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Theorem cdleme32e 31340
Description: Part of proof of Lemma D in [Crawley] p. 113. (Contributed by NM, 20-Feb-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme32.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cdleme32.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdleme32.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdleme32.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdleme32.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdleme32.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdleme32.u  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
cdleme32.c  |-  C  =  ( ( s  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  s )  ./\  W
) ) )
cdleme32.d  |-  D  =  ( ( t  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  t )  ./\  W
) ) )
cdleme32.e  |-  E  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( D  .\/  ( ( s  .\/  t )  ./\  W
) ) )
cdleme32.i  |-  I  =  ( iota_ y  e.  B A. t  e.  A  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  y  =  E ) )
cdleme32.n  |-  N  =  if ( s  .<_  ( P  .\/  Q ) ,  I ,  C
)
cdleme32.o  |-  O  =  ( iota_ z  e.  B A. s  e.  A  ( ( -.  s  .<_  W  /\  ( s 
.\/  ( x  ./\  W ) )  =  x )  ->  z  =  ( N  .\/  ( x 
./\  W ) ) ) )
cdleme32.f  |-  F  =  ( x  e.  B  |->  if ( ( P  =/=  Q  /\  -.  x  .<_  W ) ,  O ,  x ) )
Assertion
Ref Expression
cdleme32e  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  -.  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W )  /\  (
s  .\/  ( Y  ./\ 
W ) )  =  Y  /\  X  .<_  Y ) )  ->  ( F `  X )  .<_  ( F `  Y
) )
Distinct variable groups:    t, s, x, y, z, A    B, s, t, x, y, z   
y, C    D, s,
y, z    y, E    H, s, t    .\/ , s,
t, x, y, z    K, s, t    .<_ , s, t, x, y, z    ./\ , s,
t, x, y, z   
x, N, z    P, s, t, x, y, z    Q, s, t, x, y, z    U, s, t, x, y, z    W, s, t, x, y, z    X, s, t, x, z   
y, H    y, K    y, Y    z, H    z, K    Y, s, t, x, z
Allowed substitution hints:    C( x, z, t, s)    D( x, t)    E( x, z, t, s)    F( x, y, z, t, s)    H( x)    I( x, y, z, t, s)    K( x)    N( y,
t, s)    O( x, y, z, t, s)    X( y)

Proof of Theorem cdleme32e
StepHypRef Expression
1 simp23l 1079 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  -.  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W )  /\  (
s  .\/  ( Y  ./\ 
W ) )  =  Y  /\  X  .<_  Y ) )  ->  P  =/=  Q )
21pm2.24d 138 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  -.  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W )  /\  (
s  .\/  ( Y  ./\ 
W ) )  =  Y  /\  X  .<_  Y ) )  ->  ( -.  P  =/=  Q  ->  X  .<_  ( N  .\/  ( Y  ./\  W
) ) ) )
3 simp11l 1069 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  -.  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W )  /\  (
s  .\/  ( Y  ./\ 
W ) )  =  Y  /\  X  .<_  Y ) )  ->  K  e.  HL )
4 hllat 30259 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
53, 4syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  -.  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W )  /\  (
s  .\/  ( Y  ./\ 
W ) )  =  Y  /\  X  .<_  Y ) )  ->  K  e.  Lat )
6 simp21l 1075 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  -.  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W )  /\  (
s  .\/  ( Y  ./\ 
W ) )  =  Y  /\  X  .<_  Y ) )  ->  X  e.  B )
7 simp11r 1070 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  -.  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W )  /\  (
s  .\/  ( Y  ./\ 
W ) )  =  Y  /\  X  .<_  Y ) )  ->  W  e.  H )
8 cdleme32.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  K
)
9 cdleme32.h . . . . . . 7  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
108, 9lhpbase 30893 . . . . . 6  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  B )
117, 10syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  -.  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W )  /\  (
s  .\/  ( Y  ./\ 
W ) )  =  Y  /\  X  .<_  Y ) )  ->  W  e.  B )
12 cdleme32.l . . . . . 6  |-  .<_  =  ( le `  K )
13 cdleme32.m . . . . . 6  |-  ./\  =  ( meet `  K )
148, 12, 13latleeqm1 14539 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  ( X  .<_  W  <->  ( X  ./\ 
W )  =  X ) )
155, 6, 11, 14syl3anc 1185 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  -.  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W )  /\  (
s  .\/  ( Y  ./\ 
W ) )  =  Y  /\  X  .<_  Y ) )  ->  ( X  .<_  W  <->  ( X  ./\ 
W )  =  X ) )
168, 13latmcl 14511 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  ( X  ./\  W
)  e.  B )
175, 6, 11, 16syl3anc 1185 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  -.  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W )  /\  (
s  .\/  ( Y  ./\ 
W ) )  =  Y  /\  X  .<_  Y ) )  ->  ( X  ./\  W )  e.  B )
18 simp21r 1076 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  -.  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W )  /\  (
s  .\/  ( Y  ./\ 
W ) )  =  Y  /\  X  .<_  Y ) )  ->  Y  e.  B )
198, 13latmcl 14511 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Y  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  ( Y  ./\  W
)  e.  B )
205, 18, 11, 19syl3anc 1185 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  -.  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W )  /\  (
s  .\/  ( Y  ./\ 
W ) )  =  Y  /\  X  .<_  Y ) )  ->  ( Y  ./\  W )  e.  B )
21 simp11 988 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  -.  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W )  /\  (
s  .\/  ( Y  ./\ 
W ) )  =  Y  /\  X  .<_  Y ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
22 simp12 989 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  -.  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W )  /\  (
s  .\/  ( Y  ./\ 
W ) )  =  Y  /\  X  .<_  Y ) )  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
23 simp13 990 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  -.  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W )  /\  (
s  .\/  ( Y  ./\ 
W ) )  =  Y  /\  X  .<_  Y ) )  ->  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )
24 simp31 994 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  -.  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W )  /\  (
s  .\/  ( Y  ./\ 
W ) )  =  Y  /\  X  .<_  Y ) )  ->  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )
25 cdleme32.j . . . . . . . . 9  |-  .\/  =  ( join `  K )
26 cdleme32.a . . . . . . . . 9  |-  A  =  ( Atoms `  K )
27 cdleme32.u . . . . . . . . 9  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
28 cdleme32.c . . . . . . . . 9  |-  C  =  ( ( s  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  s )  ./\  W
) ) )
29 cdleme32.d . . . . . . . . 9  |-  D  =  ( ( t  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  t )  ./\  W
) ) )
30 cdleme32.e . . . . . . . . 9  |-  E  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( D  .\/  ( ( s  .\/  t )  ./\  W
) ) )
31 cdleme32.i . . . . . . . . 9  |-  I  =  ( iota_ y  e.  B A. t  e.  A  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  y  =  E ) )
32 cdleme32.n . . . . . . . . 9  |-  N  =  if ( s  .<_  ( P  .\/  Q ) ,  I ,  C
)
338, 12, 25, 13, 26, 9, 27, 28, 29, 30, 31, 32cdleme27cl 31261 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
) )  ->  N  e.  B )
3421, 22, 23, 24, 1, 33syl122anc 1194 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  -.  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W )  /\  (
s  .\/  ( Y  ./\ 
W ) )  =  Y  /\  X  .<_  Y ) )  ->  N  e.  B )
358, 25latjcl 14510 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  N  e.  B  /\  ( Y  ./\  W )  e.  B )  -> 
( N  .\/  ( Y  ./\  W ) )  e.  B )
365, 34, 20, 35syl3anc 1185 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  -.  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W )  /\  (
s  .\/  ( Y  ./\ 
W ) )  =  Y  /\  X  .<_  Y ) )  ->  ( N  .\/  ( Y  ./\  W ) )  e.  B
)
37 simp33 996 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  -.  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W )  /\  (
s  .\/  ( Y  ./\ 
W ) )  =  Y  /\  X  .<_  Y ) )  ->  X  .<_  Y )
388, 12, 13latmlem1 14541 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  ( X  .<_  Y  ->  ( X  ./\  W )  .<_  ( Y  ./\  W ) ) )
395, 6, 18, 11, 38syl13anc 1187 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  -.  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W )  /\  (
s  .\/  ( Y  ./\ 
W ) )  =  Y  /\  X  .<_  Y ) )  ->  ( X  .<_  Y  ->  ( X  ./\  W )  .<_  ( Y  ./\  W ) ) )
4037, 39mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  -.  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W )  /\  (
s  .\/  ( Y  ./\ 
W ) )  =  Y  /\  X  .<_  Y ) )  ->  ( X  ./\  W )  .<_  ( Y  ./\  W ) )
418, 12, 25latlej2 14521 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  N  e.  B  /\  ( Y  ./\  W )  e.  B )  -> 
( Y  ./\  W
)  .<_  ( N  .\/  ( Y  ./\  W ) ) )
425, 34, 20, 41syl3anc 1185 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  -.  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W )  /\  (
s  .\/  ( Y  ./\ 
W ) )  =  Y  /\  X  .<_  Y ) )  ->  ( Y  ./\  W )  .<_  ( N  .\/  ( Y 
./\  W ) ) )
438, 12, 5, 17, 20, 36, 40, 42lattrd 14518 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  -.  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W )  /\  (
s  .\/  ( Y  ./\ 
W ) )  =  Y  /\  X  .<_  Y ) )  ->  ( X  ./\  W )  .<_  ( N  .\/  ( Y 
./\  W ) ) )
44 breq1 4240 . . . . 5  |-  ( ( X  ./\  W )  =  X  ->  ( ( X  ./\  W )  .<_  ( N  .\/  ( Y  ./\  W ) )  <-> 
X  .<_  ( N  .\/  ( Y  ./\  W ) ) ) )
4543, 44syl5ibcom 213 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  -.  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W )  /\  (
s  .\/  ( Y  ./\ 
W ) )  =  Y  /\  X  .<_  Y ) )  ->  (
( X  ./\  W
)  =  X  ->  X  .<_  ( N  .\/  ( Y  ./\  W ) ) ) )
4615, 45sylbid 208 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  -.  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W )  /\  (
s  .\/  ( Y  ./\ 
W ) )  =  Y  /\  X  .<_  Y ) )  ->  ( X  .<_  W  ->  X  .<_  ( N  .\/  ( Y  ./\  W ) ) ) )
47 simp22 992 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  -.  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W )  /\  (
s  .\/  ( Y  ./\ 
W ) )  =  Y  /\  X  .<_  Y ) )  ->  -.  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W ) )
48 pm4.53 480 . . . 4  |-  ( -.  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W )  <-> 
( -.  P  =/= 
Q  \/  X  .<_  W ) )
4947, 48sylib 190 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  -.  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W )  /\  (
s  .\/  ( Y  ./\ 
W ) )  =  Y  /\  X  .<_  Y ) )  ->  ( -.  P  =/=  Q  \/  X  .<_  W ) )
502, 46, 49mpjaod 372 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  -.  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W )  /\  (
s  .\/  ( Y  ./\ 
W ) )  =  Y  /\  X  .<_  Y ) )  ->  X  .<_  ( N  .\/  ( Y  ./\  W ) ) )
51 cdleme32.f . . . 4  |-  F  =  ( x  e.  B  |->  if ( ( P  =/=  Q  /\  -.  x  .<_  W ) ,  O ,  x ) )
5251cdleme31fv2 31288 . . 3  |-  ( ( X  e.  B  /\  -.  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W ) )  ->  ( F `  X )  =  X )
536, 47, 52syl2anc 644 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  -.  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W )  /\  (
s  .\/  ( Y  ./\ 
W ) )  =  Y  /\  X  .<_  Y ) )  ->  ( F `  X )  =  X )
54 simp1 958 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  -.  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W )  /\  (
s  .\/  ( Y  ./\ 
W ) )  =  Y  /\  X  .<_  Y ) )  ->  (
( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) ) )
55 simp23 993 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  -.  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W )  /\  (
s  .\/  ( Y  ./\ 
W ) )  =  Y  /\  X  .<_  Y ) )  ->  ( P  =/=  Q  /\  -.  Y  .<_  W ) )
56 simp32 995 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  -.  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W )  /\  (
s  .\/  ( Y  ./\ 
W ) )  =  Y  /\  X  .<_  Y ) )  ->  (
s  .\/  ( Y  ./\ 
W ) )  =  Y )
57 cdleme32.o . . . 4  |-  O  =  ( iota_ z  e.  B A. s  e.  A  ( ( -.  s  .<_  W  /\  ( s 
.\/  ( x  ./\  W ) )  =  x )  ->  z  =  ( N  .\/  ( x 
./\  W ) ) ) )
588, 12, 25, 13, 26, 9, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 57, 51cdleme32a 31336 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( Y  e.  B  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W )  /\  ( s  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  ( F `  Y )  =  ( N  .\/  ( Y 
./\  W ) ) )
5954, 18, 55, 24, 56, 58syl122anc 1194 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  -.  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W )  /\  (
s  .\/  ( Y  ./\ 
W ) )  =  Y  /\  X  .<_  Y ) )  ->  ( F `  Y )  =  ( N  .\/  ( Y  ./\  W ) ) )
6050, 53, 593brtr4d 4267 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  -.  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W )  /\  (
s  .\/  ( Y  ./\ 
W ) )  =  Y  /\  X  .<_  Y ) )  ->  ( F `  X )  .<_  ( F `  Y
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1727    =/= wne 2605   A.wral 2711   ifcif 3763   class class class wbr 4237    e. cmpt 4291   ` cfv 5483  (class class class)co 6110   iota_crio 6571   Basecbs 13500   lecple 13567   joincjn 14432   meetcmee 14433   Latclat 14505   Atomscatm 30159   HLchlt 30246   LHypclh 30879
This theorem is referenced by:  cdleme32f  31341
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-op 3847  df-uni 4040  df-iun 4119  df-iin 4120  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-id 4527  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-undef 6572  df-riota 6578  df-poset 14434  df-plt 14446  df-lub 14462  df-glb 14463  df-join 14464  df-meet 14465  df-p0 14499  df-p1 14500  df-lat 14506  df-clat 14568  df-oposet 30072  df-ol 30074  df-oml 30075  df-covers 30162  df-ats 30163  df-atl 30194  df-cvlat 30218  df-hlat 30247  df-llines 30393  df-lplanes 30394  df-lvols 30395  df-lines 30396  df-psubsp 30398  df-pmap 30399  df-padd 30691  df-lhyp 30883
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