Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme40n Unicode version

Theorem cdleme40n 30657
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113. Show that f(x) is one-to-one on  P  .\/  Q line. TODO: FIX COMMENT TODO get rid of '.<' class? (Contributed by NM, 18-Mar-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme40.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cdleme40.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdleme40.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdleme40.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdleme40.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdleme40.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdleme40.u  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
cdleme40.e  |-  E  =  ( ( t  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  t )  ./\  W
) ) )
cdleme40.g  |-  G  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( E  .\/  ( ( s  .\/  t )  ./\  W
) ) )
cdleme40.i  |-  I  =  ( iota_ y  e.  B A. t  e.  A  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  y  =  G ) )
cdleme40.n  |-  N  =  if ( s  .<_  ( P  .\/  Q ) ,  I ,  D
)
cdleme40a1.y  |-  Y  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( E  .\/  ( ( R  .\/  t )  ./\  W
) ) )
cdleme40a1.c  |-  C  =  ( iota_ y  e.  B A. t  e.  A  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  y  =  Y ) )
cdleme40.t  |-  T  =  ( ( v  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  v )  ./\  W
) ) )
cdleme40.f  |-  F  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( T  .\/  ( ( S  .\/  v )  ./\  W
) ) )
cdleme40a1.x  |-  X  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( T  .\/  ( ( u  .\/  v )  ./\  W
) ) )
cdleme40.o  |-  O  =  ( iota_ z  e.  B A. v  e.  A  ( ( -.  v  .<_  W  /\  -.  v  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  z  =  X ) )
cdleme40.v  |-  V  =  if ( u  .<_  ( P  .\/  Q ) ,  O ,  .<  )
cdleme40a1.z  |-  Z  =  ( iota_ z  e.  B A. v  e.  A  ( ( -.  v  .<_  W  /\  -.  v  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  z  =  F ) )
Assertion
Ref Expression
cdleme40n  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  =/= 
S ) )  ->  [_ R  /  s ]_ N  =/=  [_ S  /  u ]_ V )
Distinct variable groups:    v, u, z, A    u, B, v, z    z, F    v, H, z    u,  .\/ , v,
z    v, K, z    u,  .<_ , v, z    u,  ./\ , v, z    u, P, v, z    u, Q, v, z    v, R, z   
u, S, z    u, T    v, U, z    u, W, v, z    v, s, t, y, A    B, s, t, y    E, s   
t, F    t, H, y    .\/ , s, t, y   
t, K, y    .<_ , s, t, y    ./\ , s,
t, y    P, s,
t, y    Q, s,
t, y    R, s,
t, y    t, U, y    W, s, t, y   
y, Y    t, S, v, y    T, s, t, y    v, D    v, I    v, N
Allowed substitution hints:    C( y, z, v, u, t, s)    D( y, z, u, t, s)    R( u)    S( s)    .< ( y, z, v, u, t, s)    T( z, v)    U( u, s)    E( y, z, v, u, t)    F( y, v, u, s)    G( y, z, v, u, t, s)    H( u, s)    I(
y, z, u, t, s)    K( u, s)    N( y, z, u, t, s)    O( y, z, v, u, t, s)    V( y, z, v, u, t, s)    X( y, z, v, u, t, s)    Y( z, v, u, t, s)    Z( y, z, v, u, t, s)

Proof of Theorem cdleme40n
StepHypRef Expression
1 cdleme40.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 fvex 5539 . . . 4  |-  ( Base `  K )  e.  _V
31, 2eqeltri 2353 . . 3  |-  B  e. 
_V
4 nfv 1605 . . . 4  |-  F/ v ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  =/= 
S ) )
5 nfcv 2419 . . . . . 6  |-  F/_ v [_ R  /  s ]_ N
6 cdleme40a1.z . . . . . . 7  |-  Z  =  ( iota_ z  e.  B A. v  e.  A  ( ( -.  v  .<_  W  /\  -.  v  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  z  =  F ) )
7 nfra1 2593 . . . . . . . 8  |-  F/ v A. v  e.  A  ( ( -.  v  .<_  W  /\  -.  v  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  z  =  F )
8 nfcv 2419 . . . . . . . 8  |-  F/_ v B
97, 8nfriota 6314 . . . . . . 7  |-  F/_ v
( iota_ z  e.  B A. v  e.  A  ( ( -.  v  .<_  W  /\  -.  v  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  z  =  F ) )
106, 9nfcxfr 2416 . . . . . 6  |-  F/_ v Z
115, 10nfne 2539 . . . . 5  |-  F/ v
[_ R  /  s ]_ N  =/=  Z
1211a1i 10 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  =/= 
S ) )  ->  F/ v [_ R  / 
s ]_ N  =/=  Z
)
136a1i 10 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  =/= 
S ) )  ->  Z  =  ( iota_ z  e.  B A. v  e.  A  ( ( -.  v  .<_  W  /\  -.  v  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  ->  z  =  F ) ) )
14 neeq2 2455 . . . . 5  |-  ( F  =  Z  ->  ( [_ R  /  s ]_ N  =/=  F  <->  [_ R  /  s ]_ N  =/=  Z ) )
1514adantl 452 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  =/= 
S ) )  /\  F  =  Z )  ->  ( [_ R  / 
s ]_ N  =/=  F  <->  [_ R  /  s ]_ N  =/=  Z ) )
16 simpl11 1030 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  =/= 
S ) )  /\  ( v  e.  A  /\  ( -.  v  .<_  W  /\  -.  v  .<_  ( P  .\/  Q ) ) ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
17 simpl12 1031 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  =/= 
S ) )  /\  ( v  e.  A  /\  ( -.  v  .<_  W  /\  -.  v  .<_  ( P  .\/  Q ) ) ) )  -> 
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
18 simpl13 1032 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  =/= 
S ) )  /\  ( v  e.  A  /\  ( -.  v  .<_  W  /\  -.  v  .<_  ( P  .\/  Q ) ) ) )  -> 
( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )
19 simpl21 1033 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  =/= 
S ) )  /\  ( v  e.  A  /\  ( -.  v  .<_  W  /\  -.  v  .<_  ( P  .\/  Q ) ) ) )  ->  P  =/=  Q )
20 simpl22 1034 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  =/= 
S ) )  /\  ( v  e.  A  /\  ( -.  v  .<_  W  /\  -.  v  .<_  ( P  .\/  Q ) ) ) )  -> 
( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )
21 simpl23 1035 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  =/= 
S ) )  /\  ( v  e.  A  /\  ( -.  v  .<_  W  /\  -.  v  .<_  ( P  .\/  Q ) ) ) )  -> 
( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )
22 simpl3 960 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  =/= 
S ) )  /\  ( v  e.  A  /\  ( -.  v  .<_  W  /\  -.  v  .<_  ( P  .\/  Q ) ) ) )  -> 
( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  =/= 
S ) )
23 simprl 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  =/= 
S ) )  /\  ( v  e.  A  /\  ( -.  v  .<_  W  /\  -.  v  .<_  ( P  .\/  Q ) ) ) )  -> 
v  e.  A )
24 simprrl 740 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  =/= 
S ) )  /\  ( v  e.  A  /\  ( -.  v  .<_  W  /\  -.  v  .<_  ( P  .\/  Q ) ) ) )  ->  -.  v  .<_  W )
25 simprrr 741 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  =/= 
S ) )  /\  ( v  e.  A  /\  ( -.  v  .<_  W  /\  -.  v  .<_  ( P  .\/  Q ) ) ) )  ->  -.  v  .<_  ( P 
.\/  Q ) )
2623, 24, 253jca 1132 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  =/= 
S ) )  /\  ( v  e.  A  /\  ( -.  v  .<_  W  /\  -.  v  .<_  ( P  .\/  Q ) ) ) )  -> 
( v  e.  A  /\  -.  v  .<_  W  /\  -.  v  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )
27 cdleme40.l . . . . . . 7  |-  .<_  =  ( le `  K )
28 cdleme40.j . . . . . . 7  |-  .\/  =  ( join `  K )
29 cdleme40.m . . . . . . 7  |-  ./\  =  ( meet `  K )
30 cdleme40.a . . . . . . 7  |-  A  =  ( Atoms `  K )
31 cdleme40.h . . . . . . 7  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
32 cdleme40.u . . . . . . 7  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
33 cdleme40.e . . . . . . 7  |-  E  =  ( ( t  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  t )  ./\  W
) ) )
34 cdleme40.g . . . . . . 7  |-  G  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( E  .\/  ( ( s  .\/  t )  ./\  W
) ) )
35 cdleme40.i . . . . . . 7  |-  I  =  ( iota_ y  e.  B A. t  e.  A  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  y  =  G ) )
36 cdleme40.n . . . . . . 7  |-  N  =  if ( s  .<_  ( P  .\/  Q ) ,  I ,  D
)
37 cdleme40a1.y . . . . . . 7  |-  Y  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( E  .\/  ( ( R  .\/  t )  ./\  W
) ) )
38 cdleme40a1.c . . . . . . 7  |-  C  =  ( iota_ y  e.  B A. t  e.  A  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  y  =  Y ) )
39 cdleme40.t . . . . . . 7  |-  T  =  ( ( v  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  v )  ./\  W
) ) )
40 cdleme40.f . . . . . . 7  |-  F  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( T  .\/  ( ( S  .\/  v )  ./\  W
) ) )
411, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40cdleme40m 30656 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  R  =/=  S )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  v  .<_  W  /\  -.  v  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  [_ R  /  s ]_ N  =/=  F )
4216, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 26, 41syl332anc 1213 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  =/= 
S ) )  /\  ( v  e.  A  /\  ( -.  v  .<_  W  /\  -.  v  .<_  ( P  .\/  Q ) ) ) )  ->  [_ R  /  s ]_ N  =/=  F
)
4342ex 423 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  =/= 
S ) )  -> 
( ( v  e.  A  /\  ( -.  v  .<_  W  /\  -.  v  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  [_ R  / 
s ]_ N  =/=  F
) )
44 simp1 955 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  =/= 
S ) )  -> 
( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) ) )
45 simp23l 1076 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  =/= 
S ) )  ->  S  e.  A )
46 simp23r 1077 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  =/= 
S ) )  ->  -.  S  .<_  W )
47 simp21 988 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  =/= 
S ) )  ->  P  =/=  Q )
48 simp32 992 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  =/= 
S ) )  ->  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )
491, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 39, 40, 6cdleme25cl 30546 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  Z  e.  B )
5044, 45, 46, 47, 48, 49syl122anc 1191 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  =/= 
S ) )  ->  Z  e.  B )
51 simp11 985 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  =/= 
S ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
52 simp12 986 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  =/= 
S ) )  -> 
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
53 simp13 987 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  =/= 
S ) )  -> 
( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )
5427, 28, 30, 31cdlemb2 30230 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  P  =/= 
Q )  ->  E. v  e.  A  ( -.  v  .<_  W  /\  -.  v  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )
5551, 52, 53, 47, 54syl121anc 1187 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  =/= 
S ) )  ->  E. v  e.  A  ( -.  v  .<_  W  /\  -.  v  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )
564, 12, 13, 15, 43, 50, 55riotasv3d 6353 . . 3  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  =/= 
S ) )  /\  B  e.  _V )  ->  [_ R  /  s ]_ N  =/=  Z
)
573, 56mpan2 652 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  =/= 
S ) )  ->  [_ R  /  s ]_ N  =/=  Z
)
58 cdleme40a1.x . . . 4  |-  X  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( T  .\/  ( ( u  .\/  v )  ./\  W
) ) )
59 cdleme40.o . . . 4  |-  O  =  ( iota_ z  e.  B A. v  e.  A  ( ( -.  v  .<_  W  /\  -.  v  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  z  =  X ) )
60 cdleme40.v . . . 4  |-  V  =  if ( u  .<_  ( P  .\/  Q ) ,  O ,  .<  )
6158, 59, 60, 40, 6cdleme31sn1c 30577 . . 3  |-  ( ( S  e.  A  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  [_ S  /  u ]_ V  =  Z )
6245, 48, 61syl2anc 642 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  =/= 
S ) )  ->  [_ S  /  u ]_ V  =  Z
)
6357, 62neeqtrrd 2470 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  =/= 
S ) )  ->  [_ R  /  s ]_ N  =/=  [_ S  /  u ]_ V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   F/wnf 1531    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788   [_csb 3081   ifcif 3565   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   iota_crio 6297   Basecbs 13148   lecple 13215   joincjn 14078   meetcmee 14079   Atomscatm 29453   HLchlt 29540   LHypclh 30173
This theorem is referenced by:  cdleme40w  30659
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-undef 6298  df-riota 6304  df-poset 14080  df-plt 14092  df-lub 14108  df-glb 14109  df-join 14110  df-meet 14111  df-p0 14145  df-p1 14146  df-lat 14152  df-clat 14214  df-oposet 29366  df-ol 29368  df-oml 29369  df-covers 29456  df-ats 29457  df-atl 29488  df-cvlat 29512  df-hlat 29541  df-llines 29687  df-lplanes 29688  df-lvols 29689  df-lines 29690  df-psubsp 29692  df-pmap 29693  df-padd 29985  df-lhyp 30177
  Copyright terms: Public domain W3C validator