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Theorem cdlemednpq 31110
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113. Utility lemma.  D represents s2. (Contributed by NM, 18-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemeda.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdlemeda.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdlemeda.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdlemeda.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdlemeda.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdlemeda.d  |-  D  =  ( ( R  .\/  S )  ./\  W )
Assertion
Ref Expression
cdlemednpq  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  -.  D  .<_  ( P 
.\/  Q ) )

Proof of Theorem cdlemednpq
StepHypRef Expression
1 cdlemeda.d . . . 4  |-  D  =  ( ( R  .\/  S )  ./\  W )
2 simp1l 979 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  K  e.  HL )
3 hllat 30175 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
42, 3syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  K  e.  Lat )
5 simp23l 1076 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  R  e.  A )
6 simp31l 1078 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  S  e.  A )
7 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
8 cdlemeda.j . . . . . . 7  |-  .\/  =  ( join `  K )
9 cdlemeda.a . . . . . . 7  |-  A  =  ( Atoms `  K )
107, 8, 9hlatjcl 30178 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  R  e.  A  /\  S  e.  A )  ->  ( R  .\/  S
)  e.  ( Base `  K ) )
112, 5, 6, 10syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( R  .\/  S
)  e.  ( Base `  K ) )
12 simp1r 980 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  W  e.  H )
13 cdlemeda.h . . . . . . 7  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
147, 13lhpbase 30809 . . . . . 6  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  ( Base `  K
) )
1512, 14syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  W  e.  ( Base `  K ) )
16 cdlemeda.l . . . . . 6  |-  .<_  =  ( le `  K )
17 cdlemeda.m . . . . . 6  |-  ./\  =  ( meet `  K )
187, 16, 17latmle2 14199 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( R  .\/  S )  e.  ( Base `  K
)  /\  W  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( ( R  .\/  S )  ./\  W )  .<_  W )
194, 11, 15, 18syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( ( R  .\/  S )  ./\  W )  .<_  W )
201, 19syl5eqbr 4072 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  D  .<_  W )
21 simp23r 1077 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  -.  R  .<_  W )
22 nbrne2 4057 . . 3  |-  ( ( D  .<_  W  /\  -.  R  .<_  W )  ->  D  =/=  R
)
2320, 21, 22syl2anc 642 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  D  =/=  R )
244adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  /\  D  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  K  e.  Lat )
2511adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  /\  D  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  ( R  .\/  S )  e.  (
Base `  K )
)
2615adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  /\  D  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  W  e.  ( Base `  K )
)
277, 16, 17latmle1 14198 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( R  .\/  S )  e.  ( Base `  K
)  /\  W  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( ( R  .\/  S )  ./\  W )  .<_  ( R  .\/  S ) )
2824, 25, 26, 27syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  /\  D  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  ( ( R  .\/  S )  ./\  W )  .<_  ( R  .\/  S ) )
291, 28syl5eqbr 4072 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  /\  D  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  D  .<_  ( R  .\/  S ) )
30 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  /\  D  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  D  .<_  ( P  .\/  Q ) )
31 simp31r 1079 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  -.  S  .<_  W )
32 simp32 992 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )
33 simp33 993 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) )
3416, 8, 17, 9, 13, 1cdlemeda 31109 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  D  e.  A )
352, 12, 6, 31, 5, 32, 33, 34syl223anc 1208 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  D  e.  A )
367, 9atbase 30101 . . . . . . . . . 10  |-  ( D  e.  A  ->  D  e.  ( Base `  K
) )
3735, 36syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  D  e.  ( Base `  K ) )
3837adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  /\  D  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  D  e.  ( Base `  K )
)
39 simp21 988 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  P  e.  A )
40 simp22 989 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  Q  e.  A )
417, 8, 9hlatjcl 30178 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  ( P  .\/  Q
)  e.  ( Base `  K ) )
422, 39, 40, 41syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( P  .\/  Q
)  e.  ( Base `  K ) )
4342adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  /\  D  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  ( P  .\/  Q )  e.  (
Base `  K )
)
447, 16, 17latlem12 14200 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( D  e.  ( Base `  K )  /\  ( R  .\/  S )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( P  .\/  Q )  e.  (
Base `  K )
) )  ->  (
( D  .<_  ( R 
.\/  S )  /\  D  .<_  ( P  .\/  Q ) )  <->  D  .<_  ( ( R  .\/  S
)  ./\  ( P  .\/  Q ) ) ) )
4524, 38, 25, 43, 44syl13anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  /\  D  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  ( ( D  .<_  ( R  .\/  S )  /\  D  .<_  ( P  .\/  Q ) )  <->  D  .<_  ( ( R  .\/  S ) 
./\  ( P  .\/  Q ) ) ) )
4629, 30, 45mpbi2and 887 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  /\  D  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  D  .<_  ( ( R  .\/  S
)  ./\  ( P  .\/  Q ) ) )
47 hlatl 30172 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  AtLat )
482, 47syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  K  e.  AtLat )
49 eqid 2296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0.
`  K )  =  ( 0. `  K
)
507, 16, 17, 49, 9atnle 30129 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  S  e.  A  /\  ( P  .\/  Q )  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  <->  ( S  ./\  ( P  .\/  Q
) )  =  ( 0. `  K ) ) )
5148, 6, 42, 50syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  <-> 
( S  ./\  ( P  .\/  Q ) )  =  ( 0. `  K ) ) )
5233, 51mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( S  ./\  ( P  .\/  Q ) )  =  ( 0. `  K ) )
5352oveq2d 5890 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( R  .\/  ( S  ./\  ( P  .\/  Q ) ) )  =  ( R  .\/  ( 0. `  K ) ) )
547, 9atbase 30101 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  A  ->  S  e.  ( Base `  K
) )
556, 54syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  S  e.  ( Base `  K ) )
567, 16, 8, 17, 9atmod1i1 30668 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  ( Base `  K )  /\  ( P  .\/  Q )  e.  ( Base `  K
) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  ( R  .\/  ( S  ./\  ( P  .\/  Q ) ) )  =  ( ( R  .\/  S
)  ./\  ( P  .\/  Q ) ) )
572, 5, 55, 42, 32, 56syl131anc 1195 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( R  .\/  ( S  ./\  ( P  .\/  Q ) ) )  =  ( ( R  .\/  S )  ./\  ( P  .\/  Q ) ) )
58 hlol 30173 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OL )
592, 58syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  K  e.  OL )
607, 9atbase 30101 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  A  ->  R  e.  ( Base `  K
) )
615, 60syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  R  e.  ( Base `  K ) )
627, 8, 49olj01 30037 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  OL  /\  R  e.  ( Base `  K ) )  -> 
( R  .\/  ( 0. `  K ) )  =  R )
6359, 61, 62syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( R  .\/  ( 0. `  K ) )  =  R )
6453, 57, 633eqtr3d 2336 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( ( R  .\/  S )  ./\  ( P  .\/  Q ) )  =  R )
6564adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  /\  D  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  ( ( R  .\/  S )  ./\  ( P  .\/  Q ) )  =  R )
6646, 65breqtrd 4063 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  /\  D  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  D  .<_  R )
6766ex 423 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( D  .<_  ( P 
.\/  Q )  ->  D  .<_  R ) )
6816, 9atcmp 30123 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  D  e.  A  /\  R  e.  A )  ->  ( D  .<_  R  <->  D  =  R ) )
6948, 35, 5, 68syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( D  .<_  R  <->  D  =  R ) )
7067, 69sylibd 205 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( D  .<_  ( P 
.\/  Q )  ->  D  =  R )
)
7170necon3ad 2495 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( D  =/=  R  ->  -.  D  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )
7223, 71mpd 14 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  -.  D  .<_  ( P 
.\/  Q ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   lecple 13231   joincjn 14094   meetcmee 14095   0.cp0 14159   Latclat 14167   OLcol 29986   Atomscatm 30075   AtLatcal 30076   HLchlt 30162   LHypclh 30795
This theorem is referenced by:  cdlemednuN  31111  cdleme20k  31130
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-undef 6314  df-riota 6320  df-poset 14096  df-plt 14108  df-lub 14124  df-glb 14125  df-join 14126  df-meet 14127  df-p0 14161  df-p1 14162  df-lat 14168  df-clat 14230  df-oposet 29988  df-ol 29990  df-oml 29991  df-covers 30078  df-ats 30079  df-atl 30110  df-cvlat 30134  df-hlat 30163  df-psubsp 30314  df-pmap 30315  df-padd 30607  df-lhyp 30799
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