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Theorem cdlemg17h 31479
Description: TODO: fix comment. (Contributed by NM, 10-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg12.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdlemg12.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdlemg12.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdlemg12.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdlemg12.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdlemg12.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
cdlemg12b.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
cdlemg17h  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( ( F `  P ) 
.\/  ( F `  Q ) ) ) )  /\  ( ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  ( S  =  ( F `  P
)  \/  S  =  ( F `  Q
) ) )
Distinct variable groups:    A, r    G, r    .\/ , r    .<_ , r    P, r    Q, r    W, r    F, r    S, r
Allowed substitution hints:    R( r)    T( r)    H( r)    K( r)    ./\ ( r)

Proof of Theorem cdlemg17h
StepHypRef Expression
1 simp11l 1066 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( ( F `  P ) 
.\/  ( F `  Q ) ) ) )  /\  ( ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  K  e.  HL )
2 simp23r 1077 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( ( F `  P ) 
.\/  ( F `  Q ) ) ) )  /\  ( ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  S  .<_  ( ( F `  P ) 
.\/  ( F `  Q ) ) )
3 simp11 985 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( ( F `  P ) 
.\/  ( F `  Q ) ) ) )  /\  ( ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
4 simp22l 1074 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( ( F `  P ) 
.\/  ( F `  Q ) ) ) )  /\  ( ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  F  e.  T
)
5 simp21l 1072 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( ( F `  P ) 
.\/  ( F `  Q ) ) ) )  /\  ( ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  S  e.  A
)
6 cdlemg12.l . . . . . . . . 9  |-  .<_  =  ( le `  K )
7 cdlemg12.a . . . . . . . . 9  |-  A  =  ( Atoms `  K )
8 cdlemg12.h . . . . . . . . 9  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
9 cdlemg12.t . . . . . . . . 9  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
106, 7, 8, 9ltrncnvat 30952 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  S  e.  A
)  ->  ( `' F `  S )  e.  A )
113, 4, 5, 10syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( ( F `  P ) 
.\/  ( F `  Q ) ) ) )  /\  ( ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  ( `' F `  S )  e.  A
)
12 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
1312, 7atbase 30101 . . . . . . 7  |-  ( ( `' F `  S )  e.  A  ->  ( `' F `  S )  e.  ( Base `  K
) )
1411, 13syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( ( F `  P ) 
.\/  ( F `  Q ) ) ) )  /\  ( ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  ( `' F `  S )  e.  (
Base `  K )
)
15 simp12l 1068 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( ( F `  P ) 
.\/  ( F `  Q ) ) ) )  /\  ( ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  P  e.  A
)
16 simp13l 1070 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( ( F `  P ) 
.\/  ( F `  Q ) ) ) )  /\  ( ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  Q  e.  A
)
17 cdlemg12.j . . . . . . . 8  |-  .\/  =  ( join `  K )
1812, 17, 7hlatjcl 30178 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  ( P  .\/  Q
)  e.  ( Base `  K ) )
191, 15, 16, 18syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( ( F `  P ) 
.\/  ( F `  Q ) ) ) )  /\  ( ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  ( P  .\/  Q )  e.  ( Base `  K ) )
2012, 6, 8, 9ltrnle 30940 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( ( `' F `  S )  e.  (
Base `  K )  /\  ( P  .\/  Q
)  e.  ( Base `  K ) ) )  ->  ( ( `' F `  S ) 
.<_  ( P  .\/  Q
)  <->  ( F `  ( `' F `  S ) )  .<_  ( F `  ( P  .\/  Q
) ) ) )
213, 4, 14, 19, 20syl112anc 1186 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( ( F `  P ) 
.\/  ( F `  Q ) ) ) )  /\  ( ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  ( ( `' F `  S ) 
.<_  ( P  .\/  Q
)  <->  ( F `  ( `' F `  S ) )  .<_  ( F `  ( P  .\/  Q
) ) ) )
2212, 8, 9ltrn1o 30935 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  F :
( Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K ) )
233, 4, 22syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( ( F `  P ) 
.\/  ( F `  Q ) ) ) )  /\  ( ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  F : (
Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K ) )
2412, 7atbase 30101 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  A  ->  S  e.  ( Base `  K
) )
255, 24syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( ( F `  P ) 
.\/  ( F `  Q ) ) ) )  /\  ( ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  S  e.  (
Base `  K )
)
26 f1ocnvfv2 5809 . . . . . . 7  |-  ( ( F : ( Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K
)  /\  S  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( F `  ( `' F `  S ) )  =  S )
2723, 25, 26syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( ( F `  P ) 
.\/  ( F `  Q ) ) ) )  /\  ( ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  ( F `  ( `' F `  S ) )  =  S )
2812, 7atbase 30101 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
2915, 28syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( ( F `  P ) 
.\/  ( F `  Q ) ) ) )  /\  ( ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  P  e.  (
Base `  K )
)
3012, 7atbase 30101 . . . . . . . 8  |-  ( Q  e.  A  ->  Q  e.  ( Base `  K
) )
3116, 30syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( ( F `  P ) 
.\/  ( F `  Q ) ) ) )  /\  ( ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  Q  e.  (
Base `  K )
)
3212, 17, 8, 9ltrnj 30943 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  (
Base `  K )  /\  Q  e.  ( Base `  K ) ) )  ->  ( F `  ( P  .\/  Q
) )  =  ( ( F `  P
)  .\/  ( F `  Q ) ) )
333, 4, 29, 31, 32syl112anc 1186 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( ( F `  P ) 
.\/  ( F `  Q ) ) ) )  /\  ( ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  ( F `  ( P  .\/  Q ) )  =  ( ( F `  P ) 
.\/  ( F `  Q ) ) )
3427, 33breq12d 4052 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( ( F `  P ) 
.\/  ( F `  Q ) ) ) )  /\  ( ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  ( ( F `
 ( `' F `  S ) )  .<_  ( F `  ( P 
.\/  Q ) )  <-> 
S  .<_  ( ( F `
 P )  .\/  ( F `  Q ) ) ) )
3521, 34bitr2d 245 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( ( F `  P ) 
.\/  ( F `  Q ) ) ) )  /\  ( ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  ( S  .<_  ( ( F `  P
)  .\/  ( F `  Q ) )  <->  ( `' F `  S )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )
362, 35mpbid 201 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( ( F `  P ) 
.\/  ( F `  Q ) ) ) )  /\  ( ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  ( `' F `  S )  .<_  ( P 
.\/  Q ) )
37 simp33 993 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( ( F `  P ) 
.\/  ( F `  Q ) ) ) )  /\  ( ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) )
38 simp23l 1076 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( ( F `  P ) 
.\/  ( F `  Q ) ) ) )  /\  ( ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  P  =/=  Q
)
39 simp21 988 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( ( F `  P ) 
.\/  ( F `  Q ) ) ) )  /\  ( ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )
406, 7, 8, 9ltrncnvel 30953 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  ->  ( ( `' F `  S )  e.  A  /\  -.  ( `' F `  S ) 
.<_  W ) )
413, 4, 39, 40syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( ( F `  P ) 
.\/  ( F `  Q ) ) ) )  /\  ( ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  ( ( `' F `  S )  e.  A  /\  -.  ( `' F `  S ) 
.<_  W ) )
426, 17, 7cdleme0nex 31101 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( `' F `  S )  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r ) ) )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  P  =/=  Q )  /\  ( ( `' F `  S )  e.  A  /\  -.  ( `' F `  S )  .<_  W ) )  ->  ( ( `' F `  S )  =  P  \/  ( `' F `  S )  =  Q ) )
431, 36, 37, 15, 16, 38, 41, 42syl331anc 1207 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( ( F `  P ) 
.\/  ( F `  Q ) ) ) )  /\  ( ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  ( ( `' F `  S )  =  P  \/  ( `' F `  S )  =  Q ) )
44 eqcom 2298 . . . 4  |-  ( ( F `  P )  =  S  <->  S  =  ( F `  P ) )
45 f1ocnvfvb 5811 . . . . 5  |-  ( ( F : ( Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K
)  /\  P  e.  ( Base `  K )  /\  S  e.  ( Base `  K ) )  ->  ( ( F `
 P )  =  S  <->  ( `' F `  S )  =  P ) )
4623, 29, 25, 45syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( ( F `  P ) 
.\/  ( F `  Q ) ) ) )  /\  ( ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  ( ( F `
 P )  =  S  <->  ( `' F `  S )  =  P ) )
4744, 46syl5rbbr 251 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( ( F `  P ) 
.\/  ( F `  Q ) ) ) )  /\  ( ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  ( ( `' F `  S )  =  P  <->  S  =  ( F `  P ) ) )
48 eqcom 2298 . . . 4  |-  ( ( F `  Q )  =  S  <->  S  =  ( F `  Q ) )
49 f1ocnvfvb 5811 . . . . 5  |-  ( ( F : ( Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K
)  /\  Q  e.  ( Base `  K )  /\  S  e.  ( Base `  K ) )  ->  ( ( F `
 Q )  =  S  <->  ( `' F `  S )  =  Q ) )
5023, 31, 25, 49syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( ( F `  P ) 
.\/  ( F `  Q ) ) ) )  /\  ( ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  ( ( F `
 Q )  =  S  <->  ( `' F `  S )  =  Q ) )
5148, 50syl5rbbr 251 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( ( F `  P ) 
.\/  ( F `  Q ) ) ) )  /\  ( ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  ( ( `' F `  S )  =  Q  <->  S  =  ( F `  Q ) ) )
5247, 51orbi12d 690 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( ( F `  P ) 
.\/  ( F `  Q ) ) ) )  /\  ( ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
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) ) ) )  ->  ( ( ( `' F `  S )  =  P  \/  ( `' F `  S )  =  Q )  <->  ( S  =  ( F `  P )  \/  S  =  ( F `  Q ) ) ) )
5343, 52mpbid 201 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( ( F `  P ) 
.\/  ( F `  Q ) ) ) )  /\  ( ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  ( S  =  ( F `  P
)  \/  S  =  ( F `  Q
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   E.wrex 2557   class class class wbr 4039   `'ccnv 4704   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   lecple 13231   joincjn 14094   meetcmee 14095   Atomscatm 30075   HLchlt 30162   LHypclh 30795   LTrncltrn 30912   trLctrl 30969
This theorem is referenced by:  cdlemg17i  31480
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-undef 6314  df-riota 6320  df-map 6790  df-poset 14096  df-plt 14108  df-lub 14124  df-glb 14125  df-join 14126  df-p0 14161  df-lat 14168  df-oposet 29988  df-ol 29990  df-oml 29991  df-covers 30078  df-ats 30079  df-atl 30110  df-cvlat 30134  df-hlat 30163  df-lhyp 30799  df-laut 30800  df-ldil 30915  df-ltrn 30916
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