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Theorem cdleme9 31050
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113, 2nd paragraph on p. 114.  C and  F represent s1 and f(s) respectively. In their notation, we prove f(s)  \/ s1 = q  \/ s1. (Contributed by NM, 10-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme9.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdleme9.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdleme9.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdleme9.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdleme9.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdleme9.u  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
cdleme9.f  |-  F  =  ( ( S  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  S )  ./\  W )
) )
cdleme9.c  |-  C  =  ( ( P  .\/  S )  ./\  W )
Assertion
Ref Expression
cdleme9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  ( F  .\/  C )  =  ( Q  .\/  C
) )

Proof of Theorem cdleme9
StepHypRef Expression
1 cdleme9.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
2 cdleme9.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
3 cdleme9.m . . . 4  |-  ./\  =  ( meet `  K )
4 cdleme9.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
5 cdleme9.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
6 cdleme9.u . . . 4  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
7 cdleme9.f . . . 4  |-  F  =  ( ( S  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  S )  ./\  W )
) )
8 cdleme9.c . . . 4  |-  C  =  ( ( P  .\/  S )  ./\  W )
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8cdleme3d 31028 . . 3  |-  F  =  ( ( S  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  C ) )
109oveq1i 6091 . 2  |-  ( F 
.\/  C )  =  ( ( ( S 
.\/  U )  ./\  ( Q  .\/  C ) )  .\/  C )
11 simp1l 981 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  K  e.  HL )
12 simp1 957 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
13 simp21 990 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
14 simp23l 1078 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  S  e.  A )
15 hllat 30161 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
1611, 15syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  K  e.  Lat )
17 eqid 2436 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
1817, 4atbase 30087 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  A  ->  S  e.  ( Base `  K
) )
1914, 18syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  S  e.  ( Base `  K
) )
20 simp21l 1074 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  P  e.  A )
2117, 4atbase 30087 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
2220, 21syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
23 simp22 991 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  Q  e.  A )
2417, 4atbase 30087 . . . . . . 7  |-  ( Q  e.  A  ->  Q  e.  ( Base `  K
) )
2523, 24syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  Q  e.  ( Base `  K
) )
26 simp3 959 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )
2717, 1, 2latnlej1l 14498 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( S  e.  ( Base `  K )  /\  P  e.  ( Base `  K )  /\  Q  e.  ( Base `  K
) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  S  =/=  P )
2827necomd 2687 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( S  e.  ( Base `  K )  /\  P  e.  ( Base `  K )  /\  Q  e.  ( Base `  K
) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  P  =/=  S )
2916, 19, 22, 25, 26, 28syl131anc 1197 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  P  =/=  S )
301, 2, 3, 4, 5, 8cdleme9a 31048 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  P  =/=  S ) )  ->  C  e.  A
)
3112, 13, 14, 29, 30syl112anc 1188 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  C  e.  A )
321, 2, 3, 4, 5, 6, 17cdleme0aa 31007 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  ->  U  e.  ( Base `  K )
)
3312, 20, 23, 32syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  U  e.  ( Base `  K
) )
3417, 2latjcl 14479 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  S  e.  ( Base `  K )  /\  U  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( S  .\/  U )  e.  ( Base `  K
) )
3516, 19, 33, 34syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  ( S  .\/  U )  e.  ( Base `  K
) )
3617, 2, 4hlatjcl 30164 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A  /\  C  e.  A )  ->  ( Q  .\/  C
)  e.  ( Base `  K ) )
3711, 23, 31, 36syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  ( Q  .\/  C )  e.  ( Base `  K
) )
381, 2, 4hlatlej2 30173 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A  /\  C  e.  A )  ->  C  .<_  ( Q  .\/  C ) )
3911, 23, 31, 38syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  C  .<_  ( Q  .\/  C
) )
4017, 1, 2, 3, 4atmod4i1 30663 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( C  e.  A  /\  ( S  .\/  U
)  e.  ( Base `  K )  /\  ( Q  .\/  C )  e.  ( Base `  K
) )  /\  C  .<_  ( Q  .\/  C
) )  ->  (
( ( S  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  C ) )  .\/  C )  =  ( ( ( S  .\/  U
)  .\/  C )  ./\  ( Q  .\/  C
) ) )
4111, 31, 35, 37, 39, 40syl131anc 1197 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  (
( ( S  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  C ) )  .\/  C )  =  ( ( ( S  .\/  U
)  .\/  C )  ./\  ( Q  .\/  C
) ) )
4217, 2, 4hlatjcl 30164 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  S  e.  A )  ->  ( P  .\/  S
)  e.  ( Base `  K ) )
4311, 20, 14, 42syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  ( P  .\/  S )  e.  ( Base `  K
) )
44 simp1r 982 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  W  e.  H )
4517, 5lhpbase 30795 . . . . . . . . . 10  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  ( Base `  K
) )
4644, 45syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  W  e.  ( Base `  K
) )
471, 2, 4hlatlej2 30173 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  S  e.  A )  ->  S  .<_  ( P  .\/  S ) )
4811, 20, 14, 47syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  S  .<_  ( P  .\/  S
) )
4917, 1, 2, 3, 4atmod3i1 30661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( S  e.  A  /\  ( P  .\/  S
)  e.  ( Base `  K )  /\  W  e.  ( Base `  K
) )  /\  S  .<_  ( P  .\/  S
) )  ->  ( S  .\/  ( ( P 
.\/  S )  ./\  W ) )  =  ( ( P  .\/  S
)  ./\  ( S  .\/  W ) ) )
5011, 14, 43, 46, 48, 49syl131anc 1197 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  ( S  .\/  ( ( P 
.\/  S )  ./\  W ) )  =  ( ( P  .\/  S
)  ./\  ( S  .\/  W ) ) )
51 simp23r 1079 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  -.  S  .<_  W )
52 eqid 2436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1.
`  K )  =  ( 1. `  K
)
531, 2, 52, 4, 5lhpjat2 30818 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  -> 
( S  .\/  W
)  =  ( 1.
`  K ) )
5412, 14, 51, 53syl12anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  ( S  .\/  W )  =  ( 1. `  K
) )
5554oveq2d 6097 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  (
( P  .\/  S
)  ./\  ( S  .\/  W ) )  =  ( ( P  .\/  S )  ./\  ( 1. `  K ) ) )
56 hlol 30159 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OL )
5711, 56syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  K  e.  OL )
5817, 3, 52olm11 30025 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  OL  /\  ( P  .\/  S )  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( P  .\/  S
)  ./\  ( 1. `  K ) )  =  ( P  .\/  S
) )
5957, 43, 58syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  (
( P  .\/  S
)  ./\  ( 1. `  K ) )  =  ( P  .\/  S
) )
6050, 55, 593eqtrrd 2473 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  ( P  .\/  S )  =  ( S  .\/  (
( P  .\/  S
)  ./\  W )
) )
618oveq2i 6092 . . . . . . 7  |-  ( S 
.\/  C )  =  ( S  .\/  (
( P  .\/  S
)  ./\  W )
)
6260, 61syl6reqr 2487 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  ( S  .\/  C )  =  ( P  .\/  S
) )
6362oveq1d 6096 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  (
( S  .\/  C
)  .\/  U )  =  ( ( P 
.\/  S )  .\/  U ) )
6417, 4atbase 30087 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  A  ->  C  e.  ( Base `  K
) )
6531, 64syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  C  e.  ( Base `  K
) )
6617, 2latj32 14526 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( S  e.  ( Base `  K )  /\  U  e.  ( Base `  K )  /\  C  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( ( S  .\/  U )  .\/  C )  =  ( ( S 
.\/  C )  .\/  U ) )
6716, 19, 33, 65, 66syl13anc 1186 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  (
( S  .\/  U
)  .\/  C )  =  ( ( S 
.\/  C )  .\/  U ) )
682, 4hlatj32 30169 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  S  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  (
( P  .\/  S
)  .\/  Q )  =  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  S ) )
6911, 20, 14, 23, 68syl13anc 1186 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  (
( P  .\/  S
)  .\/  Q )  =  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  S ) )
7017, 2latjcom 14488 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Q  e.  ( Base `  K )  /\  ( P  .\/  S )  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( Q  .\/  ( P  .\/  S ) )  =  ( ( P  .\/  S
)  .\/  Q )
)
7116, 25, 43, 70syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  ( Q  .\/  ( P  .\/  S ) )  =  ( ( P  .\/  S
)  .\/  Q )
)
726oveq2i 6092 . . . . . . . . 9  |-  ( P 
.\/  U )  =  ( P  .\/  (
( P  .\/  Q
)  ./\  W )
)
7317, 2, 4hlatjcl 30164 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  ( P  .\/  Q
)  e.  ( Base `  K ) )
7411, 20, 23, 73syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  ( P  .\/  Q )  e.  ( Base `  K
) )
751, 2, 4hlatlej1 30172 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  P  .<_  ( P  .\/  Q ) )
7611, 20, 23, 75syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  P  .<_  ( P  .\/  Q
) )
7717, 1, 2, 3, 4atmod3i1 30661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  ( P  .\/  Q
)  e.  ( Base `  K )  /\  W  e.  ( Base `  K
) )  /\  P  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  ( P  .\/  ( ( P 
.\/  Q )  ./\  W ) )  =  ( ( P  .\/  Q
)  ./\  ( P  .\/  W ) ) )
7811, 20, 74, 46, 76, 77syl131anc 1197 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  ( P  .\/  ( ( P 
.\/  Q )  ./\  W ) )  =  ( ( P  .\/  Q
)  ./\  ( P  .\/  W ) ) )
791, 2, 52, 4, 5lhpjat2 30818 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  -> 
( P  .\/  W
)  =  ( 1.
`  K ) )
8012, 13, 79syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  ( P  .\/  W )  =  ( 1. `  K
) )
8180oveq2d 6097 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  (
( P  .\/  Q
)  ./\  ( P  .\/  W ) )  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( 1. `  K ) ) )
8217, 3, 52olm11 30025 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  OL  /\  ( P  .\/  Q )  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( P  .\/  Q
)  ./\  ( 1. `  K ) )  =  ( P  .\/  Q
) )
8357, 74, 82syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  (
( P  .\/  Q
)  ./\  ( 1. `  K ) )  =  ( P  .\/  Q
) )
8478, 81, 833eqtrd 2472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  ( P  .\/  ( ( P 
.\/  Q )  ./\  W ) )  =  ( P  .\/  Q ) )
8572, 84syl5eq 2480 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  ( P  .\/  U )  =  ( P  .\/  Q
) )
8685oveq1d 6096 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  (
( P  .\/  U
)  .\/  S )  =  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  S ) )
8769, 71, 863eqtr4d 2478 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  ( Q  .\/  ( P  .\/  S ) )  =  ( ( P  .\/  U
)  .\/  S )
)
8817, 2latj32 14526 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  e.  ( Base `  K )  /\  U  e.  ( Base `  K )  /\  S  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( ( P  .\/  U )  .\/  S )  =  ( ( P 
.\/  S )  .\/  U ) )
8916, 22, 33, 19, 88syl13anc 1186 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  (
( P  .\/  U
)  .\/  S )  =  ( ( P 
.\/  S )  .\/  U ) )
9087, 89eqtrd 2468 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  ( Q  .\/  ( P  .\/  S ) )  =  ( ( P  .\/  S
)  .\/  U )
)
9163, 67, 903eqtr4d 2478 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  (
( S  .\/  U
)  .\/  C )  =  ( Q  .\/  ( P  .\/  S ) ) )
9291oveq1d 6096 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  (
( ( S  .\/  U )  .\/  C ) 
./\  ( Q  .\/  C ) )  =  ( ( Q  .\/  ( P  .\/  S ) ) 
./\  ( Q  .\/  C ) ) )
9317, 1, 3latmle1 14505 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  .\/  S )  e.  ( Base `  K
)  /\  W  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( ( P  .\/  S )  ./\  W )  .<_  ( P  .\/  S ) )
9416, 43, 46, 93syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  (
( P  .\/  S
)  ./\  W )  .<_  ( P  .\/  S
) )
958, 94syl5eqbr 4245 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  C  .<_  ( P  .\/  S
) )
9617, 1, 2latjlej2 14495 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( C  e.  ( Base `  K )  /\  ( P  .\/  S )  e.  ( Base `  K
)  /\  Q  e.  ( Base `  K )
) )  ->  ( C  .<_  ( P  .\/  S )  ->  ( Q  .\/  C )  .<_  ( Q 
.\/  ( P  .\/  S ) ) ) )
9716, 65, 43, 25, 96syl13anc 1186 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  ( C  .<_  ( P  .\/  S )  ->  ( Q  .\/  C )  .<_  ( Q 
.\/  ( P  .\/  S ) ) ) )
9895, 97mpd 15 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  ( Q  .\/  C )  .<_  ( Q  .\/  ( P 
.\/  S ) ) )
9917, 2latjcl 14479 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Q  e.  ( Base `  K )  /\  ( P  .\/  S )  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( Q  .\/  ( P  .\/  S ) )  e.  (
Base `  K )
)
10016, 25, 43, 99syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  ( Q  .\/  ( P  .\/  S ) )  e.  (
Base `  K )
)
10117, 1, 3latleeqm2 14509 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( Q  .\/  C )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( Q  .\/  ( P  .\/  S
) )  e.  (
Base `  K )
)  ->  ( ( Q  .\/  C )  .<_  ( Q  .\/  ( P 
.\/  S ) )  <-> 
( ( Q  .\/  ( P  .\/  S ) )  ./\  ( Q  .\/  C ) )  =  ( Q  .\/  C
) ) )
10216, 37, 100, 101syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  (
( Q  .\/  C
)  .<_  ( Q  .\/  ( P  .\/  S ) )  <->  ( ( Q 
.\/  ( P  .\/  S ) )  ./\  ( Q  .\/  C ) )  =  ( Q  .\/  C ) ) )
10398, 102mpbid 202 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  (
( Q  .\/  ( P  .\/  S ) ) 
./\  ( Q  .\/  C ) )  =  ( Q  .\/  C ) )
10441, 92, 1033eqtrd 2472 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  (
( ( S  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  C ) )  .\/  C )  =  ( Q 
.\/  C ) )
10510, 104syl5eq 2480 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  ( F  .\/  C )  =  ( Q  .\/  C
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   class class class wbr 4212   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   Basecbs 13469   lecple 13536   joincjn 14401   meetcmee 14402   1.cp1 14467   Latclat 14474   OLcol 29972   Atomscatm 30061   HLchlt 30148   LHypclh 30781
This theorem is referenced by:  cdleme9tN  31054  cdleme17a  31083
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-undef 6543  df-riota 6549  df-poset 14403  df-plt 14415  df-lub 14431  df-glb 14432  df-join 14433  df-meet 14434  df-p0 14468  df-p1 14469  df-lat 14475  df-clat 14537  df-oposet 29974  df-ol 29976  df-oml 29977  df-covers 30064  df-ats 30065  df-atl 30096  df-cvlat 30120  df-hlat 30149  df-psubsp 30300  df-pmap 30301  df-padd 30593  df-lhyp 30785
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