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Theorem cdlemg10c 31437
Description: TODO: FIX COMMENT TODO: Can this be moved up as a stand-alone theorem in trl* area? (Contributed by NM, 4-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg8.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdlemg8.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdlemg8.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdlemg8.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdlemg8.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdlemg8.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
cdlemg10.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
cdlemg10c  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T ) )  -> 
( ( R `  F )  .<_  ( ( G `  P ) 
.\/  ( G `  Q ) )  <->  ( R `  F )  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )

Proof of Theorem cdlemg10c
StepHypRef Expression
1 simp1 958 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 simp3l 986 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T ) )  ->  F  e.  T )
3 cdlemg8.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  K )
4 cdlemg8.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
5 cdlemg8.t . . . . 5  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
6 cdlemg10.r . . . . 5  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
73, 4, 5, 6trlle 30982 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( R `  F )  .<_  W )
81, 2, 7syl2anc 644 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T ) )  -> 
( R `  F
)  .<_  W )
98biantrud 495 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T ) )  -> 
( ( R `  F )  .<_  ( ( G `  P ) 
.\/  ( G `  Q ) )  <->  ( ( R `  F )  .<_  ( ( G `  P )  .\/  ( G `  Q )
)  /\  ( R `  F )  .<_  W ) ) )
10 simp1l 982 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T ) )  ->  K  e.  HL )
11 hllat 30162 . . . 4  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
1210, 11syl 16 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T ) )  ->  K  e.  Lat )
13 eqid 2437 . . . . 5  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
1413, 4, 5, 6trlcl 30962 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( R `  F )  e.  (
Base `  K )
)
151, 2, 14syl2anc 644 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T ) )  -> 
( R `  F
)  e.  ( Base `  K ) )
16 simp3r 987 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T ) )  ->  G  e.  T )
17 simp2ll 1025 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T ) )  ->  P  e.  A )
18 cdlemg8.a . . . . . 6  |-  A  =  ( Atoms `  K )
193, 18, 4, 5ltrnat 30938 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T  /\  P  e.  A
)  ->  ( G `  P )  e.  A
)
201, 16, 17, 19syl3anc 1185 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T ) )  -> 
( G `  P
)  e.  A )
21 simp2rl 1027 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T ) )  ->  Q  e.  A )
223, 18, 4, 5ltrnat 30938 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T  /\  Q  e.  A
)  ->  ( G `  Q )  e.  A
)
231, 16, 21, 22syl3anc 1185 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T ) )  -> 
( G `  Q
)  e.  A )
24 cdlemg8.j . . . . 5  |-  .\/  =  ( join `  K )
2513, 24, 18hlatjcl 30165 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( G `  P )  e.  A  /\  ( G `  Q )  e.  A )  ->  (
( G `  P
)  .\/  ( G `  Q ) )  e.  ( Base `  K
) )
2610, 20, 23, 25syl3anc 1185 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T ) )  -> 
( ( G `  P )  .\/  ( G `  Q )
)  e.  ( Base `  K ) )
27 simp1r 983 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T ) )  ->  W  e.  H )
2813, 4lhpbase 30796 . . . 4  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  ( Base `  K
) )
2927, 28syl 16 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T ) )  ->  W  e.  ( Base `  K ) )
30 cdlemg8.m . . . 4  |-  ./\  =  ( meet `  K )
3113, 3, 30latlem12 14508 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( R `  F )  e.  (
Base `  K )  /\  ( ( G `  P )  .\/  ( G `  Q )
)  e.  ( Base `  K )  /\  W  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( ( ( R `
 F )  .<_  ( ( G `  P )  .\/  ( G `  Q )
)  /\  ( R `  F )  .<_  W )  <-> 
( R `  F
)  .<_  ( ( ( G `  P ) 
.\/  ( G `  Q ) )  ./\  W ) ) )
3212, 15, 26, 29, 31syl13anc 1187 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T ) )  -> 
( ( ( R `
 F )  .<_  ( ( G `  P )  .\/  ( G `  Q )
)  /\  ( R `  F )  .<_  W )  <-> 
( R `  F
)  .<_  ( ( ( G `  P ) 
.\/  ( G `  Q ) )  ./\  W ) ) )
3313, 24, 18hlatjcl 30165 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  ( P  .\/  Q
)  e.  ( Base `  K ) )
3410, 17, 21, 33syl3anc 1185 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T ) )  -> 
( P  .\/  Q
)  e.  ( Base `  K ) )
3513, 3, 30latlem12 14508 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( R `  F )  e.  (
Base `  K )  /\  ( P  .\/  Q
)  e.  ( Base `  K )  /\  W  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( ( ( R `
 F )  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  ( R `  F )  .<_  W )  <-> 
( R `  F
)  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  ./\  W ) ) )
3612, 15, 34, 29, 35syl13anc 1187 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T ) )  -> 
( ( ( R `
 F )  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  ( R `  F )  .<_  W )  <-> 
( R `  F
)  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  ./\  W ) ) )
378biantrud 495 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T ) )  -> 
( ( R `  F )  .<_  ( P 
.\/  Q )  <->  ( ( R `  F )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  ( R `  F )  .<_  W ) ) )
383, 24, 30, 18, 4, 5cdlemg10b 31433 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  G  e.  T )  ->  (
( ( G `  P )  .\/  ( G `  Q )
)  ./\  W )  =  ( ( P 
.\/  Q )  ./\  W ) )
39383adant3l 1181 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T ) )  -> 
( ( ( G `
 P )  .\/  ( G `  Q ) )  ./\  W )  =  ( ( P 
.\/  Q )  ./\  W ) )
4039breq2d 4225 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T ) )  -> 
( ( R `  F )  .<_  ( ( ( G `  P
)  .\/  ( G `  Q ) )  ./\  W )  <->  ( R `  F )  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
./\  W ) ) )
4136, 37, 403bitr4rd 279 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T ) )  -> 
( ( R `  F )  .<_  ( ( ( G `  P
)  .\/  ( G `  Q ) )  ./\  W )  <->  ( R `  F )  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )
429, 32, 413bitrd 272 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T ) )  -> 
( ( R `  F )  .<_  ( ( G `  P ) 
.\/  ( G `  Q ) )  <->  ( R `  F )  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   class class class wbr 4213   ` cfv 5455  (class class class)co 6082   Basecbs 13470   lecple 13537   joincjn 14402   meetcmee 14403   Latclat 14475   Atomscatm 30062   HLchlt 30149   LHypclh 30782   LTrncltrn 30899   trLctrl 30956
This theorem is referenced by:  cdlemg10a  31438  cdlemg12d  31444
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-op 3824  df-uni 4017  df-iun 4096  df-iin 4097  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-id 4499  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-undef 6544  df-riota 6550  df-map 7021  df-poset 14404  df-plt 14416  df-lub 14432  df-glb 14433  df-join 14434  df-meet 14435  df-p0 14469  df-p1 14470  df-lat 14476  df-clat 14538  df-oposet 29975  df-ol 29977  df-oml 29978  df-covers 30065  df-ats 30066  df-atl 30097  df-cvlat 30121  df-hlat 30150  df-llines 30296  df-lplanes 30297  df-lvols 30298  df-lines 30299  df-psubsp 30301  df-pmap 30302  df-padd 30594  df-lhyp 30786  df-laut 30787  df-ldil 30902  df-ltrn 30903  df-trl 30957
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