Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme36a Unicode version

Theorem cdleme36a 30649
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113. TODO: FIX COMMENT (Contributed by NM, 11-Mar-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme36.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cdleme36.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdleme36.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdleme36.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdleme36.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdleme36.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdleme36.u  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
cdleme36.e  |-  E  =  ( ( t  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  t )  ./\  W
) ) )
Assertion
Ref Expression
cdleme36a  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  -.  R  .<_  ( t  .\/  E ) )

Proof of Theorem cdleme36a
StepHypRef Expression
1 simp3r 984 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )
2 simp11l 1066 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  K  e.  HL )
3 simp22l 1074 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  R  e.  A )
4 simp3ll 1026 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  t  e.  A )
5 simp11 985 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
6 simp12 986 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
7 simp13 987 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  Q  e.  A )
8 simp21 988 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  P  =/=  Q )
9 cdleme36.l . . . . . 6  |-  .<_  =  ( le `  K )
10 cdleme36.j . . . . . 6  |-  .\/  =  ( join `  K )
11 cdleme36.m . . . . . 6  |-  ./\  =  ( meet `  K )
12 cdleme36.a . . . . . 6  |-  A  =  ( Atoms `  K )
13 cdleme36.h . . . . . 6  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
14 cdleme36.u . . . . . 6  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
159, 10, 11, 12, 13, 14cdleme0a 30400 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  P  =/=  Q ) )  ->  U  e.  A
)
165, 6, 7, 8, 15syl112anc 1186 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  U  e.  A )
17 simp12l 1068 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  P  e.  A )
18 simp22 989 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )
199, 10, 11, 12, 13, 14cdleme0c 30402 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  ->  U  =/=  R )
205, 17, 7, 18, 19syl121anc 1187 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  U  =/=  R )
2120necomd 2529 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  R  =/=  U )
229, 10, 12hlatexch2 29585 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( R  e.  A  /\  t  e.  A  /\  U  e.  A
)  /\  R  =/=  U )  ->  ( R  .<_  ( t  .\/  U
)  ->  t  .<_  ( R  .\/  U ) ) )
232, 3, 4, 16, 21, 22syl131anc 1195 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  ( R  .<_  ( t  .\/  U )  ->  t  .<_  ( R  .\/  U ) ) )
24 simp3l 983 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )
25 cdleme36.e . . . . . 6  |-  E  =  ( ( t  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  t )  ./\  W
) ) )
269, 10, 11, 12, 13, 14, 25cdleme1 30416 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) ) )  ->  ( t  .\/  E )  =  ( t  .\/  U ) )
275, 17, 7, 24, 26syl13anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  (
t  .\/  E )  =  ( t  .\/  U ) )
2827breq2d 4035 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  ( R  .<_  ( t  .\/  E )  <->  R  .<_  ( t 
.\/  U ) ) )
29 simp23 990 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )
309, 10, 11, 12, 13, 14cdleme4 30427 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  R  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  ->  ( P  .\/  Q )  =  ( R 
.\/  U ) )
315, 17, 7, 18, 29, 30syl131anc 1195 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  ( P  .\/  Q )  =  ( R  .\/  U
) )
3231breq2d 4035 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  (
t  .<_  ( P  .\/  Q )  <->  t  .<_  ( R 
.\/  U ) ) )
3323, 28, 323imtr4d 259 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  ( R  .<_  ( t  .\/  E )  ->  t  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )
341, 33mtod 168 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  -.  R  .<_  ( t  .\/  E ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   lecple 13215   joincjn 14078   meetcmee 14079   Atomscatm 29453   HLchlt 29540   LHypclh 30173
This theorem is referenced by:  cdleme36m  30650
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-undef 6298  df-riota 6304  df-poset 14080  df-plt 14092  df-lub 14108  df-glb 14109  df-join 14110  df-meet 14111  df-p0 14145  df-p1 14146  df-lat 14152  df-clat 14214  df-oposet 29366  df-ol 29368  df-oml 29369  df-covers 29456  df-ats 29457  df-atl 29488  df-cvlat 29512  df-hlat 29541  df-psubsp 29692  df-pmap 29693  df-padd 29985  df-lhyp 30177
  Copyright terms: Public domain W3C validator