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Theorem cdleme48bw 31313
Description: TODO: fix comment. TODO: Remove unnecessary  P  =/=  Q from cdleme48bw 31313 cdlemeg46c 31324 cdlemeg46fvaw 31327 cdlemeg46rgv 31339 cdlemeg46gfv 31341? cdleme48d 31346? and possibly others they affect. (Contributed by NM, 9-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemef46.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cdlemef46.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdlemef46.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdlemef46.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdlemef46.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdlemef46.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdlemef46.u  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
cdlemef46.d  |-  D  =  ( ( t  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  t )  ./\  W
) ) )
cdlemefs46.e  |-  E  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( D  .\/  ( ( s  .\/  t )  ./\  W
) ) )
cdlemef46.f  |-  F  =  ( x  e.  B  |->  if ( ( P  =/=  Q  /\  -.  x  .<_  W ) ,  ( iota_ z  e.  B A. s  e.  A  ( ( -.  s  .<_  W  /\  ( s 
.\/  ( x  ./\  W ) )  =  x )  ->  z  =  ( if ( s  .<_  ( P  .\/  Q ) ,  ( iota_ y  e.  B A. t  e.  A  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  ->  y  =  E ) ) ,  [_ s  /  t ]_ D
)  .\/  ( x  ./\ 
W ) ) ) ) ,  x ) )
Assertion
Ref Expression
cdleme48bw  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )  ->  -.  ( F `  X )  .<_  W )
Distinct variable groups:    t, s, x, y, z, A    B, s, t, x, y, z    D, s, x, y, z   
x, E, y, z    H, s, t, x, y, z    .\/ , s, t, x, y, z    K, s, t, x, y, z    .<_ , s, t, x, y, z    ./\ , s, t, x, y, z    P, s, t, x, y, z    Q, s, t, x, y, z    U, s, t, x, y, z    W, s, t, x, y, z    S, s, t, x, y, z    X, s, t, x, z
Allowed substitution hints:    D( t)    E( t, s)    F( x, y, z, t, s)    X( y)

Proof of Theorem cdleme48bw
StepHypRef Expression
1 simp1 955 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )  ->  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) ) )
2 simp3l 983 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )  ->  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )
3 cdlemef46.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
4 cdlemef46.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  K )
5 cdlemef46.j . . . . 5  |-  .\/  =  ( join `  K )
6 cdlemef46.m . . . . 5  |-  ./\  =  ( meet `  K )
7 cdlemef46.a . . . . 5  |-  A  =  ( Atoms `  K )
8 cdlemef46.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
9 cdlemef46.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
10 cdlemef46.d . . . . 5  |-  D  =  ( ( t  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  t )  ./\  W
) ) )
11 cdlemefs46.e . . . . 5  |-  E  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( D  .\/  ( ( s  .\/  t )  ./\  W
) ) )
12 cdlemef46.f . . . . 5  |-  F  =  ( x  e.  B  |->  if ( ( P  =/=  Q  /\  -.  x  .<_  W ) ,  ( iota_ z  e.  B A. s  e.  A  ( ( -.  s  .<_  W  /\  ( s 
.\/  ( x  ./\  W ) )  =  x )  ->  z  =  ( if ( s  .<_  ( P  .\/  Q ) ,  ( iota_ y  e.  B A. t  e.  A  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  ->  y  =  E ) ) ,  [_ s  /  t ]_ D
)  .\/  ( x  ./\ 
W ) ) ) ) ,  x ) )
133, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12cdleme46fvaw 31312 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  ->  ( ( F `  S )  e.  A  /\  -.  ( F `  S )  .<_  W ) )
141, 2, 13syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )  ->  ( ( F `  S )  e.  A  /\  -.  ( F `  S )  .<_  W ) )
1514simprd 449 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )  ->  -.  ( F `  S )  .<_  W )
16 simp11l 1066 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )  ->  K  e.  HL )
17 hllat 30175 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
1816, 17syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )  ->  K  e.  Lat )
1914simpld 445 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )  ->  ( F `  S )  e.  A
)
203, 7atbase 30101 . . . . . 6  |-  ( ( F `  S )  e.  A  ->  ( F `  S )  e.  B )
2119, 20syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )  ->  ( F `  S )  e.  B
)
22 simp2rl 1024 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )  ->  X  e.  B )
23 simp11r 1067 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )  ->  W  e.  H )
243, 8lhpbase 30809 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  B )
2523, 24syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )  ->  W  e.  B )
263, 6latmcl 14173 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  ( X  ./\  W
)  e.  B )
2718, 22, 25, 26syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )  ->  ( X  ./\ 
W )  e.  B
)
283, 4, 5latlej1 14182 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F `  S )  e.  B  /\  ( X  ./\  W )  e.  B )  ->  ( F `  S )  .<_  ( ( F `  S )  .\/  ( X  ./\  W ) ) )
2918, 21, 27, 28syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )  ->  ( F `  S )  .<_  ( ( F `  S ) 
.\/  ( X  ./\  W ) ) )
303, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12cdleme48fv 31310 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )  ->  ( F `  X )  =  ( ( F `  S
)  .\/  ( X  ./\ 
W ) ) )
3129, 30breqtrrd 4065 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )  ->  ( F `  S )  .<_  ( F `
 X ) )
32 vex 2804 . . . . . . 7  |-  s  e. 
_V
33 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( ( s  .\/  U ) 
./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  s )  ./\  W
) ) )  =  ( ( s  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  s )  ./\  W
) ) )
3410, 33cdleme31sc 31195 . . . . . . 7  |-  ( s  e.  _V  ->  [_ s  /  t ]_ D  =  ( ( s 
.\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  s ) 
./\  W ) ) ) )
3532, 34ax-mp 8 . . . . . 6  |-  [_ s  /  t ]_ D  =  ( ( s 
.\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  s ) 
./\  W ) ) )
36 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( iota_ y  e.  B A. t  e.  A  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  ->  y  =  E ) )  =  (
iota_ y  e.  B A. t  e.  A  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  y  =  E ) )
37 eqid 2296 . . . . . 6  |-  if ( s  .<_  ( P  .\/  Q ) ,  (
iota_ y  e.  B A. t  e.  A  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  y  =  E ) ) , 
[_ s  /  t ]_ D )  =  if ( s  .<_  ( P 
.\/  Q ) ,  ( iota_ y  e.  B A. t  e.  A  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  y  =  E ) ) , 
[_ s  /  t ]_ D )
38 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( iota_ z  e.  B A. s  e.  A  ( ( -.  s  .<_  W  /\  ( s  .\/  (
x  ./\  W )
)  =  x )  ->  z  =  ( if ( s  .<_  ( P  .\/  Q ) ,  ( iota_ y  e.  B A. t  e.  A  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  ->  y  =  E ) ) ,  [_ s  /  t ]_ D
)  .\/  ( x  ./\ 
W ) ) ) )  =  ( iota_ z  e.  B A. s  e.  A  ( ( -.  s  .<_  W  /\  ( s  .\/  (
x  ./\  W )
)  =  x )  ->  z  =  ( if ( s  .<_  ( P  .\/  Q ) ,  ( iota_ y  e.  B A. t  e.  A  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  ->  y  =  E ) ) ,  [_ s  /  t ]_ D
)  .\/  ( x  ./\ 
W ) ) ) )
393, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 35, 10, 11, 36, 37, 38, 12cdleme32fvcl 31251 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  X  e.  B )  ->  ( F `  X
)  e.  B )
401, 22, 39syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )  ->  ( F `  X )  e.  B
)
413, 4lattr 14178 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( F `  S )  e.  B  /\  ( F `  X
)  e.  B  /\  W  e.  B )
)  ->  ( (
( F `  S
)  .<_  ( F `  X )  /\  ( F `  X )  .<_  W )  ->  ( F `  S )  .<_  W ) )
4218, 21, 40, 25, 41syl13anc 1184 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )  ->  ( (
( F `  S
)  .<_  ( F `  X )  /\  ( F `  X )  .<_  W )  ->  ( F `  S )  .<_  W ) )
4331, 42mpand 656 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )  ->  ( ( F `  X )  .<_  W  ->  ( F `  S )  .<_  W ) )
4415, 43mtod 168 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )  ->  -.  ( F `  X )  .<_  W )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   _Vcvv 2801   [_csb 3094   ifcif 3578   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   iota_crio 6313   Basecbs 13164   lecple 13231   joincjn 14094   meetcmee 14095   Latclat 14167   Atomscatm 30075   HLchlt 30162   LHypclh 30795
This theorem is referenced by:  cdleme48d  31346
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-undef 6314  df-riota 6320  df-poset 14096  df-plt 14108  df-lub 14124  df-glb 14125  df-join 14126  df-meet 14127  df-p0 14161  df-p1 14162  df-lat 14168  df-clat 14230  df-oposet 29988  df-ol 29990  df-oml 29991  df-covers 30078  df-ats 30079  df-atl 30110  df-cvlat 30134  df-hlat 30163  df-llines 30309  df-lplanes 30310  df-lvols 30311  df-lines 30312  df-psubsp 30314  df-pmap 30315  df-padd 30607  df-lhyp 30799
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