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Theorem cdlemefr29exN 31213
Description: Lemma for cdlemefs29bpre1N 31228. (Compare cdleme25a 31164.) TODO: FIX COMMENT TODO: IS THIS NEEDED? (Contributed by NM, 28-Mar-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemefr29.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cdlemefr29.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdlemefr29.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdlemefr29.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdlemefr29.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdlemefr29.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
Assertion
Ref Expression
cdlemefr29exN  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  A. s  e.  A  C  e.  B )  ->  E. s  e.  A  ( ( -.  s  .<_  W  /\  ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( C  .\/  ( X 
./\  W ) )  e.  B ) )
Distinct variable groups:    A, s    B, s    H, s    K, s    .<_ , s    ./\ , s    P, s    Q, s    W, s    X, s
Allowed substitution hints:    C( s)    .\/ ( s)

Proof of Theorem cdlemefr29exN
StepHypRef Expression
1 simp11 985 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  A. s  e.  A  C  e.  B )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 simp2r 982 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  A. s  e.  A  C  e.  B )  ->  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )
3 cdlemefr29.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  K
)
4 cdlemefr29.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
5 cdlemefr29.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
6 cdlemefr29.m . . . 4  |-  ./\  =  ( meet `  K )
7 cdlemefr29.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
8 cdlemefr29.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
93, 4, 5, 6, 7, 8lhpmcvr2 30835 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  ->  E. s  e.  A  ( -.  s  .<_  W  /\  ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )
101, 2, 9syl2anc 642 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  A. s  e.  A  C  e.  B )  ->  E. s  e.  A  ( -.  s  .<_  W  /\  (
s  .\/  ( X  ./\ 
W ) )  =  X ) )
11 nfv 1609 . . . 4  |-  F/ s ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )
12 nfv 1609 . . . 4  |-  F/ s ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )
13 nfra1 2606 . . . 4  |-  F/ s A. s  e.  A  C  e.  B
1411, 12, 13nf3an 1786 . . 3  |-  F/ s ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  A. s  e.  A  C  e.  B )
15 simp11l 1066 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  A. s  e.  A  C  e.  B )  ->  K  e.  HL )
1615adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  A. s  e.  A  C  e.  B )  /\  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  ->  K  e.  HL )
17 hllat 30175 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
1816, 17syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  A. s  e.  A  C  e.  B )  /\  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  ->  K  e.  Lat )
19 simpl3 960 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  A. s  e.  A  C  e.  B )  /\  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  ->  A. s  e.  A  C  e.  B )
20 simprl 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  A. s  e.  A  C  e.  B )  /\  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  ->  s  e.  A )
21 rsp 2616 . . . . . . . . 9  |-  ( A. s  e.  A  C  e.  B  ->  ( s  e.  A  ->  C  e.  B ) )
2219, 20, 21sylc 56 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  A. s  e.  A  C  e.  B )  /\  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  ->  C  e.  B )
2315, 17syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  A. s  e.  A  C  e.  B )  ->  K  e.  Lat )
24 simp2rl 1024 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  A. s  e.  A  C  e.  B )  ->  X  e.  B )
25 simp11r 1067 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  A. s  e.  A  C  e.  B )  ->  W  e.  H )
263, 8lhpbase 30809 . . . . . . . . . . 11  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  B )
2725, 26syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  A. s  e.  A  C  e.  B )  ->  W  e.  B )
283, 6latmcl 14173 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  ( X  ./\  W
)  e.  B )
2923, 24, 27, 28syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  A. s  e.  A  C  e.  B )  ->  ( X  ./\  W )  e.  B )
3029adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  A. s  e.  A  C  e.  B )  /\  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  ->  ( X  ./\ 
W )  e.  B
)
313, 5latjcl 14172 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  C  e.  B  /\  ( X  ./\  W )  e.  B )  -> 
( C  .\/  ( X  ./\  W ) )  e.  B )
3218, 22, 30, 31syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  A. s  e.  A  C  e.  B )  /\  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  ->  ( C  .\/  ( X  ./\  W
) )  e.  B
)
3332expr 598 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  A. s  e.  A  C  e.  B )  /\  s  e.  A )  ->  ( -.  s  .<_  W  -> 
( C  .\/  ( X  ./\  W ) )  e.  B ) )
3433adantrd 454 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  A. s  e.  A  C  e.  B )  /\  s  e.  A )  ->  (
( -.  s  .<_  W  /\  ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  ->  ( C  .\/  ( X  ./\  W ) )  e.  B ) )
3534ancld 536 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  A. s  e.  A  C  e.  B )  /\  s  e.  A )  ->  (
( -.  s  .<_  W  /\  ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  ->  ( ( -.  s  .<_  W  /\  ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( C  .\/  ( X 
./\  W ) )  e.  B ) ) )
3635ex 423 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  A. s  e.  A  C  e.  B )  ->  (
s  e.  A  -> 
( ( -.  s  .<_  W  /\  ( s 
.\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  ->  ( ( -.  s  .<_  W  /\  ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( C  .\/  ( X 
./\  W ) )  e.  B ) ) ) )
3714, 36reximdai 2664 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  A. s  e.  A  C  e.  B )  ->  ( E. s  e.  A  ( -.  s  .<_  W  /\  ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  ->  E. s  e.  A  ( ( -.  s  .<_  W  /\  ( s 
.\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( C 
.\/  ( X  ./\  W ) )  e.  B
) ) )
3810, 37mpd 14 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  A. s  e.  A  C  e.  B )  ->  E. s  e.  A  ( ( -.  s  .<_  W  /\  ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( C  .\/  ( X 
./\  W ) )  e.  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   lecple 13231   joincjn 14094   meetcmee 14095   Latclat 14167   Atomscatm 30075   HLchlt 30162   LHypclh 30795
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-undef 6314  df-riota 6320  df-poset 14096  df-plt 14108  df-lub 14124  df-glb 14125  df-join 14126  df-meet 14127  df-p0 14161  df-p1 14162  df-lat 14168  df-clat 14230  df-oposet 29988  df-ol 29990  df-oml 29991  df-covers 30078  df-ats 30079  df-atl 30110  df-cvlat 30134  df-hlat 30163  df-lhyp 30799
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