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Theorem cdlemg13a 31450
Description: TODO: FIX COMMENT (Contributed by NM, 6-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg12.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdlemg12.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdlemg12.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdlemg12.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdlemg12.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdlemg12.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
cdlemg12b.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
cdlemg13a  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T
)  /\  ( ( F `  P )  =/=  P  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  G
)  /\  ( ( F `  ( G `  P ) )  .\/  ( F `  ( G `
 Q ) ) )  =/=  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  ( P  .\/  ( F `  ( G `  P )
) )  =  ( ( G `  P
)  .\/  ( F `  ( G `  P
) ) ) )

Proof of Theorem cdlemg13a
StepHypRef Expression
1 simp11l 1069 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T
)  /\  ( ( F `  P )  =/=  P  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  G
)  /\  ( ( F `  ( G `  P ) )  .\/  ( F `  ( G `
 Q ) ) )  =/=  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  K  e.  HL )
2 simp12l 1071 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T
)  /\  ( ( F `  P )  =/=  P  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  G
)  /\  ( ( F `  ( G `  P ) )  .\/  ( F `  ( G `
 Q ) ) )  =/=  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  P  e.  A )
3 simp11 988 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T
)  /\  ( ( F `  P )  =/=  P  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  G
)  /\  ( ( F `  ( G `  P ) )  .\/  ( F `  ( G `
 Q ) ) )  =/=  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
4 simp2r 985 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T
)  /\  ( ( F `  P )  =/=  P  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  G
)  /\  ( ( F `  ( G `  P ) )  .\/  ( F `  ( G `
 Q ) ) )  =/=  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  G  e.  T )
5 cdlemg12.l . . . . . . 7  |-  .<_  =  ( le `  K )
6 cdlemg12.a . . . . . . 7  |-  A  =  ( Atoms `  K )
7 cdlemg12.h . . . . . . 7  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
8 cdlemg12.t . . . . . . 7  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
95, 6, 7, 8ltrnat 30939 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T  /\  P  e.  A
)  ->  ( G `  P )  e.  A
)
103, 4, 2, 9syl3anc 1185 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T
)  /\  ( ( F `  P )  =/=  P  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  G
)  /\  ( ( F `  ( G `  P ) )  .\/  ( F `  ( G `
 Q ) ) )  =/=  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  ( G `  P )  e.  A
)
11 cdlemg12.j . . . . . 6  |-  .\/  =  ( join `  K )
125, 11, 6hlatlej1 30174 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  ( G `  P )  e.  A )  ->  P  .<_  ( P  .\/  ( G `  P ) ) )
131, 2, 10, 12syl3anc 1185 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T
)  /\  ( ( F `  P )  =/=  P  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  G
)  /\  ( ( F `  ( G `  P ) )  .\/  ( F `  ( G `
 Q ) ) )  =/=  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  P  .<_  ( P  .\/  ( G `
 P ) ) )
14 simp32 995 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T
)  /\  ( ( F `  P )  =/=  P  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  G
)  /\  ( ( F `  ( G `  P ) )  .\/  ( F `  ( G `
 Q ) ) )  =/=  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )
15 simp2l 984 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T
)  /\  ( ( F `  P )  =/=  P  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  G
)  /\  ( ( F `  ( G `  P ) )  .\/  ( F `  ( G `
 Q ) ) )  =/=  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  F  e.  T )
16 simp12 989 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T
)  /\  ( ( F `  P )  =/=  P  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  G
)  /\  ( ( F `  ( G `  P ) )  .\/  ( F `  ( G `
 Q ) ) )  =/=  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
175, 6, 7, 8ltrnel 30938 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( G `  P )  e.  A  /\  -.  ( G `  P )  .<_  W ) )
183, 4, 16, 17syl3anc 1185 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T
)  /\  ( ( F `  P )  =/=  P  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  G
)  /\  ( ( F `  ( G `  P ) )  .\/  ( F `  ( G `
 Q ) ) )  =/=  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  ( ( G `  P )  e.  A  /\  -.  ( G `  P )  .<_  W ) )
19 cdlemg12.m . . . . . . . . 9  |-  ./\  =  ( meet `  K )
20 cdlemg12b.r . . . . . . . . 9  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
215, 11, 19, 6, 7, 8, 20trlval2 30962 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( ( G `  P )  e.  A  /\  -.  ( G `  P )  .<_  W ) )  ->  ( R `  F )  =  ( ( ( G `  P )  .\/  ( F `  ( G `  P ) ) ) 
./\  W ) )
223, 15, 18, 21syl3anc 1185 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T
)  /\  ( ( F `  P )  =/=  P  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  G
)  /\  ( ( F `  ( G `  P ) )  .\/  ( F `  ( G `
 Q ) ) )  =/=  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  ( R `  F )  =  ( ( ( G `  P )  .\/  ( F `  ( G `  P ) ) ) 
./\  W ) )
235, 11, 19, 6, 7, 8, 20trlval2 30962 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( R `  G )  =  ( ( P  .\/  ( G `  P )
)  ./\  W )
)
243, 4, 16, 23syl3anc 1185 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T
)  /\  ( ( F `  P )  =/=  P  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  G
)  /\  ( ( F `  ( G `  P ) )  .\/  ( F `  ( G `
 Q ) ) )  =/=  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  ( R `  G )  =  ( ( P  .\/  ( G `  P )
)  ./\  W )
)
2514, 22, 243eqtr3d 2478 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T
)  /\  ( ( F `  P )  =/=  P  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  G
)  /\  ( ( F `  ( G `  P ) )  .\/  ( F `  ( G `
 Q ) ) )  =/=  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  ( (
( G `  P
)  .\/  ( F `  ( G `  P
) ) )  ./\  W )  =  ( ( P  .\/  ( G `
 P ) ) 
./\  W ) )
2625oveq2d 6099 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T
)  /\  ( ( F `  P )  =/=  P  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  G
)  /\  ( ( F `  ( G `  P ) )  .\/  ( F `  ( G `
 Q ) ) )  =/=  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  ( ( G `  P )  .\/  ( ( ( G `
 P )  .\/  ( F `  ( G `
 P ) ) )  ./\  W )
)  =  ( ( G `  P ) 
.\/  ( ( P 
.\/  ( G `  P ) )  ./\  W ) ) )
275, 6, 7, 8ltrncoat 30943 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  P  e.  A )  ->  ( F `  ( G `  P ) )  e.  A )
283, 15, 4, 2, 27syl121anc 1190 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T
)  /\  ( ( F `  P )  =/=  P  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  G
)  /\  ( ( F `  ( G `  P ) )  .\/  ( F `  ( G `
 Q ) ) )  =/=  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  ( F `  ( G `  P
) )  e.  A
)
29 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G `  P
)  .\/  ( F `  ( G `  P
) ) )  ./\  W )  =  ( ( ( G `  P
)  .\/  ( F `  ( G `  P
) ) )  ./\  W )
305, 11, 19, 6, 7, 29cdleme0cp 31013 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( ( G `  P )  e.  A  /\  -.  ( G `  P ) 
.<_  W )  /\  ( F `  ( G `  P ) )  e.  A ) )  -> 
( ( G `  P )  .\/  (
( ( G `  P )  .\/  ( F `  ( G `  P ) ) ) 
./\  W ) )  =  ( ( G `
 P )  .\/  ( F `  ( G `
 P ) ) ) )
313, 18, 28, 30syl12anc 1183 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T
)  /\  ( ( F `  P )  =/=  P  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  G
)  /\  ( ( F `  ( G `  P ) )  .\/  ( F `  ( G `
 Q ) ) )  =/=  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  ( ( G `  P )  .\/  ( ( ( G `
 P )  .\/  ( F `  ( G `
 P ) ) )  ./\  W )
)  =  ( ( G `  P ) 
.\/  ( F `  ( G `  P ) ) ) )
32 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( ( P  .\/  ( G `
 P ) ) 
./\  W )  =  ( ( P  .\/  ( G `  P ) )  ./\  W )
335, 11, 19, 6, 7, 32cdleme0cq 31014 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  ( ( G `  P )  e.  A  /\  -.  ( G `  P ) 
.<_  W ) ) )  ->  ( ( G `
 P )  .\/  ( ( P  .\/  ( G `  P ) )  ./\  W )
)  =  ( P 
.\/  ( G `  P ) ) )
343, 2, 18, 33syl12anc 1183 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T
)  /\  ( ( F `  P )  =/=  P  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  G
)  /\  ( ( F `  ( G `  P ) )  .\/  ( F `  ( G `
 Q ) ) )  =/=  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  ( ( G `  P )  .\/  ( ( P  .\/  ( G `  P ) )  ./\  W )
)  =  ( P 
.\/  ( G `  P ) ) )
3526, 31, 343eqtr3rd 2479 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T
)  /\  ( ( F `  P )  =/=  P  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  G
)  /\  ( ( F `  ( G `  P ) )  .\/  ( F `  ( G `
 Q ) ) )  =/=  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  ( P  .\/  ( G `  P
) )  =  ( ( G `  P
)  .\/  ( F `  ( G `  P
) ) ) )
3613, 35breqtrd 4238 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T
)  /\  ( ( F `  P )  =/=  P  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  G
)  /\  ( ( F `  ( G `  P ) )  .\/  ( F `  ( G `
 Q ) ) )  =/=  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  P  .<_  ( ( G `  P
)  .\/  ( F `  ( G `  P
) ) ) )
375, 11, 6hlatlej2 30175 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( G `  P )  e.  A  /\  ( F `  ( G `  P ) )  e.  A )  ->  ( F `  ( G `  P ) )  .<_  ( ( G `  P )  .\/  ( F `  ( G `  P ) ) ) )
381, 10, 28, 37syl3anc 1185 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T
)  /\  ( ( F `  P )  =/=  P  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  G
)  /\  ( ( F `  ( G `  P ) )  .\/  ( F `  ( G `
 Q ) ) )  =/=  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  ( F `  ( G `  P
) )  .<_  ( ( G `  P ) 
.\/  ( F `  ( G `  P ) ) ) )
39 hllat 30163 . . . . 5  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
401, 39syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T
)  /\  ( ( F `  P )  =/=  P  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  G
)  /\  ( ( F `  ( G `  P ) )  .\/  ( F `  ( G `
 Q ) ) )  =/=  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  K  e.  Lat )
41 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
4241, 6atbase 30089 . . . . 5  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
432, 42syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T
)  /\  ( ( F `  P )  =/=  P  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  G
)  /\  ( ( F `  ( G `  P ) )  .\/  ( F `  ( G `
 Q ) ) )  =/=  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  P  e.  ( Base `  K )
)
4441, 6atbase 30089 . . . . 5  |-  ( ( F `  ( G `
 P ) )  e.  A  ->  ( F `  ( G `  P ) )  e.  ( Base `  K
) )
4528, 44syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T
)  /\  ( ( F `  P )  =/=  P  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  G
)  /\  ( ( F `  ( G `  P ) )  .\/  ( F `  ( G `
 Q ) ) )  =/=  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  ( F `  ( G `  P
) )  e.  (
Base `  K )
)
4641, 11, 6hlatjcl 30166 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( G `  P )  e.  A  /\  ( F `  ( G `  P ) )  e.  A )  ->  (
( G `  P
)  .\/  ( F `  ( G `  P
) ) )  e.  ( Base `  K
) )
471, 10, 28, 46syl3anc 1185 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T
)  /\  ( ( F `  P )  =/=  P  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  G
)  /\  ( ( F `  ( G `  P ) )  .\/  ( F `  ( G `
 Q ) ) )  =/=  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  ( ( G `  P )  .\/  ( F `  ( G `  P )
) )  e.  (
Base `  K )
)
4841, 5, 11latjle12 14493 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  e.  ( Base `  K )  /\  ( F `  ( G `
 P ) )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( ( G `  P )  .\/  ( F `  ( G `  P )
) )  e.  (
Base `  K )
) )  ->  (
( P  .<_  ( ( G `  P ) 
.\/  ( F `  ( G `  P ) ) )  /\  ( F `  ( G `  P ) )  .<_  ( ( G `  P )  .\/  ( F `  ( G `  P ) ) ) )  <->  ( P  .\/  ( F `  ( G `
 P ) ) )  .<_  ( ( G `  P )  .\/  ( F `  ( G `  P )
) ) ) )
4940, 43, 45, 47, 48syl13anc 1187 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T
)  /\  ( ( F `  P )  =/=  P  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  G
)  /\  ( ( F `  ( G `  P ) )  .\/  ( F `  ( G `
 Q ) ) )  =/=  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  ( ( P  .<_  ( ( G `
 P )  .\/  ( F `  ( G `
 P ) ) )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  .<_  ( ( G `  P )  .\/  ( F `  ( G `  P ) ) ) )  <->  ( P  .\/  ( F `  ( G `
 P ) ) )  .<_  ( ( G `  P )  .\/  ( F `  ( G `  P )
) ) ) )
5036, 38, 49mpbi2and 889 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T
)  /\  ( ( F `  P )  =/=  P  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  G
)  /\  ( ( F `  ( G `  P ) )  .\/  ( F `  ( G `
 Q ) ) )  =/=  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  ( P  .\/  ( F `  ( G `  P )
) )  .<_  ( ( G `  P ) 
.\/  ( F `  ( G `  P ) ) ) )
51 simp13 990 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T
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 F )  =  ( R `  G
)  /\  ( ( F `  ( G `  P ) )  .\/  ( F `  ( G `
 Q ) ) )  =/=  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )
52 simp33 996 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T
)  /\  ( ( F `  P )  =/=  P  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  G
)  /\  ( ( F `  ( G `  P ) )  .\/  ( F `  ( G `
 Q ) ) )  =/=  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  ( ( F `  ( G `  P ) )  .\/  ( F `  ( G `
 Q ) ) )  =/=  ( P 
.\/  Q ) )
535, 11, 19, 6, 7, 8cdlemg11a 31436 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =/=  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( F `  ( G `  P )
)  =/=  P )
543, 16, 51, 15, 4, 52, 53syl123anc 1202 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T
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 F )  =  ( R `  G
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 Q ) ) )  =/=  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  ( F `  ( G `  P
) )  =/=  P
)
5554necomd 2689 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T
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 F )  =  ( R `  G
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 Q ) ) )  =/=  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  P  =/=  ( F `  ( G `
 P ) ) )
565, 11, 6ps-1 30276 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  ( F `  ( G `  P )
)  e.  A  /\  P  =/=  ( F `  ( G `  P ) ) )  /\  (
( G `  P
)  e.  A  /\  ( F `  ( G `
 P ) )  e.  A ) )  ->  ( ( P 
.\/  ( F `  ( G `  P ) ) )  .<_  ( ( G `  P ) 
.\/  ( F `  ( G `  P ) ) )  <->  ( P  .\/  ( F `  ( G `  P )
) )  =  ( ( G `  P
)  .\/  ( F `  ( G `  P
) ) ) ) )
571, 2, 28, 55, 10, 28, 56syl132anc 1203 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T
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 F )  =  ( R `  G
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.\/  Q ) ) )  ->  ( ( P  .\/  ( F `  ( G `  P ) ) )  .<_  ( ( G `  P ) 
.\/  ( F `  ( G `  P ) ) )  <->  ( P  .\/  ( F `  ( G `  P )
) )  =  ( ( G `  P
)  .\/  ( F `  ( G `  P
) ) ) ) )
5850, 57mpbid 203 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T
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.\/  Q ) ) )  ->  ( P  .\/  ( F `  ( G `  P )
) )  =  ( ( G `  P
)  .\/  ( F `  ( G `  P
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Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   class class class wbr 4214   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   Basecbs 13471   lecple 13538   joincjn 14403   meetcmee 14404   Latclat 14476   Atomscatm 30063   HLchlt 30150   LHypclh 30783   LTrncltrn 30900   trLctrl 30957
This theorem is referenced by:  cdlemg13  31451
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-undef 6545  df-riota 6551  df-map 7022  df-poset 14405  df-plt 14417  df-lub 14433  df-glb 14434  df-join 14435  df-meet 14436  df-p0 14470  df-p1 14471  df-lat 14477  df-clat 14539  df-oposet 29976  df-ol 29978  df-oml 29979  df-covers 30066  df-ats 30067  df-atl 30098  df-cvlat 30122  df-hlat 30151  df-llines 30297  df-lplanes 30298  df-lvols 30299  df-lines 30300  df-psubsp 30302  df-pmap 30303  df-padd 30595  df-lhyp 30787  df-laut 30788  df-ldil 30903  df-ltrn 30904  df-trl 30958
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