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Theorem cdlemefrs29bpre0 31193
Description: TODO fix comment. (Contributed by NM, 29-Mar-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemefrs27.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cdlemefrs27.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdlemefrs27.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdlemefrs27.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdlemefrs27.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdlemefrs27.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdlemefrs27.eq  |-  ( s  =  R  ->  ( ph 
<->  ps ) )
cdlemefrs27.nb  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  P  =/=  Q  /\  (
s  e.  A  /\  ( -.  s  .<_  W  /\  ph ) ) )  ->  N  e.  B )
Assertion
Ref Expression
cdlemefrs29bpre0  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ps )  ->  ( A. s  e.  A  ( ( ( -.  s  .<_  W  /\  ph )  /\  ( s 
.\/  ( R  ./\  W ) )  =  R )  ->  z  =  ( N  .\/  ( R 
./\  W ) ) )  <->  z  =  [_ R  /  s ]_ N
) )
Distinct variable groups:    z, s    A, s    H, s    .\/ , s    K, s    .<_ , s    P, s    Q, s    R, s    W, s    ps, s
Allowed substitution hints:    ph( z, s)    ps( z)    A( z)    B( z, s)    P( z)    Q( z)    R( z)    H( z)    .\/ ( z)    K( z)    .<_ ( z)    ./\ ( z,
s)    N( z, s)    W( z)

Proof of Theorem cdlemefrs29bpre0
StepHypRef Expression
1 df-ral 2710 . . 3  |-  ( A. s  e.  A  (
( ( -.  s  .<_  W  /\  ph )  /\  ( s  .\/  ( R  ./\  W ) )  =  R )  -> 
z  =  ( N 
.\/  ( R  ./\  W ) ) )  <->  A. s
( s  e.  A  ->  ( ( ( -.  s  .<_  W  /\  ph )  /\  ( s 
.\/  ( R  ./\  W ) )  =  R )  ->  z  =  ( N  .\/  ( R 
./\  W ) ) ) ) )
2 anass 631 . . . . . . 7  |-  ( ( ( s  e.  A  /\  ( -.  s  .<_  W  /\  ph ) )  /\  ( s  .\/  ( R  ./\  W ) )  =  R )  <-> 
( s  e.  A  /\  ( ( -.  s  .<_  W  /\  ph )  /\  ( s  .\/  ( R  ./\  W ) )  =  R ) ) )
32imbi1i 316 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( s  e.  A  /\  ( -.  s  .<_  W  /\  ph ) )  /\  (
s  .\/  ( R  ./\ 
W ) )  =  R )  ->  z  =  ( N  .\/  ( R  ./\  W ) ) )  <->  ( (
s  e.  A  /\  ( ( -.  s  .<_  W  /\  ph )  /\  ( s  .\/  ( R  ./\  W ) )  =  R ) )  ->  z  =  ( N  .\/  ( R 
./\  W ) ) ) )
4 impexp 434 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( s  e.  A  /\  ( -.  s  .<_  W  /\  ph ) )  /\  (
s  .\/  ( R  ./\ 
W ) )  =  R )  ->  z  =  ( N  .\/  ( R  ./\  W ) ) )  <->  ( (
s  e.  A  /\  ( -.  s  .<_  W  /\  ph ) )  ->  ( ( s 
.\/  ( R  ./\  W ) )  =  R  ->  z  =  ( N  .\/  ( R 
./\  W ) ) ) ) )
5 impexp 434 . . . . . 6  |-  ( ( ( s  e.  A  /\  ( ( -.  s  .<_  W  /\  ph )  /\  ( s  .\/  ( R  ./\  W ) )  =  R ) )  ->  z  =  ( N  .\/  ( R 
./\  W ) ) )  <->  ( s  e.  A  ->  ( (
( -.  s  .<_  W  /\  ph )  /\  ( s  .\/  ( R  ./\  W ) )  =  R )  -> 
z  =  ( N 
.\/  ( R  ./\  W ) ) ) ) )
63, 4, 53bitr3ri 268 . . . . 5  |-  ( ( s  e.  A  -> 
( ( ( -.  s  .<_  W  /\  ph )  /\  ( s 
.\/  ( R  ./\  W ) )  =  R )  ->  z  =  ( N  .\/  ( R 
./\  W ) ) ) )  <->  ( (
s  e.  A  /\  ( -.  s  .<_  W  /\  ph ) )  ->  ( ( s 
.\/  ( R  ./\  W ) )  =  R  ->  z  =  ( N  .\/  ( R 
./\  W ) ) ) ) )
7 simpl11 1032 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ps )  /\  ( s  e.  A  /\  ( -.  s  .<_  W  /\  ph ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
8 simpl2r 1011 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ps )  /\  ( s  e.  A  /\  ( -.  s  .<_  W  /\  ph ) ) )  ->  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )
9 cdlemefrs27.l . . . . . . . . . . . . 13  |-  .<_  =  ( le `  K )
10 cdlemefrs27.m . . . . . . . . . . . . 13  |-  ./\  =  ( meet `  K )
11 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0.
`  K )  =  ( 0. `  K
)
12 cdlemefrs27.a . . . . . . . . . . . . 13  |-  A  =  ( Atoms `  K )
13 cdlemefrs27.h . . . . . . . . . . . . 13  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
149, 10, 11, 12, 13lhpmat 30827 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  -> 
( R  ./\  W
)  =  ( 0.
`  K ) )
157, 8, 14syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ps )  /\  ( s  e.  A  /\  ( -.  s  .<_  W  /\  ph ) ) )  ->  ( R  ./\ 
W )  =  ( 0. `  K ) )
1615oveq2d 6097 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ps )  /\  ( s  e.  A  /\  ( -.  s  .<_  W  /\  ph ) ) )  ->  ( s  .\/  ( R  ./\  W
) )  =  ( s  .\/  ( 0.
`  K ) ) )
17 simp11l 1068 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ps )  ->  K  e.  HL )
18 hlol 30159 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OL )
1917, 18syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ps )  ->  K  e.  OL )
2019adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ps )  /\  ( s  e.  A  /\  ( -.  s  .<_  W  /\  ph ) ) )  ->  K  e.  OL )
21 simprl 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ps )  /\  ( s  e.  A  /\  ( -.  s  .<_  W  /\  ph ) ) )  ->  s  e.  A )
22 cdlemefrs27.b . . . . . . . . . . . . 13  |-  B  =  ( Base `  K
)
2322, 12atbase 30087 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  e.  A  ->  s  e.  B )
2421, 23syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ps )  /\  ( s  e.  A  /\  ( -.  s  .<_  W  /\  ph ) ) )  ->  s  e.  B )
25 cdlemefrs27.j . . . . . . . . . . . 12  |-  .\/  =  ( join `  K )
2622, 25, 11olj01 30023 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  OL  /\  s  e.  B )  ->  ( s  .\/  ( 0. `  K ) )  =  s )
2720, 24, 26syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ps )  /\  ( s  e.  A  /\  ( -.  s  .<_  W  /\  ph ) ) )  ->  ( s  .\/  ( 0. `  K
) )  =  s )
2816, 27eqtrd 2468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ps )  /\  ( s  e.  A  /\  ( -.  s  .<_  W  /\  ph ) ) )  ->  ( s  .\/  ( R  ./\  W
) )  =  s )
2928eqeq1d 2444 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ps )  /\  ( s  e.  A  /\  ( -.  s  .<_  W  /\  ph ) ) )  ->  ( (
s  .\/  ( R  ./\ 
W ) )  =  R  <->  s  =  R ) )
3015oveq2d 6097 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ps )  /\  ( s  e.  A  /\  ( -.  s  .<_  W  /\  ph ) ) )  ->  ( N  .\/  ( R  ./\  W
) )  =  ( N  .\/  ( 0.
`  K ) ) )
31 simpl1 960 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ps )  /\  ( s  e.  A  /\  ( -.  s  .<_  W  /\  ph ) ) )  ->  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) ) )
32 simpl2l 1010 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ps )  /\  ( s  e.  A  /\  ( -.  s  .<_  W  /\  ph ) ) )  ->  P  =/=  Q )
33 simprr 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ps )  /\  ( s  e.  A  /\  ( -.  s  .<_  W  /\  ph ) ) )  ->  ( -.  s  .<_  W  /\  ph ) )
34 cdlemefrs27.nb . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  P  =/=  Q  /\  (
s  e.  A  /\  ( -.  s  .<_  W  /\  ph ) ) )  ->  N  e.  B )
3531, 32, 21, 33, 34syl112anc 1188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ps )  /\  ( s  e.  A  /\  ( -.  s  .<_  W  /\  ph ) ) )  ->  N  e.  B )
3622, 25, 11olj01 30023 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  OL  /\  N  e.  B )  ->  ( N  .\/  ( 0. `  K ) )  =  N )
3720, 35, 36syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ps )  /\  ( s  e.  A  /\  ( -.  s  .<_  W  /\  ph ) ) )  ->  ( N  .\/  ( 0. `  K
) )  =  N )
3830, 37eqtrd 2468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ps )  /\  ( s  e.  A  /\  ( -.  s  .<_  W  /\  ph ) ) )  ->  ( N  .\/  ( R  ./\  W
) )  =  N )
3938eqeq2d 2447 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ps )  /\  ( s  e.  A  /\  ( -.  s  .<_  W  /\  ph ) ) )  ->  ( z  =  ( N  .\/  ( R  ./\  W ) )  <->  z  =  N ) )
4029, 39imbi12d 312 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ps )  /\  ( s  e.  A  /\  ( -.  s  .<_  W  /\  ph ) ) )  ->  ( (
( s  .\/  ( R  ./\  W ) )  =  R  ->  z  =  ( N  .\/  ( R  ./\  W ) ) )  <->  ( s  =  R  ->  z  =  N ) ) )
4140pm5.74da 669 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ps )  ->  ( ( ( s  e.  A  /\  ( -.  s  .<_  W  /\  ph ) )  ->  (
( s  .\/  ( R  ./\  W ) )  =  R  ->  z  =  ( N  .\/  ( R  ./\  W ) ) ) )  <->  ( (
s  e.  A  /\  ( -.  s  .<_  W  /\  ph ) )  ->  ( s  =  R  ->  z  =  N ) ) ) )
42 impexp 434 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( s  e.  A  /\  ( -.  s  .<_  W  /\  ph ) )  /\  s  =  R )  ->  z  =  N )  <->  ( (
s  e.  A  /\  ( -.  s  .<_  W  /\  ph ) )  ->  ( s  =  R  ->  z  =  N ) ) )
43 eqcom 2438 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  N  <->  N  =  z )
4443imbi2i 304 . . . . . . . 8  |-  ( ( s  =  R  -> 
z  =  N )  <-> 
( s  =  R  ->  N  =  z ) )
45 simp2rl 1026 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ps )  ->  R  e.  A )
46 simp2rr 1027 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ps )  ->  -.  R  .<_  W )
47 simp3 959 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ps )  ->  ps )
48 eleq1 2496 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  R  ->  (
s  e.  A  <->  R  e.  A ) )
49 breq1 4215 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  =  R  ->  (
s  .<_  W  <->  R  .<_  W ) )
5049notbid 286 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  =  R  ->  ( -.  s  .<_  W  <->  -.  R  .<_  W ) )
51 cdlemefrs27.eq . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  =  R  ->  ( ph 
<->  ps ) )
5250, 51anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  R  ->  (
( -.  s  .<_  W  /\  ph )  <->  ( -.  R  .<_  W  /\  ps ) ) )
5348, 52anbi12d 692 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  R  ->  (
( s  e.  A  /\  ( -.  s  .<_  W  /\  ph ) )  <-> 
( R  e.  A  /\  ( -.  R  .<_  W  /\  ps ) ) ) )
5453biimprcd 217 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  A  /\  ( -.  R  .<_  W  /\  ps ) )  ->  ( s  =  R  ->  ( s  e.  A  /\  ( -.  s  .<_  W  /\  ph ) ) ) )
5545, 46, 47, 54syl12anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ps )  ->  ( s  =  R  ->  ( s  e.  A  /\  ( -.  s  .<_  W  /\  ph ) ) ) )
5655pm4.71rd 617 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ps )  ->  ( s  =  R  <-> 
( ( s  e.  A  /\  ( -.  s  .<_  W  /\  ph ) )  /\  s  =  R ) ) )
5756imbi1d 309 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ps )  ->  ( ( s  =  R  ->  z  =  N )  <->  ( (
( s  e.  A  /\  ( -.  s  .<_  W  /\  ph ) )  /\  s  =  R )  ->  z  =  N ) ) )
5844, 57syl5rbbr 252 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ps )  ->  ( ( ( ( s  e.  A  /\  ( -.  s  .<_  W  /\  ph ) )  /\  s  =  R )  ->  z  =  N )  <->  ( s  =  R  ->  N  =  z ) ) )
5942, 58syl5bbr 251 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ps )  ->  ( ( ( s  e.  A  /\  ( -.  s  .<_  W  /\  ph ) )  ->  (
s  =  R  -> 
z  =  N ) )  <->  ( s  =  R  ->  N  =  z ) ) )
6041, 59bitrd 245 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ps )  ->  ( ( ( s  e.  A  /\  ( -.  s  .<_  W  /\  ph ) )  ->  (
( s  .\/  ( R  ./\  W ) )  =  R  ->  z  =  ( N  .\/  ( R  ./\  W ) ) ) )  <->  ( s  =  R  ->  N  =  z ) ) )
616, 60syl5bb 249 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ps )  ->  ( ( s  e.  A  ->  ( (
( -.  s  .<_  W  /\  ph )  /\  ( s  .\/  ( R  ./\  W ) )  =  R )  -> 
z  =  ( N 
.\/  ( R  ./\  W ) ) ) )  <-> 
( s  =  R  ->  N  =  z ) ) )
6261albidv 1635 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ps )  ->  ( A. s ( s  e.  A  -> 
( ( ( -.  s  .<_  W  /\  ph )  /\  ( s 
.\/  ( R  ./\  W ) )  =  R )  ->  z  =  ( N  .\/  ( R 
./\  W ) ) ) )  <->  A. s
( s  =  R  ->  N  =  z ) ) )
631, 62syl5bb 249 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ps )  ->  ( A. s  e.  A  ( ( ( -.  s  .<_  W  /\  ph )  /\  ( s 
.\/  ( R  ./\  W ) )  =  R )  ->  z  =  ( N  .\/  ( R 
./\  W ) ) )  <->  A. s ( s  =  R  ->  N  =  z ) ) )
64 nfcv 2572 . . . . 5  |-  F/_ s
z
6564csbiebg 3290 . . . 4  |-  ( R  e.  A  ->  ( A. s ( s  =  R  ->  N  =  z )  <->  [_ R  / 
s ]_ N  =  z ) )
6645, 65syl 16 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ps )  ->  ( A. s ( s  =  R  ->  N  =  z )  <->  [_ R  /  s ]_ N  =  z )
)
67 eqcom 2438 . . 3  |-  ( [_ R  /  s ]_ N  =  z  <->  z  =  [_ R  /  s ]_ N
)
6866, 67syl6bb 253 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ps )  ->  ( A. s ( s  =  R  ->  N  =  z )  <->  z  =  [_ R  / 
s ]_ N ) )
6963, 68bitrd 245 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ps )  ->  ( A. s  e.  A  ( ( ( -.  s  .<_  W  /\  ph )  /\  ( s 
.\/  ( R  ./\  W ) )  =  R )  ->  z  =  ( N  .\/  ( R 
./\  W ) ) )  <->  z  =  [_ R  /  s ]_ N
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   A.wal 1549    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   A.wral 2705   [_csb 3251   class class class wbr 4212   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   Basecbs 13469   lecple 13536   joincjn 14401   meetcmee 14402   0.cp0 14466   OLcol 29972   Atomscatm 30061   HLchlt 30148   LHypclh 30781
This theorem is referenced by:  cdlemefrs29bpre1  31194  cdlemefrs32fva  31197  cdlemefr29bpre0N  31203  cdlemefs29bpre0N  31213
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-undef 6543  df-riota 6549  df-poset 14403  df-plt 14415  df-lub 14431  df-glb 14432  df-join 14433  df-meet 14434  df-p0 14468  df-lat 14475  df-oposet 29974  df-ol 29976  df-oml 29977  df-covers 30064  df-ats 30065  df-atl 30096  df-cvlat 30120  df-hlat 30149  df-lhyp 30785
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