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Theorem cdlemefr29exN 30516
Description: Lemma for cdlemefs29bpre1N 30531. (Compare cdleme25a 30467.) TODO: FIX COMMENT TODO: IS THIS NEEDED? (Contributed by NM, 28-Mar-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemefr29.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cdlemefr29.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdlemefr29.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdlemefr29.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdlemefr29.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdlemefr29.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
Assertion
Ref Expression
cdlemefr29exN  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  A. s  e.  A  C  e.  B )  ->  E. s  e.  A  ( ( -.  s  .<_  W  /\  ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( C  .\/  ( X 
./\  W ) )  e.  B ) )
Distinct variable groups:    A, s    B, s    H, s    K, s    .<_ , s    ./\ , s    P, s    Q, s    W, s    X, s
Allowed substitution hints:    C( s)    .\/ ( s)

Proof of Theorem cdlemefr29exN
StepHypRef Expression
1 simp11 987 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  A. s  e.  A  C  e.  B )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 simp2r 984 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  A. s  e.  A  C  e.  B )  ->  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )
3 cdlemefr29.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  K
)
4 cdlemefr29.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
5 cdlemefr29.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
6 cdlemefr29.m . . . 4  |-  ./\  =  ( meet `  K )
7 cdlemefr29.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
8 cdlemefr29.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
93, 4, 5, 6, 7, 8lhpmcvr2 30138 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  ->  E. s  e.  A  ( -.  s  .<_  W  /\  ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )
101, 2, 9syl2anc 643 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  A. s  e.  A  C  e.  B )  ->  E. s  e.  A  ( -.  s  .<_  W  /\  (
s  .\/  ( X  ./\ 
W ) )  =  X ) )
11 nfv 1626 . . . 4  |-  F/ s ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )
12 nfv 1626 . . . 4  |-  F/ s ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )
13 nfra1 2699 . . . 4  |-  F/ s A. s  e.  A  C  e.  B
1411, 12, 13nf3an 1839 . . 3  |-  F/ s ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  A. s  e.  A  C  e.  B )
15 simp11l 1068 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  A. s  e.  A  C  e.  B )  ->  K  e.  HL )
1615adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  A. s  e.  A  C  e.  B )  /\  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  ->  K  e.  HL )
17 hllat 29478 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
1816, 17syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  A. s  e.  A  C  e.  B )  /\  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  ->  K  e.  Lat )
19 simpl3 962 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  A. s  e.  A  C  e.  B )  /\  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  ->  A. s  e.  A  C  e.  B )
20 simprl 733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  A. s  e.  A  C  e.  B )  /\  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  ->  s  e.  A )
21 rsp 2709 . . . . . . . . 9  |-  ( A. s  e.  A  C  e.  B  ->  ( s  e.  A  ->  C  e.  B ) )
2219, 20, 21sylc 58 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  A. s  e.  A  C  e.  B )  /\  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  ->  C  e.  B )
2315, 17syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  A. s  e.  A  C  e.  B )  ->  K  e.  Lat )
24 simp2rl 1026 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  A. s  e.  A  C  e.  B )  ->  X  e.  B )
25 simp11r 1069 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  A. s  e.  A  C  e.  B )  ->  W  e.  H )
263, 8lhpbase 30112 . . . . . . . . . . 11  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  B )
2725, 26syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  A. s  e.  A  C  e.  B )  ->  W  e.  B )
283, 6latmcl 14407 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  ( X  ./\  W
)  e.  B )
2923, 24, 27, 28syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  A. s  e.  A  C  e.  B )  ->  ( X  ./\  W )  e.  B )
3029adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  A. s  e.  A  C  e.  B )  /\  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  ->  ( X  ./\ 
W )  e.  B
)
313, 5latjcl 14406 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  C  e.  B  /\  ( X  ./\  W )  e.  B )  -> 
( C  .\/  ( X  ./\  W ) )  e.  B )
3218, 22, 30, 31syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  A. s  e.  A  C  e.  B )  /\  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  ->  ( C  .\/  ( X  ./\  W
) )  e.  B
)
3332expr 599 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  A. s  e.  A  C  e.  B )  /\  s  e.  A )  ->  ( -.  s  .<_  W  -> 
( C  .\/  ( X  ./\  W ) )  e.  B ) )
3433adantrd 455 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  A. s  e.  A  C  e.  B )  /\  s  e.  A )  ->  (
( -.  s  .<_  W  /\  ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  ->  ( C  .\/  ( X  ./\  W ) )  e.  B ) )
3534ancld 537 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  A. s  e.  A  C  e.  B )  /\  s  e.  A )  ->  (
( -.  s  .<_  W  /\  ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  ->  ( ( -.  s  .<_  W  /\  ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( C  .\/  ( X 
./\  W ) )  e.  B ) ) )
3635ex 424 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  A. s  e.  A  C  e.  B )  ->  (
s  e.  A  -> 
( ( -.  s  .<_  W  /\  ( s 
.\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  ->  ( ( -.  s  .<_  W  /\  ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( C  .\/  ( X 
./\  W ) )  e.  B ) ) ) )
3714, 36reximdai 2757 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  A. s  e.  A  C  e.  B )  ->  ( E. s  e.  A  ( -.  s  .<_  W  /\  ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  ->  E. s  e.  A  ( ( -.  s  .<_  W  /\  ( s 
.\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( C 
.\/  ( X  ./\  W ) )  e.  B
) ) )
3810, 37mpd 15 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  A. s  e.  A  C  e.  B )  ->  E. s  e.  A  ( ( -.  s  .<_  W  /\  ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( C  .\/  ( X 
./\  W ) )  e.  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2550   A.wral 2649   E.wrex 2650   class class class wbr 4153   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   Basecbs 13396   lecple 13463   joincjn 14328   meetcmee 14329   Latclat 14401   Atomscatm 29378   HLchlt 29465   LHypclh 30098
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-id 4439  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-undef 6479  df-riota 6485  df-poset 14330  df-plt 14342  df-lub 14358  df-glb 14359  df-join 14360  df-meet 14361  df-p0 14395  df-p1 14396  df-lat 14402  df-clat 14464  df-oposet 29291  df-ol 29293  df-oml 29294  df-covers 29381  df-ats 29382  df-atl 29413  df-cvlat 29437  df-hlat 29466  df-lhyp 30102
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