1098 . . . . . . 7  |-  ( ( ( s  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  /\  ( t 
.\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  ->  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )
5 simp223 1101 . . . . . . 7  |-  ( ( ( s  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  /\  ( t 
.\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  ->  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )
6 simp23r 1080 . . . . . . 7  |-  ( ( ( s  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  /\  ( t 
.\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  ->  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )
7 simp212 1097 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( s  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  /\  ( t 
.\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  ->  P  =/=  Q )
8 simp1l 982 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( s  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  /\  ( t 
.\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  ->  s  .<_  ( P  .\/  Q
) )
9 simp1r 983 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( s  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  /\  ( t 
.\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  ->  t  .<_  ( P  .\/  Q
) )
107, 8, 93jca 1135 . . . . . . 7  |-  ( ( ( s  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  /\  ( t 
.\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  ->  ( P  =/=  Q  /\  s  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  t  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )
11 simp3 960 . . . . . . 7  |-  ( ( ( s  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  /\  ( t 
.\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  ->  (
t  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q ) )
12 cdleme26.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  K
)
13 cdleme26.l . . . . . . . 8  |-  .<_  =  ( le `  K )
14 cdleme26.j . . . . . . . 8  |-  .\/  =  ( join `  K )
15 cdleme26.m . . . . . . . 8  |-  ./\  =  ( meet `  K )
16 cdleme26.a . . . . . . . 8  |-  A  =  ( Atoms `  K )
17 cdleme26.h . . . . . . . 8  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
18 cdleme27.u . . . . . . . 8  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
19 cdleme27.z . . . . . . . 8  |-  Z  =  ( ( z  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  z )  ./\  W
) ) )
20 cdleme27.n . . . . . . . 8  |-  N  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( Z  .\/  ( ( s  .\/  z )  ./\  W
) ) )
21 cdleme27.o . . . . . . . 8  |-  O  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( Z  .\/  ( ( t  .\/  z )  ./\  W
) ) )
22 cdleme27.d . . . . . . . 8  |-  D  =  ( iota_ u  e.  B A. z  e.  A  ( ( -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  u  =  N ) )
23 cdleme27.e . . . . . . . 8  |-  E  =  ( iota_ u  e.  B A. z  e.  A  ( ( -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  u  =  O ) )
2412, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23cdleme26ee 31219 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  s  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
t  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  D  .<_  ( E  .\/  V ) )
251, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 11, 24syl332anc 1216 . . . . . 6  |-  ( ( ( s  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  /\  ( t 
.\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  ->  D  .<_  ( E  .\/  V
) )
26253expia 1156 . . . . 5  |-  ( ( ( s  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) ) )  ->  (
( t  .\/  V
)  =  ( P 
.\/  Q )  ->  D  .<_  ( E  .\/  V ) ) )
27 simp1r 983 . . . . . . 7  |-  ( ( ( s  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  /\  ( t 
.\/  V )  =/=  ( P  .\/  Q
) )  ->  t  .<_  ( P  .\/  Q
) )
28 simp11l 1069 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  K  e.  HL )
29283ad2ant2 980 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( s  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  /\  ( t 
.\/  V )  =/=  ( P  .\/  Q
) )  ->  K  e.  HL )
30 simp13l 1073 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  s  e.  A )
31303ad2ant2 980 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( s  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  /\  ( t 
.\/  V )  =/=  ( P  .\/  Q
) )  ->  s  e.  A )
32 simp23l 1079 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  t  e.  A )
33323ad2ant2 980 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( s  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  /\  ( t 
.\/  V )  =/=  ( P  .\/  Q
) )  ->  t  e.  A )
34 simp3ll 1029 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  s  =/=  t )
35343ad2ant2 980 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( s  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  /\  ( t 
.\/  V )  =/=  ( P  .\/  Q
) )  ->  s  =/=  t )
3631, 33, 353jca 1135 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( s  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  /\  ( t 
.\/  V )  =/=  ( P  .\/  Q
) )  ->  (
s  e.  A  /\  t  e.  A  /\  s  =/=  t ) )
37 simp21l 1075 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  P  e.  A )
38373ad2ant2 980 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( s  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  /\  ( t 
.\/  V )  =/=  ( P  .\/  Q
) )  ->  P  e.  A )
39 simp22l 1077 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  Q  e.  A )
40393ad2ant2 980 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( s  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  /\  ( t 
.\/  V )  =/=  ( P  .\/  Q
) )  ->  Q  e.  A )
41 simp212 1097 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( s  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  /\  ( t 
.\/  V )  =/=  ( P  .\/  Q
) )  ->  P  =/=  Q )
42 simp3rl 1031 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  V  e.  A )
43423ad2ant2 980 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( s  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  /\  ( t 
.\/  V )  =/=  ( P  .\/  Q
) )  ->  V  e.  A )
44 simp3 960 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( s  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  /\  ( t 
.\/  V )  =/=  ( P  .\/  Q
) )  ->  (
t  .\/  V )  =/=  ( P  .\/  Q
) )
45 simp3lr 1030 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  s  .<_  ( t  .\/  V ) )
46453ad2ant2 980 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( s  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  /\  ( t 
.\/  V )  =/=  ( P  .\/  Q
) )  ->  s  .<_  ( t  .\/  V
) )
47 simp1l 982 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( s  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  /\  ( t 
.\/  V )  =/=  ( P  .\/  Q
) )  ->  s  .<_  ( P  .\/  Q
) )
4844, 46, 473jca 1135 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( s  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  /\  ( t 
.\/  V )  =/=  ( P  .\/  Q
) )  ->  (
( t  .\/  V
)  =/=  ( P 
.\/  Q )  /\  s  .<_  ( t  .\/  V )  /\  s  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )
4913, 14, 15, 16, 17cdleme22b 31200 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( s  e.  A  /\  t  e.  A  /\  s  =/=  t
) )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  P  =/=  Q )  /\  ( V  e.  A  /\  ( ( t  .\/  V )  =/=  ( P 
.\/  Q )  /\  s  .<_  ( t  .\/  V )  /\  s  .<_  ( P  .\/  Q ) ) ) )  ->  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )
5029, 36, 38, 40, 41, 43, 48, 49syl232anc 1212 . . . . . . 7  |-  ( ( ( s  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  /\  ( t 
.\/  V )  =/=  ( P  .\/  Q
) )  ->  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )
5127, 50pm2.21dd 102 . . . . . 6  |-  ( ( ( s  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  /\  ( t 
.\/  V )  =/=  ( P  .\/  Q
) )  ->  D  .<_  ( E  .\/  V
) )
52513expia 1156 . . . . 5  |-  ( ( ( s  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) ) )  ->  (
( t  .\/  V
)  =/=  ( P 
.\/  Q )  ->  D  .<_  ( E  .\/  V ) ) )
5326, 52pm2.61dne 2683 . . . 4  |-  ( ( ( s  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) ) )  ->  D  .<_  ( E  .\/  V
) )
54 cdleme27.c . . . . . 6  |-  C  =  if ( s  .<_  ( P  .\/  Q ) ,  D ,  F
)
55 iftrue 3747 . . . . . 6  |-  ( s 
.<_  ( P  .\/  Q
)  ->  if (
s  .<_  ( P  .\/  Q ) ,  D ,  F )  =  D )
5654, 55syl5eq 2482 . . . . 5  |-  ( s 
.<_  ( P  .\/  Q
)  ->  C  =  D )
5756ad2antrr 708 . . . 4  |-  ( ( ( s  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) ) )  ->  C  =  D )
58 cdleme27.y . . . . . . 7  |-  Y  =  if ( t  .<_  ( P  .\/  Q ) ,  E ,  G
)
59 iftrue 3747 . . . . . . 7  |-  ( t 
.<_  ( P  .\/  Q
)  ->  if (
t  .<_  ( P  .\/  Q ) ,  E ,  G )  =  E )
6058, 59syl5eq 2482 . . . . . 6  |-  ( t 
.<_  ( P  .\/  Q
)  ->  Y  =  E )
6160oveq1d 6098 . . . . 5  |-  ( t 
.<_  ( P  .\/  Q
)  ->  ( Y  .\/  V )  =  ( E  .\/  V ) )
6261ad2antlr 709 . . . 4  |-  ( ( ( s  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) ) )  ->  ( Y  .\/  V )  =  ( E  .\/  V
) )
6353, 57, 623brtr4d 4244 . . 3  |-  ( ( ( s  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) ) )  ->  C  .<_  ( Y  .\/  V
) )
6463ex 425 . 2  |-  ( ( s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  t  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  (
( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  C  .<_  ( Y  .\/  V ) ) )
65 simpr11 1042 . . . . 5  |-  ( ( ( s  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
66 simpr12 1043 . . . . . 6  |-  ( ( ( s  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) ) )  ->  P  =/=  Q )
67 simpll 732 . . . . . 6  |-  ( ( ( s  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) ) )  ->  s  .<_  ( P  .\/  Q
) )
6866, 67jca 520 . . . . 5  |-  ( ( ( s  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) ) )  ->  ( P  =/=  Q  /\  s  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )
69 simpr23 1047 . . . . 5  |-  ( ( ( s  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) ) )  ->  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )
70 simpr21 1045 . . . . 5  |-  ( ( ( s  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) ) )  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
71 simpr22 1046 . . . . 5  |-  ( ( ( s  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) ) )  ->  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )
72 simpr13 1044 . . . . 5  |-  ( ( ( s  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) ) )  ->  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )
73 simplr 733 . . . . 5  |-  ( ( ( s  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) ) )  ->  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )
74 simpr3l 1019 . . . . 5  |-  ( ( ( s  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) ) )  ->  (
s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V ) ) )
75 simpr3r 1020 . . . . 5  |-  ( ( ( s  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) ) )  ->  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )
76 cdleme27.g . . . . . 6  |-  G  =  ( ( t  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  t )  ./\  W
) ) )
77 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( ( P  .\/  Q ) 
./\  ( G  .\/  ( ( s  .\/  t )  ./\  W
) ) )  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( G  .\/  ( ( s  .\/  t )  ./\  W
) ) )
78 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( iota_ u  e.  B A. t  e.  A  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  ->  u  =  ( ( P  .\/  Q
)  ./\  ( G  .\/  ( ( s  .\/  t )  ./\  W
) ) ) ) )  =  ( iota_ u  e.  B A. t  e.  A  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  ->  u  =  ( ( P  .\/  Q
)  ./\  ( G  .\/  ( ( s  .\/  t )  ./\  W
) ) ) ) )
7919, 20, 76, 77, 22, 78cdleme25cv 31217 . . . . . 6  |-  D  =  ( iota_ u  e.  B A. t  e.  A  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  u  =  ( ( P 
.\/  Q )  ./\  ( G  .\/  ( ( s  .\/  t ) 
./\  W ) ) ) ) )
8012, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 76, 77, 79cdleme26f 31222 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  s  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( -.  t  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  (
s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  D  .<_  ( G  .\/  V ) )
8165, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 80syl333anc 1217 . . . 4  |-  ( ( ( s  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) ) )  ->  D  .<_  ( G  .\/  V
) )
8256ad2antrr 708 . . . 4  |-  ( ( ( s  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) ) )  ->  C  =  D )
83 iffalse 3748 . . . . . . 7  |-  ( -.  t  .<_  ( P  .\/  Q )  ->  if ( t  .<_  ( P 
.\/  Q ) ,  E ,  G )  =  G )
8458, 83syl5eq 2482 . . . . . 6  |-  ( -.  t  .<_  ( P  .\/  Q )  ->  Y  =  G )
8584oveq1d 6098 . . . . 5  |-  ( -.  t  .<_  ( P  .\/  Q )  ->  ( Y  .\/  V )  =  ( G  .\/  V
) )
8685ad2antlr 709 . . . 4  |-  ( ( ( s  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) ) )  ->  ( Y  .\/  V )  =  ( G  .\/  V
) )
8781, 82, 863brtr4d 4244 . . 3  |-  ( ( ( s  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) ) )  ->  C  .<_  ( Y  .\/  V
) )
8887ex 425 . 2  |-  ( ( s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  (
( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  C  .<_  ( Y  .\/  V ) ) )
89 simpr11 1042 . . . . 5  |-  ( ( ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
90 simpr12 1043 . . . . . 6  |-  ( ( ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) ) )  ->  P  =/=  Q )
91 simplr 733 . . . . . 6  |-  ( ( ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) ) )  ->  t  .<_  ( P  .\/  Q
) )
9290, 91jca 520 . . . . 5  |-  ( ( ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) ) )  ->  ( P  =/=  Q  /\  t  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )
93 simpr13 1044 . . . . 5  |-  ( ( ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) ) )  ->  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )
94 simpr21 1045 . . . . 5  |-  ( ( ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) ) )  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
95 simpr22 1046 . . . . 5  |-  ( ( ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) ) )  ->  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )
96 simpr23 1047 . . . . 5  |-  ( ( ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) ) )  ->  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )
97 simpll 732 . . . . 5  |-  ( ( ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) ) )  ->  -.  s  .<_  ( P  .\/  Q ) )
98 simpr3l 1019 . . . . 5  |-  ( ( ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) ) )  ->  (
s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V ) ) )
99 simpr3r 1020 . . . . 5  |-  ( ( ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) ) )  ->  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )
100 cdleme27.f . . . . . 6  |-  F  =  ( ( s  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  s )  ./\  W
) ) )
101 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( ( P  .\/  Q ) 
./\  ( F  .\/  ( ( t  .\/  s )  ./\  W
) ) )  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( F  .\/  ( ( t  .\/  s )  ./\  W
) ) )
102 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( iota_ u  e.  B A. s  e.  A  ( ( -.  s  .<_  W  /\  -.  s  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  ->  u  =  ( ( P  .\/  Q
)  ./\  ( F  .\/  ( ( t  .\/  s )  ./\  W
) ) ) ) )  =  ( iota_ u  e.  B A. s  e.  A  ( ( -.  s  .<_  W  /\  -.  s  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  ->  u  =  ( ( P  .\/  Q
)  ./\  ( F  .\/  ( ( t  .\/  s )  ./\  W
) ) ) ) )
10319, 21, 100, 101, 23, 102cdleme25cv 31217 . . . . . 6  |-  E  =  ( iota_ u  e.  B A. s  e.  A  ( ( -.  s  .<_  W  /\  -.  s  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  u  =  ( ( P 
.\/  Q )  ./\  ( F  .\/  ( ( t  .\/  s ) 
./\  W ) ) ) ) )
10412, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 100, 101, 103cdleme26f2 31224 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  t  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  (
s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  F  .<_  ( E  .\/  V ) )
10589, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 104syl333anc 1217 . . . 4  |-  ( ( ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) ) )  ->  F  .<_  ( E  .\/  V
) )
106 iffalse 3748 . . . . . 6  |-  ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  ->  if ( s  .<_  ( P 
.\/  Q ) ,  D ,  F )  =  F )
10754, 106syl5eq 2482 . . . . 5  |-  ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  ->  C  =  F )
108107ad2antrr 708 . . . 4  |-  ( ( ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) ) )  ->  C  =  F )
10961ad2antlr 709 . . . 4  |-  ( ( ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) ) )  ->  ( Y  .\/  V )  =  ( E  .\/  V
) )
110105, 108, 1093brtr4d 4244 . . 3  |-  ( ( ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) ) )  ->  C  .<_  ( Y  .\/  V
) )
111110ex 425 . 2  |-  ( ( -.  s  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  (
( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  C  .<_  ( Y  .\/  V ) ) )
112 simpr11 1042 . . . . 5  |-  ( ( ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
113 simpr23 1047 . . . . 5  |-  ( ( ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) ) )  ->  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )
114 simplr 733 . . . . . 6  |-  ( ( ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) ) )  ->  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )
115 simpll 732 . . . . . 6  |-  ( ( ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) ) )  ->  -.  s  .<_  ( P  .\/  Q ) )
116 simpr12 1043 . . . . . 6  |-  ( ( ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) ) )  ->  P  =/=  Q )
117114, 115, 1163jca 1135 . . . . 5  |-  ( ( ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) ) )  ->  ( -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  P  =/=  Q ) )
118 simpr21 1045 . . . . 5  |-  ( ( ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) ) )  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
119 simpr22 1046 . . . . 5  |-  ( ( ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) ) )  ->  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )
120 simpr13 1044 . . . . 5  |-  ( ( ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) ) )  ->  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )
121 simpr3l 1019 . . . . 5  |-  ( ( ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) ) )  ->  (
s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V ) ) )
122 simpr3r 1020 . . . . 5  |-  ( ( ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) ) )  ->  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )
12313, 14, 15, 16, 17, 18, 100, 76cdleme22g 31207 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  ( -.  t  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  s  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  P  =/=  Q ) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W )  /\  (
s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  F  .<_  ( G  .\/  V ) )
124112, 113, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123syl323anc 1215 . . . 4  |-  ( ( ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) ) )  ->  F  .<_  ( G  .\/  V
) )
125107ad2antrr 708 . . . 4  |-  ( ( ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) ) )  ->  C  =  F )
12685ad2antlr 709 . . . 4  |-  ( ( ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) ) )  ->  ( Y  .\/  V )  =  ( G  .\/  V
) )
127124, 125, 1263brtr4d 4244 . . 3  |-  ( ( ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) ) )  ->  C  .<_  ( Y  .\/  V
) )
128127ex 425 . 2  |-  ( ( -.  s  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  ->  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  C  .<_  ( Y  .\/  V ) ) )
12964, 88, 111, 1284cases 917 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  C  .<_  ( Y  .\/  V ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707   ifcif 3741   class class class wbr 4214   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   iota_crio 6544   Basecbs 13471   lecple 13538   joincjn 14403   meetcmee 14404   Atomscatm 30123   HLchlt 30210   LHypclh 30843
This theorem is referenced by:  cdleme27N  31228  cdleme28a  31229
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-undef 6545  df-riota 6551  df-poset 14405  df-plt 14417  df-lub 14433  df-glb 14434  df-join 14435  df-meet 14436  df-p0 14470  df-p1 14471  df-lat 14477  df-clat 14539  df-oposet 30036  df-ol 30038  df-oml 30039  df-covers 30126  df-ats 30127  df-atl 30158  df-cvlat 30182  df-hlat 30211  df-llines 30357  df-lplanes 30358  df-lvols 30359  df-lines 30360  df-psubsp 30362  df-pmap 30363  df-padd 30655  df-lhyp 30847
  Copyright terms: Public domain W3C validator