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Theorem cdlemeg49lebilem 31336
Description: Part of proof of Lemma D in [Crawley] p. 113. TODO: fix comment. (Contributed by NM, 9-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemef46g.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cdlemef46g.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdlemef46g.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdlemef46g.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdlemef46g.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdlemef46g.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdlemef46g.u  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
cdlemef46g.d  |-  D  =  ( ( t  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  t )  ./\  W
) ) )
cdlemefs46g.e  |-  E  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( D  .\/  ( ( s  .\/  t )  ./\  W
) ) )
cdlemef46g.f  |-  F  =  ( x  e.  B  |->  if ( ( P  =/=  Q  /\  -.  x  .<_  W ) ,  ( iota_ z  e.  B A. s  e.  A  ( ( -.  s  .<_  W  /\  ( s 
.\/  ( x  ./\  W ) )  =  x )  ->  z  =  ( if ( s  .<_  ( P  .\/  Q ) ,  ( iota_ y  e.  B A. t  e.  A  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  ->  y  =  E ) ) ,  [_ s  /  t ]_ D
)  .\/  ( x  ./\ 
W ) ) ) ) ,  x ) )
cdlemef46.v  |-  V  =  ( ( Q  .\/  P )  ./\  W )
cdlemef46.n  |-  N  =  ( ( v  .\/  V )  ./\  ( P  .\/  ( ( Q  .\/  v )  ./\  W
) ) )
cdlemefs46.o  |-  O  =  ( ( Q  .\/  P )  ./\  ( N  .\/  ( ( u  .\/  v )  ./\  W
) ) )
cdlemef46.g  |-  G  =  ( a  e.  B  |->  if ( ( Q  =/=  P  /\  -.  a  .<_  W ) ,  ( iota_ c  e.  B A. u  e.  A  ( ( -.  u  .<_  W  /\  ( u 
.\/  ( a  ./\  W ) )  =  a )  ->  c  =  ( if ( u  .<_  ( Q  .\/  P ) ,  ( iota_ b  e.  B A. v  e.  A  ( ( -.  v  .<_  W  /\  -.  v  .<_  ( Q 
.\/  P ) )  ->  b  =  O ) ) ,  [_ u  /  v ]_ N
)  .\/  ( a  ./\  W ) ) ) ) ,  a ) )
Assertion
Ref Expression
cdlemeg49lebilem  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( X  .<_  Y  <->  ( F `  X )  .<_  ( F `
 Y ) ) )
Distinct variable groups:    t, s, x, y, z, A    B, s, t, x, y, z    D, s, x, y, z   
x, E, y, z    H, s, t, x, y, z    .\/ , s, t, x, y, z    K, s, t, x, y, z    .<_ , s, t, x, y, z    ./\ , s, t, x, y, z    P, s, t, x, y, z    Q, s, t, x, y, z    U, s, t, x, y, z    W, s, t, x, y, z   
a, b, c, u, v, A    B, a,
b, c, u, v   
v, D    G, s,
t, x, y, z    H, a, b, c, u, v    .\/ , a, b, c, u, v    K, a, b, c, u, v    .<_ , a, b, c, u, v    ./\ , a, b, c, u, v    N, a, b, c    O, a, b, c    P, a, b, c, u, v    Q, a, b, c, u, v    V, a, b, c    W, a, b, c, u, v, x, y, z   
u, N, x, y, z    x, O, y, z    v, t    u, V    x, v, y, z, V    D, a, b, c    E, a, b, c    F, a, b, c, u, v   
t, N    U, a,
b, c, v    t, V    s, a, t, b, c, x, y, z, u, v    X, a, c, s, t, u, v, x, z    Y, a, b, c, s, t, u, v, x, y, z
Allowed substitution hints:    D( u, t)    U( u)    E( v, u, t, s)    F( x, y, z, t, s)    G( v, u, a, b, c)    N( v, s)    O( v, u, t, s)    V( s)    X( y, b)

Proof of Theorem cdlemeg49lebilem
StepHypRef Expression
1 cdlemef46g.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 cdlemef46g.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 cdlemef46g.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
4 cdlemef46g.m . . . 4  |-  ./\  =  ( meet `  K )
5 cdlemef46g.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
6 cdlemef46g.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
7 cdlemef46g.u . . . 4  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
8 vex 2959 . . . . 5  |-  s  e. 
_V
9 cdlemef46g.d . . . . . 6  |-  D  =  ( ( t  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  t )  ./\  W
) ) )
10 eqid 2436 . . . . . 6  |-  ( ( s  .\/  U ) 
./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  s )  ./\  W
) ) )  =  ( ( s  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  s )  ./\  W
) ) )
119, 10cdleme31sc 31181 . . . . 5  |-  ( s  e.  _V  ->  [_ s  /  t ]_ D  =  ( ( s 
.\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  s ) 
./\  W ) ) ) )
128, 11ax-mp 8 . . . 4  |-  [_ s  /  t ]_ D  =  ( ( s 
.\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  s ) 
./\  W ) ) )
13 cdlemefs46g.e . . . 4  |-  E  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( D  .\/  ( ( s  .\/  t )  ./\  W
) ) )
14 eqid 2436 . . . 4  |-  ( iota_ y  e.  B A. t  e.  A  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  ->  y  =  E ) )  =  (
iota_ y  e.  B A. t  e.  A  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  y  =  E ) )
15 eqid 2436 . . . 4  |-  if ( s  .<_  ( P  .\/  Q ) ,  (
iota_ y  e.  B A. t  e.  A  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  y  =  E ) ) , 
[_ s  /  t ]_ D )  =  if ( s  .<_  ( P 
.\/  Q ) ,  ( iota_ y  e.  B A. t  e.  A  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  y  =  E ) ) , 
[_ s  /  t ]_ D )
16 eqid 2436 . . . 4  |-  ( iota_ z  e.  B A. s  e.  A  ( ( -.  s  .<_  W  /\  ( s  .\/  (
x  ./\  W )
)  =  x )  ->  z  =  ( if ( s  .<_  ( P  .\/  Q ) ,  ( iota_ y  e.  B A. t  e.  A  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  ->  y  =  E ) ) ,  [_ s  /  t ]_ D
)  .\/  ( x  ./\ 
W ) ) ) )  =  ( iota_ z  e.  B A. s  e.  A  ( ( -.  s  .<_  W  /\  ( s  .\/  (
x  ./\  W )
)  =  x )  ->  z  =  ( if ( s  .<_  ( P  .\/  Q ) ,  ( iota_ y  e.  B A. t  e.  A  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  ->  y  =  E ) ) ,  [_ s  /  t ]_ D
)  .\/  ( x  ./\ 
W ) ) ) )
17 cdlemef46g.f . . . 4  |-  F  =  ( x  e.  B  |->  if ( ( P  =/=  Q  /\  -.  x  .<_  W ) ,  ( iota_ z  e.  B A. s  e.  A  ( ( -.  s  .<_  W  /\  ( s 
.\/  ( x  ./\  W ) )  =  x )  ->  z  =  ( if ( s  .<_  ( P  .\/  Q ) ,  ( iota_ y  e.  B A. t  e.  A  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  ->  y  =  E ) ) ,  [_ s  /  t ]_ D
)  .\/  ( x  ./\ 
W ) ) ) ) ,  x ) )
181, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 12, 9, 13, 14, 15, 16, 17cdleme32le 31244 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  X  .<_  Y )  ->  ( F `  X )  .<_  ( F `
 Y ) )
19183expia 1155 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( X  .<_  Y  ->  ( F `  X )  .<_  ( F `  Y
) ) )
20 simp1 957 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( F `  X )  .<_  ( F `
 Y ) )  ->  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) ) )
21 simp2l 983 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( F `  X )  .<_  ( F `
 Y ) )  ->  X  e.  B
)
22 biid 228 . . . . . . . 8  |-  ( s 
.<_  ( P  .\/  Q
)  <->  s  .<_  ( P 
.\/  Q ) )
2322, 12ifbieq2i 3758 . . . . . . 7  |-  if ( s  .<_  ( P  .\/  Q ) ,  (
iota_ y  e.  B A. t  e.  A  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  y  =  E ) ) , 
[_ s  /  t ]_ D )  =  if ( s  .<_  ( P 
.\/  Q ) ,  ( iota_ y  e.  B A. t  e.  A  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  y  =  E ) ) ,  ( ( s  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  s )  ./\  W
) ) ) )
241, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 9, 13, 14, 23, 16, 17cdleme32fvcl 31237 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  X  e.  B )  ->  ( F `  X
)  e.  B )
2520, 21, 24syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( F `  X )  .<_  ( F `
 Y ) )  ->  ( F `  X )  e.  B
)
26 simp2r 984 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( F `  X )  .<_  ( F `
 Y ) )  ->  Y  e.  B
)
271, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 9, 13, 14, 23, 16, 17cdleme32fvcl 31237 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  Y  e.  B )  ->  ( F `  Y
)  e.  B )
2820, 26, 27syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( F `  X )  .<_  ( F `
 Y ) )  ->  ( F `  Y )  e.  B
)
29 simp3 959 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( F `  X )  .<_  ( F `
 Y ) )  ->  ( F `  X )  .<_  ( F `
 Y ) )
30 cdlemef46.v . . . . . 6  |-  V  =  ( ( Q  .\/  P )  ./\  W )
31 cdlemef46.n . . . . . 6  |-  N  =  ( ( v  .\/  V )  ./\  ( P  .\/  ( ( Q  .\/  v )  ./\  W
) ) )
32 cdlemefs46.o . . . . . 6  |-  O  =  ( ( Q  .\/  P )  ./\  ( N  .\/  ( ( u  .\/  v )  ./\  W
) ) )
33 cdlemef46.g . . . . . 6  |-  G  =  ( a  e.  B  |->  if ( ( Q  =/=  P  /\  -.  a  .<_  W ) ,  ( iota_ c  e.  B A. u  e.  A  ( ( -.  u  .<_  W  /\  ( u 
.\/  ( a  ./\  W ) )  =  a )  ->  c  =  ( if ( u  .<_  ( Q  .\/  P ) ,  ( iota_ b  e.  B A. v  e.  A  ( ( -.  v  .<_  W  /\  -.  v  .<_  ( Q 
.\/  P ) )  ->  b  =  O ) ) ,  [_ u  /  v ]_ N
)  .\/  ( a  ./\  W ) ) ) ) ,  a ) )
341, 2, 3, 4, 5, 6, 30, 31, 32, 33cdlemeg49le 31308 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( F `  X )  e.  B  /\  ( F `  Y
)  e.  B )  /\  ( F `  X )  .<_  ( F `
 Y ) )  ->  ( G `  ( F `  X ) )  .<_  ( G `  ( F `  Y
) ) )
3520, 25, 28, 29, 34syl121anc 1189 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( F `  X )  .<_  ( F `
 Y ) )  ->  ( G `  ( F `  X ) )  .<_  ( G `  ( F `  Y
) ) )
361, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 13, 17, 30, 31, 32, 33cdleme48gfv 31334 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  X  e.  B )  ->  ( G `  ( F `  X )
)  =  X )
3736adantrr 698 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( G `  ( F `  X ) )  =  X )
381, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 13, 17, 30, 31, 32, 33cdleme48gfv 31334 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  Y  e.  B )  ->  ( G `  ( F `  Y )
)  =  Y )
3938adantrl 697 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( G `  ( F `  Y ) )  =  Y )
4037, 39breq12d 4225 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( G `  ( F `  X )
)  .<_  ( G `  ( F `  Y ) )  <->  X  .<_  Y ) )
41403adant3 977 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( F `  X )  .<_  ( F `
 Y ) )  ->  ( ( G `
 ( F `  X ) )  .<_  ( G `  ( F `
 Y ) )  <-> 
X  .<_  Y ) )
4235, 41mpbid 202 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( F `  X )  .<_  ( F `
 Y ) )  ->  X  .<_  Y )
43423expia 1155 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( F `  X
)  .<_  ( F `  Y )  ->  X  .<_  Y ) )
4419, 43impbid 184 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( X  .<_  Y  <->  ( F `  X )  .<_  ( F `
 Y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   A.wral 2705   _Vcvv 2956   [_csb 3251   ifcif 3739   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   iota_crio 6542   Basecbs 13469   lecple 13536   joincjn 14401   meetcmee 14402   Atomscatm 30061   HLchlt 30148   LHypclh 30781
This theorem is referenced by:  cdleme50lebi  31337
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-undef 6543  df-riota 6549  df-poset 14403  df-plt 14415  df-lub 14431  df-glb 14432  df-join 14433  df-meet 14434  df-p0 14468  df-p1 14469  df-lat 14475  df-clat 14537  df-oposet 29974  df-ol 29976  df-oml 29977  df-covers 30064  df-ats 30065  df-atl 30096  df-cvlat 30120  df-hlat 30149  df-llines 30295  df-lplanes 30296  df-lvols 30297  df-lines 30298  df-psubsp 30300  df-pmap 30301  df-padd 30593  df-lhyp 30785
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