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Theorem cdlemefr29exN 30591
Description: Lemma for cdlemefs29bpre1N 30606. (Compare cdleme25a 30542.) TODO: FIX COMMENT TODO: IS THIS NEEDED? (Contributed by NM, 28-Mar-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemefr29.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cdlemefr29.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdlemefr29.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdlemefr29.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdlemefr29.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdlemefr29.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
Assertion
Ref Expression
cdlemefr29exN  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  A. s  e.  A  C  e.  B )  ->  E. s  e.  A  ( ( -.  s  .<_  W  /\  ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( C  .\/  ( X 
./\  W ) )  e.  B ) )
Distinct variable groups:    A, s    B, s    H, s    K, s    .<_ , s    ./\ , s    P, s    Q, s    W, s    X, s
Allowed substitution hints:    C( s)    .\/ ( s)

Proof of Theorem cdlemefr29exN
StepHypRef Expression
1 simp11 985 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  A. s  e.  A  C  e.  B )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 simp2r 982 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  A. s  e.  A  C  e.  B )  ->  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )
3 cdlemefr29.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  K
)
4 cdlemefr29.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
5 cdlemefr29.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
6 cdlemefr29.m . . . 4  |-  ./\  =  ( meet `  K )
7 cdlemefr29.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
8 cdlemefr29.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
93, 4, 5, 6, 7, 8lhpmcvr2 30213 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  ->  E. s  e.  A  ( -.  s  .<_  W  /\  ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )
101, 2, 9syl2anc 642 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  A. s  e.  A  C  e.  B )  ->  E. s  e.  A  ( -.  s  .<_  W  /\  (
s  .\/  ( X  ./\ 
W ) )  =  X ) )
11 nfv 1605 . . . 4  |-  F/ s ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )
12 nfv 1605 . . . 4  |-  F/ s ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )
13 nfra1 2593 . . . 4  |-  F/ s A. s  e.  A  C  e.  B
1411, 12, 13nf3an 1774 . . 3  |-  F/ s ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  A. s  e.  A  C  e.  B )
15 simp11l 1066 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  A. s  e.  A  C  e.  B )  ->  K  e.  HL )
1615adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  A. s  e.  A  C  e.  B )  /\  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  ->  K  e.  HL )
17 hllat 29553 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
1816, 17syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  A. s  e.  A  C  e.  B )  /\  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  ->  K  e.  Lat )
19 simpl3 960 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  A. s  e.  A  C  e.  B )  /\  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  ->  A. s  e.  A  C  e.  B )
20 simprl 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  A. s  e.  A  C  e.  B )  /\  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  ->  s  e.  A )
21 rsp 2603 . . . . . . . . 9  |-  ( A. s  e.  A  C  e.  B  ->  ( s  e.  A  ->  C  e.  B ) )
2219, 20, 21sylc 56 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  A. s  e.  A  C  e.  B )  /\  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  ->  C  e.  B )
2315, 17syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  A. s  e.  A  C  e.  B )  ->  K  e.  Lat )
24 simp2rl 1024 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  A. s  e.  A  C  e.  B )  ->  X  e.  B )
25 simp11r 1067 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  A. s  e.  A  C  e.  B )  ->  W  e.  H )
263, 8lhpbase 30187 . . . . . . . . . . 11  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  B )
2725, 26syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  A. s  e.  A  C  e.  B )  ->  W  e.  B )
283, 6latmcl 14157 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  ( X  ./\  W
)  e.  B )
2923, 24, 27, 28syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  A. s  e.  A  C  e.  B )  ->  ( X  ./\  W )  e.  B )
3029adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  A. s  e.  A  C  e.  B )  /\  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  ->  ( X  ./\ 
W )  e.  B
)
313, 5latjcl 14156 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  C  e.  B  /\  ( X  ./\  W )  e.  B )  -> 
( C  .\/  ( X  ./\  W ) )  e.  B )
3218, 22, 30, 31syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  A. s  e.  A  C  e.  B )  /\  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  ->  ( C  .\/  ( X  ./\  W
) )  e.  B
)
3332expr 598 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  A. s  e.  A  C  e.  B )  /\  s  e.  A )  ->  ( -.  s  .<_  W  -> 
( C  .\/  ( X  ./\  W ) )  e.  B ) )
3433adantrd 454 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  A. s  e.  A  C  e.  B )  /\  s  e.  A )  ->  (
( -.  s  .<_  W  /\  ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  ->  ( C  .\/  ( X  ./\  W ) )  e.  B ) )
3534ancld 536 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  A. s  e.  A  C  e.  B )  /\  s  e.  A )  ->  (
( -.  s  .<_  W  /\  ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  ->  ( ( -.  s  .<_  W  /\  ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( C  .\/  ( X 
./\  W ) )  e.  B ) ) )
3635ex 423 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  A. s  e.  A  C  e.  B )  ->  (
s  e.  A  -> 
( ( -.  s  .<_  W  /\  ( s 
.\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  ->  ( ( -.  s  .<_  W  /\  ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( C  .\/  ( X 
./\  W ) )  e.  B ) ) ) )
3714, 36reximdai 2651 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  A. s  e.  A  C  e.  B )  ->  ( E. s  e.  A  ( -.  s  .<_  W  /\  ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  ->  E. s  e.  A  ( ( -.  s  .<_  W  /\  ( s 
.\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( C 
.\/  ( X  ./\  W ) )  e.  B
) ) )
3810, 37mpd 14 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  A. s  e.  A  C  e.  B )  ->  E. s  e.  A  ( ( -.  s  .<_  W  /\  ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( C  .\/  ( X 
./\  W ) )  e.  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   lecple 13215   joincjn 14078   meetcmee 14079   Latclat 14151   Atomscatm 29453   HLchlt 29540   LHypclh 30173
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-undef 6298  df-riota 6304  df-poset 14080  df-plt 14092  df-lub 14108  df-glb 14109  df-join 14110  df-meet 14111  df-p0 14145  df-p1 14146  df-lat 14152  df-clat 14214  df-oposet 29366  df-ol 29368  df-oml 29369  df-covers 29456  df-ats 29457  df-atl 29488  df-cvlat 29512  df-hlat 29541  df-lhyp 30177
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