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Theorem cdleme32fva 30444
Description: Part of proof of Lemma D in [Crawley] p. 113. Value of  F at an atom not under  W. (Contributed by NM, 2-Mar-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme32.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cdleme32.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdleme32.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdleme32.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdleme32.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdleme32.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdleme32.u  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
cdleme32.c  |-  C  =  ( ( s  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  s )  ./\  W
) ) )
cdleme32.d  |-  D  =  ( ( t  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  t )  ./\  W
) ) )
cdleme32.e  |-  E  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( D  .\/  ( ( s  .\/  t )  ./\  W
) ) )
cdleme32.i  |-  I  =  ( iota_ y  e.  B A. t  e.  A  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  y  =  E ) )
cdleme32.n  |-  N  =  if ( s  .<_  ( P  .\/  Q ) ,  I ,  C
)
cdleme32.o  |-  O  =  ( iota_ z  e.  B A. s  e.  A  ( ( -.  s  .<_  W  /\  ( s 
.\/  ( x  ./\  W ) )  =  x )  ->  z  =  ( N  .\/  ( x 
./\  W ) ) ) )
cdleme32.f  |-  F  =  ( x  e.  B  |->  if ( ( P  =/=  Q  /\  -.  x  .<_  W ) ,  O ,  x ) )
Assertion
Ref Expression
cdleme32fva  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  ->  [_ R  /  x ]_ O  =  [_ R  /  s ]_ N
)
Distinct variable groups:    t, s, x, y, z, A    B, s, t, x, y, z   
y, C    D, s,
y, z    y, E    H, s, t    .\/ , s,
t, x, y, z    K, s, t    .<_ , s, t, x, y, z    ./\ , s,
t, x, y, z   
x, N, z    P, s, t, x, y, z    Q, s, t, x, y, z    U, s, t, x, y, z    W, s, t, x, y, z    R, s, t, y    y, H    y, K    x, R, z    z, H    z, K
Allowed substitution hints:    C( x, z, t, s)    D( x, t)    E( x, z, t, s)    F( x, y, z, t, s)    H( x)    I( x, y, z, t, s)    K( x)    N( y,
t, s)    O( x, y, z, t, s)

Proof of Theorem cdleme32fva
StepHypRef Expression
1 simp2l 981 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  ->  R  e.  A )
2 cdleme32.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
3 cdleme32.a . . . . 5  |-  A  =  ( Atoms `  K )
42, 3atbase 29297 . . . 4  |-  ( R  e.  A  ->  R  e.  B )
51, 4syl 15 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  ->  R  e.  B )
6 cdleme32.o . . . 4  |-  O  =  ( iota_ z  e.  B A. s  e.  A  ( ( -.  s  .<_  W  /\  ( s 
.\/  ( x  ./\  W ) )  =  x )  ->  z  =  ( N  .\/  ( x 
./\  W ) ) ) )
7 eqid 2316 . . . 4  |-  ( iota_ z  e.  B A. s  e.  A  ( ( -.  s  .<_  W  /\  ( s  .\/  ( R  ./\  W ) )  =  R )  -> 
z  =  ( N 
.\/  ( R  ./\  W ) ) ) )  =  ( iota_ z  e.  B A. s  e.  A  ( ( -.  s  .<_  W  /\  ( s  .\/  ( R  ./\  W ) )  =  R )  -> 
z  =  ( N 
.\/  ( R  ./\  W ) ) ) )
86, 7cdleme31so 30386 . . 3  |-  ( R  e.  B  ->  [_ R  /  x ]_ O  =  ( iota_ z  e.  B A. s  e.  A  ( ( -.  s  .<_  W  /\  ( s 
.\/  ( R  ./\  W ) )  =  R )  ->  z  =  ( N  .\/  ( R 
./\  W ) ) ) ) )
95, 8syl 15 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  ->  [_ R  /  x ]_ O  =  (
iota_ z  e.  B A. s  e.  A  ( ( -.  s  .<_  W  /\  ( s 
.\/  ( R  ./\  W ) )  =  R )  ->  z  =  ( N  .\/  ( R 
./\  W ) ) ) ) )
10 simp1 955 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  ->  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) ) )
11 simp3 957 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  ->  P  =/=  Q )
12 simp2 956 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  ->  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )
13 cdleme32.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  K )
14 cdleme32.j . . . . 5  |-  .\/  =  ( join `  K )
15 cdleme32.m . . . . 5  |-  ./\  =  ( meet `  K )
16 cdleme32.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
17 cdleme32.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
18 cdleme32.c . . . . 5  |-  C  =  ( ( s  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  s )  ./\  W
) ) )
19 cdleme32.d . . . . 5  |-  D  =  ( ( t  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  t )  ./\  W
) ) )
20 cdleme32.e . . . . 5  |-  E  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( D  .\/  ( ( s  .\/  t )  ./\  W
) ) )
21 cdleme32.i . . . . 5  |-  I  =  ( iota_ y  e.  B A. t  e.  A  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  y  =  E ) )
22 cdleme32.n . . . . 5  |-  N  =  if ( s  .<_  ( P  .\/  Q ) ,  I ,  C
)
232, 13, 14, 15, 3, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22cdleme32snb 30443 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) ) )  ->  [_ R  /  s ]_ N  e.  B )
2410, 11, 12, 23syl12anc 1180 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  ->  [_ R  / 
s ]_ N  e.  B
)
25 nfv 1610 . . . . . . . . 9  |-  F/ s  -.  R  .<_  W
26 nfcsb1v 3147 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ s [_ R  /  s ]_ N
2726nfeq2 2463 . . . . . . . . 9  |-  F/ s  z  =  [_ R  /  s ]_ N
2825, 27nfim 1792 . . . . . . . 8  |-  F/ s ( -.  R  .<_  W  ->  z  =  [_ R  /  s ]_ N
)
29 breq1 4063 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  R  ->  (
s  .<_  W  <->  R  .<_  W ) )
3029notbid 285 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  R  ->  ( -.  s  .<_  W  <->  -.  R  .<_  W ) )
31 csbeq1a 3123 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  R  ->  N  =  [_ R  /  s ]_ N )
3231eqeq2d 2327 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  R  ->  (
z  =  N  <->  z  =  [_ R  /  s ]_ N ) )
3330, 32imbi12d 311 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  R  ->  (
( -.  s  .<_  W  ->  z  =  N )  <->  ( -.  R  .<_  W  ->  z  =  [_ R  /  s ]_ N ) ) )
3433ax-gen 1537 . . . . . . . 8  |-  A. s
( s  =  R  ->  ( ( -.  s  .<_  W  ->  z  =  N )  <->  ( -.  R  .<_  W  ->  z  =  [_ R  /  s ]_ N ) ) )
35 ceqsralt 2845 . . . . . . . 8  |-  ( ( F/ s ( -.  R  .<_  W  ->  z  =  [_ R  / 
s ]_ N )  /\  A. s ( s  =  R  ->  ( ( -.  s  .<_  W  -> 
z  =  N )  <-> 
( -.  R  .<_  W  ->  z  =  [_ R  /  s ]_ N
) ) )  /\  R  e.  A )  ->  ( A. s  e.  A  ( s  =  R  ->  ( -.  s  .<_  W  ->  z  =  N ) )  <->  ( -.  R  .<_  W  ->  z  =  [_ R  /  s ]_ N ) ) )
3628, 34, 35mp3an12 1267 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  A  ->  ( A. s  e.  A  ( s  =  R  ->  ( -.  s  .<_  W  ->  z  =  N ) )  <->  ( -.  R  .<_  W  ->  z  =  [_ R  /  s ]_ N ) ) )
3736adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  ->  ( A. s  e.  A  ( s  =  R  ->  ( -.  s  .<_  W  ->  z  =  N ) )  <-> 
( -.  R  .<_  W  ->  z  =  [_ R  /  s ]_ N
) ) )
38373ad2ant2 977 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  ->  ( A. s  e.  A  (
s  =  R  -> 
( -.  s  .<_  W  ->  z  =  N ) )  <->  ( -.  R  .<_  W  ->  z  =  [_ R  /  s ]_ N ) ) )
39 simp11 985 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
40 eqid 2316 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0.
`  K )  =  ( 0. `  K
)
4113, 15, 40, 3, 16lhpmat 30037 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  -> 
( R  ./\  W
)  =  ( 0.
`  K ) )
4239, 12, 41syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  ->  ( R  ./\ 
W )  =  ( 0. `  K ) )
4342adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  -> 
( R  ./\  W
)  =  ( 0.
`  K ) )
4443oveq2d 5916 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  -> 
( s  .\/  ( R  ./\  W ) )  =  ( s  .\/  ( 0. `  K ) ) )
45 simp11l 1066 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  ->  K  e.  HL )
4645adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  ->  K  e.  HL )
47 hlol 29369 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OL )
4846, 47syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  ->  K  e.  OL )
492, 3atbase 29297 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  e.  A  ->  s  e.  B )
5049ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  -> 
s  e.  B )
512, 14, 40olj01 29233 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  OL  /\  s  e.  B )  ->  ( s  .\/  ( 0. `  K ) )  =  s )
5248, 50, 51syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  -> 
( s  .\/  ( 0. `  K ) )  =  s )
5344, 52eqtrd 2348 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  -> 
( s  .\/  ( R  ./\  W ) )  =  s )
5453eqeq1d 2324 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  -> 
( ( s  .\/  ( R  ./\  W ) )  =  R  <->  s  =  R ) )
5543oveq2d 5916 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  -> 
( N  .\/  ( R  ./\  W ) )  =  ( N  .\/  ( 0. `  K ) ) )
56 simpl11 1030 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
57 simpl12 1031 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  -> 
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
58 simpl13 1032 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  -> 
( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )
59 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  -> 
( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )
60 simpl3 960 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  ->  P  =/=  Q )
612, 13, 14, 15, 3, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22cdleme27cl 30373 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
) )  ->  N  e.  B )
6256, 57, 58, 59, 60, 61syl122anc 1191 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  ->  N  e.  B )
632, 14, 40olj01 29233 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  OL  /\  N  e.  B )  ->  ( N  .\/  ( 0. `  K ) )  =  N )
6448, 62, 63syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  -> 
( N  .\/  ( 0. `  K ) )  =  N )
6555, 64eqtrd 2348 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  -> 
( N  .\/  ( R  ./\  W ) )  =  N )
6665eqeq2d 2327 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  -> 
( z  =  ( N  .\/  ( R 
./\  W ) )  <-> 
z  =  N ) )
6754, 66imbi12d 311 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  -> 
( ( ( s 
.\/  ( R  ./\  W ) )  =  R  ->  z  =  ( N  .\/  ( R 
./\  W ) ) )  <->  ( s  =  R  ->  z  =  N ) ) )
6867expr 598 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  s  e.  A )  ->  ( -.  s  .<_  W  -> 
( ( ( s 
.\/  ( R  ./\  W ) )  =  R  ->  z  =  ( N  .\/  ( R 
./\  W ) ) )  <->  ( s  =  R  ->  z  =  N ) ) ) )
6968pm5.74d 238 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  s  e.  A )  ->  (
( -.  s  .<_  W  ->  ( ( s 
.\/  ( R  ./\  W ) )  =  R  ->  z  =  ( N  .\/  ( R 
./\  W ) ) ) )  <->  ( -.  s  .<_  W  ->  (
s  =  R  -> 
z  =  N ) ) ) )
70 impexp 433 . . . . . . 7  |-  ( ( ( -.  s  .<_  W  /\  ( s  .\/  ( R  ./\  W ) )  =  R )  ->  z  =  ( N  .\/  ( R 
./\  W ) ) )  <->  ( -.  s  .<_  W  ->  ( (
s  .\/  ( R  ./\ 
W ) )  =  R  ->  z  =  ( N  .\/  ( R 
./\  W ) ) ) ) )
71 bi2.04 350 . . . . . . 7  |-  ( ( s  =  R  -> 
( -.  s  .<_  W  ->  z  =  N ) )  <->  ( -.  s  .<_  W  ->  (
s  =  R  -> 
z  =  N ) ) )
7269, 70, 713bitr4g 279 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  s  e.  A )  ->  (
( ( -.  s  .<_  W  /\  ( s 
.\/  ( R  ./\  W ) )  =  R )  ->  z  =  ( N  .\/  ( R 
./\  W ) ) )  <->  ( s  =  R  ->  ( -.  s  .<_  W  ->  z  =  N ) ) ) )
7372ralbidva 2593 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  ->  ( A. s  e.  A  (
( -.  s  .<_  W  /\  ( s  .\/  ( R  ./\  W ) )  =  R )  ->  z  =  ( N  .\/  ( R 
./\  W ) ) )  <->  A. s  e.  A  ( s  =  R  ->  ( -.  s  .<_  W  ->  z  =  N ) ) ) )
74 simp2r 982 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  ->  -.  R  .<_  W )
75 biimt 325 . . . . . 6  |-  ( -.  R  .<_  W  ->  ( z  =  [_ R  /  s ]_ N  <->  ( -.  R  .<_  W  -> 
z  =  [_ R  /  s ]_ N
) ) )
7674, 75syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  ->  ( z  =  [_ R  /  s ]_ N  <->  ( -.  R  .<_  W  ->  z  =  [_ R  /  s ]_ N ) ) )
7738, 73, 763bitr4d 276 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  ->  ( A. s  e.  A  (
( -.  s  .<_  W  /\  ( s  .\/  ( R  ./\  W ) )  =  R )  ->  z  =  ( N  .\/  ( R 
./\  W ) ) )  <->  z  =  [_ R  /  s ]_ N
) )
7877adantr 451 . . 3  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  z  e.  B )  ->  ( A. s  e.  A  ( ( -.  s  .<_  W  /\  ( s 
.\/  ( R  ./\  W ) )  =  R )  ->  z  =  ( N  .\/  ( R 
./\  W ) ) )  <->  z  =  [_ R  /  s ]_ N
) )
7924, 78riota5 6372 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  ->  ( iota_ z  e.  B A. s  e.  A  ( ( -.  s  .<_  W  /\  ( s  .\/  ( R  ./\  W ) )  =  R )  -> 
z  =  ( N 
.\/  ( R  ./\  W ) ) ) )  =  [_ R  / 
s ]_ N )
809, 79eqtrd 2348 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  ->  [_ R  /  x ]_ O  =  [_ R  /  s ]_ N
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   A.wal 1531   F/wnf 1535    = wceq 1633    e. wcel 1701    =/= wne 2479   A.wral 2577   [_csb 3115   ifcif 3599   class class class wbr 4060    e. cmpt 4114   ` cfv 5292  (class class class)co 5900   iota_crio 6339   Basecbs 13195   lecple 13262   joincjn 14127   meetcmee 14128   0.cp0 14192   OLcol 29182   Atomscatm 29271   HLchlt 29358   LHypclh 29991
This theorem is referenced by:  cdleme32fva1  30445
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-op 3683  df-uni 3865  df-iun 3944  df-iin 3945  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-id 4346  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-undef 6340  df-riota 6346  df-poset 14129  df-plt 14141  df-lub 14157  df-glb 14158  df-join 14159  df-meet 14160  df-p0 14194  df-p1 14195  df-lat 14201  df-clat 14263  df-oposet 29184  df-ol 29186  df-oml 29187  df-covers 29274  df-ats 29275  df-atl 29306  df-cvlat 29330  df-hlat 29359  df-llines 29505  df-lplanes 29506  df-lvols 29507  df-lines 29508  df-psubsp 29510  df-pmap 29511  df-padd 29803  df-lhyp 29995
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