Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme32sn2awN Structured version   Unicode version

Theorem cdleme32sn2awN 31232
Description: Show that  [_ R  /  s ]_ N is an atom not under  W when  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q ). (Contributed by NM, 6-Mar-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme32.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cdleme32.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdleme32.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdleme32.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdleme32.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdleme32.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdleme32.u  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
cdleme32.c  |-  C  =  ( ( s  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  s )  ./\  W
) ) )
cdleme32.d  |-  D  =  ( ( t  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  t )  ./\  W
) ) )
cdleme32.e  |-  E  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( D  .\/  ( ( s  .\/  t )  ./\  W
) ) )
cdleme32.i  |-  I  =  ( iota_ y  e.  B A. t  e.  A  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  y  =  E ) )
cdleme32.n  |-  N  =  if ( s  .<_  ( P  .\/  Q ) ,  I ,  C
)
Assertion
Ref Expression
cdleme32sn2awN  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  ( [_ R  /  s ]_ N  e.  A  /\  -.  [_ R  / 
s ]_ N  .<_  W ) )
Distinct variable groups:    t, s,
y, A    B, s,
t, y    y, C    D, s, y    y, E    H, s, t    .\/ , s,
t, y    K, s,
t    .<_ , s, t, y    ./\ , s, t, y    P, s, t, y    Q, s, t, y    U, s, t, y    W, s, t, y    R, s, t, y    y, H   
y, K
Allowed substitution hints:    C( t, s)    D( t)    E( t, s)    I( y, t, s)    N( y, t, s)

Proof of Theorem cdleme32sn2awN
StepHypRef Expression
1 cdleme32.b . 2  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 cdleme32.l . 2  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 cdleme32.j . 2  |-  .\/  =  ( join `  K )
4 cdleme32.m . 2  |-  ./\  =  ( meet `  K )
5 cdleme32.a . 2  |-  A  =  ( Atoms `  K )
6 cdleme32.h . 2  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
7 cdleme32.u . 2  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
8 cdleme32.c . 2  |-  C  =  ( ( s  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  s )  ./\  W
) ) )
9 cdleme32.n . 2  |-  N  =  if ( s  .<_  ( P  .\/  Q ) ,  I ,  C
)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9cdlemefr32sn2aw 31202 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  ( [_ R  /  s ]_ N  e.  A  /\  -.  [_ R  / 
s ]_ N  .<_  W ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2600   A.wral 2706   [_csb 3252   ifcif 3740   class class class wbr 4213   ` cfv 5455  (class class class)co 6082   iota_crio 6543   Basecbs 13470   lecple 13537   joincjn 14402   meetcmee 14403   Atomscatm 30062   HLchlt 30149   LHypclh 30782
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-op 3824  df-uni 4017  df-iun 4096  df-iin 4097  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-id 4499  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-undef 6544  df-riota 6550  df-poset 14404  df-plt 14416  df-lub 14432  df-glb 14433  df-join 14434  df-meet 14435  df-p0 14469  df-p1 14470  df-lat 14476  df-clat 14538  df-oposet 29975  df-ol 29977  df-oml 29978  df-covers 30065  df-ats 30066  df-atl 30097  df-cvlat 30121  df-hlat 30150  df-lines 30299  df-psubsp 30301  df-pmap 30302  df-padd 30594  df-lhyp 30786
  Copyright terms: Public domain W3C validator