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Theorem cdleme9 30442
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113, 2nd paragraph on p. 114.  C and  F represent s1 and f(s) respectively. In their notation, we prove f(s)  \/ s1 = q  \/ s1. (Contributed by NM, 10-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme9.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdleme9.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdleme9.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdleme9.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdleme9.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdleme9.u  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
cdleme9.f  |-  F  =  ( ( S  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  S )  ./\  W )
) )
cdleme9.c  |-  C  =  ( ( P  .\/  S )  ./\  W )
Assertion
Ref Expression
cdleme9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  ( F  .\/  C )  =  ( Q  .\/  C
) )

Proof of Theorem cdleme9
StepHypRef Expression
1 cdleme9.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
2 cdleme9.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
3 cdleme9.m . . . 4  |-  ./\  =  ( meet `  K )
4 cdleme9.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
5 cdleme9.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
6 cdleme9.u . . . 4  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
7 cdleme9.f . . . 4  |-  F  =  ( ( S  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  S )  ./\  W )
) )
8 cdleme9.c . . . 4  |-  C  =  ( ( P  .\/  S )  ./\  W )
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8cdleme3d 30420 . . 3  |-  F  =  ( ( S  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  C ) )
109oveq1i 5868 . 2  |-  ( F 
.\/  C )  =  ( ( ( S 
.\/  U )  ./\  ( Q  .\/  C ) )  .\/  C )
11 simp1l 979 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  K  e.  HL )
12 simp1 955 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
13 simp21 988 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
14 simp23l 1076 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  S  e.  A )
15 hllat 29553 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
1611, 15syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  K  e.  Lat )
17 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
1817, 4atbase 29479 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  A  ->  S  e.  ( Base `  K
) )
1914, 18syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  S  e.  ( Base `  K
) )
20 simp21l 1072 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  P  e.  A )
2117, 4atbase 29479 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
2220, 21syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
23 simp22 989 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  Q  e.  A )
2417, 4atbase 29479 . . . . . . 7  |-  ( Q  e.  A  ->  Q  e.  ( Base `  K
) )
2523, 24syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  Q  e.  ( Base `  K
) )
26 simp3 957 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )
2717, 1, 2latnlej1l 14175 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( S  e.  ( Base `  K )  /\  P  e.  ( Base `  K )  /\  Q  e.  ( Base `  K
) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  S  =/=  P )
2827necomd 2529 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( S  e.  ( Base `  K )  /\  P  e.  ( Base `  K )  /\  Q  e.  ( Base `  K
) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  P  =/=  S )
2916, 19, 22, 25, 26, 28syl131anc 1195 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  P  =/=  S )
301, 2, 3, 4, 5, 8cdleme9a 30440 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  P  =/=  S ) )  ->  C  e.  A
)
3112, 13, 14, 29, 30syl112anc 1186 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  C  e.  A )
321, 2, 3, 4, 5, 6, 17cdleme0aa 30399 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  ->  U  e.  ( Base `  K )
)
3312, 20, 23, 32syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  U  e.  ( Base `  K
) )
3417, 2latjcl 14156 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  S  e.  ( Base `  K )  /\  U  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( S  .\/  U )  e.  ( Base `  K
) )
3516, 19, 33, 34syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  ( S  .\/  U )  e.  ( Base `  K
) )
3617, 2, 4hlatjcl 29556 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A  /\  C  e.  A )  ->  ( Q  .\/  C
)  e.  ( Base `  K ) )
3711, 23, 31, 36syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  ( Q  .\/  C )  e.  ( Base `  K
) )
381, 2, 4hlatlej2 29565 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A  /\  C  e.  A )  ->  C  .<_  ( Q  .\/  C ) )
3911, 23, 31, 38syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  C  .<_  ( Q  .\/  C
) )
4017, 1, 2, 3, 4atmod4i1 30055 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( C  e.  A  /\  ( S  .\/  U
)  e.  ( Base `  K )  /\  ( Q  .\/  C )  e.  ( Base `  K
) )  /\  C  .<_  ( Q  .\/  C
) )  ->  (
( ( S  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  C ) )  .\/  C )  =  ( ( ( S  .\/  U
)  .\/  C )  ./\  ( Q  .\/  C
) ) )
4111, 31, 35, 37, 39, 40syl131anc 1195 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  (
( ( S  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  C ) )  .\/  C )  =  ( ( ( S  .\/  U
)  .\/  C )  ./\  ( Q  .\/  C
) ) )
4217, 2, 4hlatjcl 29556 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  S  e.  A )  ->  ( P  .\/  S
)  e.  ( Base `  K ) )
4311, 20, 14, 42syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  ( P  .\/  S )  e.  ( Base `  K
) )
44 simp1r 980 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  W  e.  H )
4517, 5lhpbase 30187 . . . . . . . . . 10  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  ( Base `  K
) )
4644, 45syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  W  e.  ( Base `  K
) )
471, 2, 4hlatlej2 29565 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  S  e.  A )  ->  S  .<_  ( P  .\/  S ) )
4811, 20, 14, 47syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  S  .<_  ( P  .\/  S
) )
4917, 1, 2, 3, 4atmod3i1 30053 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( S  e.  A  /\  ( P  .\/  S
)  e.  ( Base `  K )  /\  W  e.  ( Base `  K
) )  /\  S  .<_  ( P  .\/  S
) )  ->  ( S  .\/  ( ( P 
.\/  S )  ./\  W ) )  =  ( ( P  .\/  S
)  ./\  ( S  .\/  W ) ) )
5011, 14, 43, 46, 48, 49syl131anc 1195 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  ( S  .\/  ( ( P 
.\/  S )  ./\  W ) )  =  ( ( P  .\/  S
)  ./\  ( S  .\/  W ) ) )
51 simp23r 1077 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  -.  S  .<_  W )
52 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1.
`  K )  =  ( 1. `  K
)
531, 2, 52, 4, 5lhpjat2 30210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  -> 
( S  .\/  W
)  =  ( 1.
`  K ) )
5412, 14, 51, 53syl12anc 1180 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  ( S  .\/  W )  =  ( 1. `  K
) )
5554oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  (
( P  .\/  S
)  ./\  ( S  .\/  W ) )  =  ( ( P  .\/  S )  ./\  ( 1. `  K ) ) )
56 hlol 29551 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OL )
5711, 56syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  K  e.  OL )
5817, 3, 52olm11 29417 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  OL  /\  ( P  .\/  S )  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( P  .\/  S
)  ./\  ( 1. `  K ) )  =  ( P  .\/  S
) )
5957, 43, 58syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  (
( P  .\/  S
)  ./\  ( 1. `  K ) )  =  ( P  .\/  S
) )
6050, 55, 593eqtrrd 2320 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  ( P  .\/  S )  =  ( S  .\/  (
( P  .\/  S
)  ./\  W )
) )
618oveq2i 5869 . . . . . . 7  |-  ( S 
.\/  C )  =  ( S  .\/  (
( P  .\/  S
)  ./\  W )
)
6260, 61syl6reqr 2334 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  ( S  .\/  C )  =  ( P  .\/  S
) )
6362oveq1d 5873 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  (
( S  .\/  C
)  .\/  U )  =  ( ( P 
.\/  S )  .\/  U ) )
6417, 4atbase 29479 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  A  ->  C  e.  ( Base `  K
) )
6531, 64syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  C  e.  ( Base `  K
) )
6617, 2latj32 14203 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( S  e.  ( Base `  K )  /\  U  e.  ( Base `  K )  /\  C  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( ( S  .\/  U )  .\/  C )  =  ( ( S 
.\/  C )  .\/  U ) )
6716, 19, 33, 65, 66syl13anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  (
( S  .\/  U
)  .\/  C )  =  ( ( S 
.\/  C )  .\/  U ) )
682, 4hlatj32 29561 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  S  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  (
( P  .\/  S
)  .\/  Q )  =  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  S ) )
6911, 20, 14, 23, 68syl13anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  (
( P  .\/  S
)  .\/  Q )  =  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  S ) )
7017, 2latjcom 14165 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Q  e.  ( Base `  K )  /\  ( P  .\/  S )  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( Q  .\/  ( P  .\/  S ) )  =  ( ( P  .\/  S
)  .\/  Q )
)
7116, 25, 43, 70syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  ( Q  .\/  ( P  .\/  S ) )  =  ( ( P  .\/  S
)  .\/  Q )
)
726oveq2i 5869 . . . . . . . . 9  |-  ( P 
.\/  U )  =  ( P  .\/  (
( P  .\/  Q
)  ./\  W )
)
7317, 2, 4hlatjcl 29556 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  ( P  .\/  Q
)  e.  ( Base `  K ) )
7411, 20, 23, 73syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  ( P  .\/  Q )  e.  ( Base `  K
) )
751, 2, 4hlatlej1 29564 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  P  .<_  ( P  .\/  Q ) )
7611, 20, 23, 75syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  P  .<_  ( P  .\/  Q
) )
7717, 1, 2, 3, 4atmod3i1 30053 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  ( P  .\/  Q
)  e.  ( Base `  K )  /\  W  e.  ( Base `  K
) )  /\  P  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  ( P  .\/  ( ( P 
.\/  Q )  ./\  W ) )  =  ( ( P  .\/  Q
)  ./\  ( P  .\/  W ) ) )
7811, 20, 74, 46, 76, 77syl131anc 1195 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  ( P  .\/  ( ( P 
.\/  Q )  ./\  W ) )  =  ( ( P  .\/  Q
)  ./\  ( P  .\/  W ) ) )
791, 2, 52, 4, 5lhpjat2 30210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  -> 
( P  .\/  W
)  =  ( 1.
`  K ) )
8012, 13, 79syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  ( P  .\/  W )  =  ( 1. `  K
) )
8180oveq2d 5874 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  (
( P  .\/  Q
)  ./\  ( P  .\/  W ) )  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( 1. `  K ) ) )
8217, 3, 52olm11 29417 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  OL  /\  ( P  .\/  Q )  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( P  .\/  Q
)  ./\  ( 1. `  K ) )  =  ( P  .\/  Q
) )
8357, 74, 82syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  (
( P  .\/  Q
)  ./\  ( 1. `  K ) )  =  ( P  .\/  Q
) )
8478, 81, 833eqtrd 2319 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  ( P  .\/  ( ( P 
.\/  Q )  ./\  W ) )  =  ( P  .\/  Q ) )
8572, 84syl5eq 2327 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  ( P  .\/  U )  =  ( P  .\/  Q
) )
8685oveq1d 5873 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  (
( P  .\/  U
)  .\/  S )  =  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  S ) )
8769, 71, 863eqtr4d 2325 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  ( Q  .\/  ( P  .\/  S ) )  =  ( ( P  .\/  U
)  .\/  S )
)
8817, 2latj32 14203 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  e.  ( Base `  K )  /\  U  e.  ( Base `  K )  /\  S  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( ( P  .\/  U )  .\/  S )  =  ( ( P 
.\/  S )  .\/  U ) )
8916, 22, 33, 19, 88syl13anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  (
( P  .\/  U
)  .\/  S )  =  ( ( P 
.\/  S )  .\/  U ) )
9087, 89eqtrd 2315 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  ( Q  .\/  ( P  .\/  S ) )  =  ( ( P  .\/  S
)  .\/  U )
)
9163, 67, 903eqtr4d 2325 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  (
( S  .\/  U
)  .\/  C )  =  ( Q  .\/  ( P  .\/  S ) ) )
9291oveq1d 5873 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  (
( ( S  .\/  U )  .\/  C ) 
./\  ( Q  .\/  C ) )  =  ( ( Q  .\/  ( P  .\/  S ) ) 
./\  ( Q  .\/  C ) ) )
9317, 1, 3latmle1 14182 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  .\/  S )  e.  ( Base `  K
)  /\  W  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( ( P  .\/  S )  ./\  W )  .<_  ( P  .\/  S ) )
9416, 43, 46, 93syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  (
( P  .\/  S
)  ./\  W )  .<_  ( P  .\/  S
) )
958, 94syl5eqbr 4056 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  C  .<_  ( P  .\/  S
) )
9617, 1, 2latjlej2 14172 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( C  e.  ( Base `  K )  /\  ( P  .\/  S )  e.  ( Base `  K
)  /\  Q  e.  ( Base `  K )
) )  ->  ( C  .<_  ( P  .\/  S )  ->  ( Q  .\/  C )  .<_  ( Q 
.\/  ( P  .\/  S ) ) ) )
9716, 65, 43, 25, 96syl13anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  ( C  .<_  ( P  .\/  S )  ->  ( Q  .\/  C )  .<_  ( Q 
.\/  ( P  .\/  S ) ) ) )
9895, 97mpd 14 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  ( Q  .\/  C )  .<_  ( Q  .\/  ( P 
.\/  S ) ) )
9917, 2latjcl 14156 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Q  e.  ( Base `  K )  /\  ( P  .\/  S )  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( Q  .\/  ( P  .\/  S ) )  e.  (
Base `  K )
)
10016, 25, 43, 99syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  ( Q  .\/  ( P  .\/  S ) )  e.  (
Base `  K )
)
10117, 1, 3latleeqm2 14186 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( Q  .\/  C )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( Q  .\/  ( P  .\/  S
) )  e.  (
Base `  K )
)  ->  ( ( Q  .\/  C )  .<_  ( Q  .\/  ( P 
.\/  S ) )  <-> 
( ( Q  .\/  ( P  .\/  S ) )  ./\  ( Q  .\/  C ) )  =  ( Q  .\/  C
) ) )
10216, 37, 100, 101syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  (
( Q  .\/  C
)  .<_  ( Q  .\/  ( P  .\/  S ) )  <->  ( ( Q 
.\/  ( P  .\/  S ) )  ./\  ( Q  .\/  C ) )  =  ( Q  .\/  C ) ) )
10398, 102mpbid 201 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  (
( Q  .\/  ( P  .\/  S ) ) 
./\  ( Q  .\/  C ) )  =  ( Q  .\/  C ) )
10441, 92, 1033eqtrd 2319 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  (
( ( S  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  C ) )  .\/  C )  =  ( Q 
.\/  C ) )
10510, 104syl5eq 2327 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  ( F  .\/  C )  =  ( Q  .\/  C
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   lecple 13215   joincjn 14078   meetcmee 14079   1.cp1 14144   Latclat 14151   OLcol 29364   Atomscatm 29453   HLchlt 29540   LHypclh 30173
This theorem is referenced by:  cdleme9tN  30446  cdleme17a  30475
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-undef 6298  df-riota 6304  df-poset 14080  df-plt 14092  df-lub 14108  df-glb 14109  df-join 14110  df-meet 14111  df-p0 14145  df-p1 14146  df-lat 14152  df-clat 14214  df-oposet 29366  df-ol 29368  df-oml 29369  df-covers 29456  df-ats 29457  df-atl 29488  df-cvlat 29512  df-hlat 29541  df-psubsp 29692  df-pmap 29693  df-padd 29985  df-lhyp 30177
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