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Theorem cdlemg1cex 31447
Description: Any translation is one of our  F s. TODO: fix comment, move to its own block maybe? Would this help for cdlemf 31422? (Contributed by NM, 17-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg1c.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdlemg1c.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdlemg1c.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdlemg1c.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
cdlemg1cex  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( F  e.  T  <->  E. p  e.  A  E. q  e.  A  ( -.  p  .<_  W  /\  -.  q  .<_  W  /\  F  =  ( iota_ f  e.  T ( f `
 p )  =  q ) ) ) )
Distinct variable groups:    f, p, q, A    f, F, p, q    f, H, p, q    f, K, p, q    .<_ , f, p, q    T, f, p, q    f, W, p, q

Proof of Theorem cdlemg1cex
StepHypRef Expression
1 cdlemg1c.l . . . . . 6  |-  .<_  =  ( le `  K )
2 cdlemg1c.a . . . . . 6  |-  A  =  ( Atoms `  K )
3 cdlemg1c.h . . . . . 6  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
41, 2, 3lhpexnle 30865 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  E. p  e.  A  -.  p  .<_  W )
54adantr 453 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  E. p  e.  A  -.  p  .<_  W )
6 cdlemg1c.t . . . . . . . . . 10  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
71, 2, 3, 6ltrnel 30998 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( p  e.  A  /\  -.  p  .<_  W ) )  ->  ( ( F `  p )  e.  A  /\  -.  ( F `  p )  .<_  W ) )
873expa 1154 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  A  /\  -.  p  .<_  W ) )  ->  ( ( F `  p )  e.  A  /\  -.  ( F `  p )  .<_  W ) )
98simpld 447 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  A  /\  -.  p  .<_  W ) )  ->  ( F `  p )  e.  A
)
10 simprr 735 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  A  /\  -.  p  .<_  W ) )  ->  -.  p  .<_  W )
118simprd 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  A  /\  -.  p  .<_  W ) )  ->  -.  ( F `  p )  .<_  W )
12 simpll 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  A  /\  -.  p  .<_  W ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
13 simpr 449 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  A  /\  -.  p  .<_  W ) )  ->  ( p  e.  A  /\  -.  p  .<_  W ) )
14 simplr 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  A  /\  -.  p  .<_  W ) )  ->  F  e.  T )
151, 2, 3, 6cdlemeiota 31444 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( p  e.  A  /\  -.  p  .<_  W )  /\  F  e.  T )  ->  F  =  ( iota_ f  e.  T ( f `  p )  =  ( F `  p ) ) )
1612, 13, 14, 15syl3anc 1185 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  A  /\  -.  p  .<_  W ) )  ->  F  =  ( iota_ f  e.  T
( f `  p
)  =  ( F `
 p ) ) )
17 breq1 4217 . . . . . . . . . 10  |-  ( q  =  ( F `  p )  ->  (
q  .<_  W  <->  ( F `  p )  .<_  W ) )
1817notbid 287 . . . . . . . . 9  |-  ( q  =  ( F `  p )  ->  ( -.  q  .<_  W  <->  -.  ( F `  p )  .<_  W ) )
19 eqeq2 2447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( q  =  ( F `  p )  ->  (
( f `  p
)  =  q  <->  ( f `  p )  =  ( F `  p ) ) )
2019riotabidv 6553 . . . . . . . . . 10  |-  ( q  =  ( F `  p )  ->  ( iota_ f  e.  T ( f `  p )  =  q )  =  ( iota_ f  e.  T
( f `  p
)  =  ( F `
 p ) ) )
2120eqeq2d 2449 . . . . . . . . 9  |-  ( q  =  ( F `  p )  ->  ( F  =  ( iota_ f  e.  T ( f `
 p )  =  q )  <->  F  =  ( iota_ f  e.  T
( f `  p
)  =  ( F `
 p ) ) ) )
2218, 213anbi23d 1258 . . . . . . . 8  |-  ( q  =  ( F `  p )  ->  (
( -.  p  .<_  W  /\  -.  q  .<_  W  /\  F  =  (
iota_ f  e.  T
( f `  p
)  =  q ) )  <->  ( -.  p  .<_  W  /\  -.  ( F `  p )  .<_  W  /\  F  =  ( iota_ f  e.  T
( f `  p
)  =  ( F `
 p ) ) ) ) )
2322rspcev 3054 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F `  p
)  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  W  /\  -.  ( F `
 p )  .<_  W  /\  F  =  (
iota_ f  e.  T
( f `  p
)  =  ( F `
 p ) ) ) )  ->  E. q  e.  A  ( -.  p  .<_  W  /\  -.  q  .<_  W  /\  F  =  ( iota_ f  e.  T ( f `  p )  =  q ) ) )
249, 10, 11, 16, 23syl13anc 1187 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  A  /\  -.  p  .<_  W ) )  ->  E. q  e.  A  ( -.  p  .<_  W  /\  -.  q  .<_  W  /\  F  =  ( iota_ f  e.  T ( f `  p )  =  q ) ) )
2524exp32 590 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( p  e.  A  ->  ( -.  p  .<_  W  ->  E. q  e.  A  ( -.  p  .<_  W  /\  -.  q  .<_  W  /\  F  =  ( iota_ f  e.  T ( f `
 p )  =  q ) ) ) ) )
2625reximdvai 2818 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( E. p  e.  A  -.  p  .<_  W  ->  E. p  e.  A  E. q  e.  A  ( -.  p  .<_  W  /\  -.  q  .<_  W  /\  F  =  ( iota_ f  e.  T ( f `  p )  =  q ) ) ) )
275, 26mpd 15 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  E. p  e.  A  E. q  e.  A  ( -.  p  .<_  W  /\  -.  q  .<_  W  /\  F  =  ( iota_ f  e.  T ( f `  p )  =  q ) ) )
2827ex 425 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( F  e.  T  ->  E. p  e.  A  E. q  e.  A  ( -.  p  .<_  W  /\  -.  q  .<_  W  /\  F  =  (
iota_ f  e.  T
( f `  p
)  =  q ) ) ) )
29 simp1 958 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A )  /\  ( -.  p  .<_  W  /\  -.  q  .<_  W  /\  F  =  ( iota_ f  e.  T ( f `
 p )  =  q ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
30 simp2l 984 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A )  /\  ( -.  p  .<_  W  /\  -.  q  .<_  W  /\  F  =  ( iota_ f  e.  T ( f `
 p )  =  q ) ) )  ->  p  e.  A
)
31 simp31 994 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A )  /\  ( -.  p  .<_  W  /\  -.  q  .<_  W  /\  F  =  ( iota_ f  e.  T ( f `
 p )  =  q ) ) )  ->  -.  p  .<_  W )
3230, 31jca 520 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A )  /\  ( -.  p  .<_  W  /\  -.  q  .<_  W  /\  F  =  ( iota_ f  e.  T ( f `
 p )  =  q ) ) )  ->  ( p  e.  A  /\  -.  p  .<_  W ) )
33 simp2r 985 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A )  /\  ( -.  p  .<_  W  /\  -.  q  .<_  W  /\  F  =  ( iota_ f  e.  T ( f `
 p )  =  q ) ) )  ->  q  e.  A
)
34 simp32 995 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A )  /\  ( -.  p  .<_  W  /\  -.  q  .<_  W  /\  F  =  ( iota_ f  e.  T ( f `
 p )  =  q ) ) )  ->  -.  q  .<_  W )
3533, 34jca 520 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A )  /\  ( -.  p  .<_  W  /\  -.  q  .<_  W  /\  F  =  ( iota_ f  e.  T ( f `
 p )  =  q ) ) )  ->  ( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W ) )
36 simp33 996 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A )  /\  ( -.  p  .<_  W  /\  -.  q  .<_  W  /\  F  =  ( iota_ f  e.  T ( f `
 p )  =  q ) ) )  ->  F  =  (
iota_ f  e.  T
( f `  p
)  =  q ) )
371, 2, 3, 6cdlemg1ci2 31445 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
p  e.  A  /\  -.  p  .<_  W )  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W ) )  /\  F  =  ( iota_ f  e.  T ( f `
 p )  =  q ) )  ->  F  e.  T )
3829, 32, 35, 36, 37syl31anc 1188 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A )  /\  ( -.  p  .<_  W  /\  -.  q  .<_  W  /\  F  =  ( iota_ f  e.  T ( f `
 p )  =  q ) ) )  ->  F  e.  T
)
39383exp 1153 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( ( p  e.  A  /\  q  e.  A )  ->  (
( -.  p  .<_  W  /\  -.  q  .<_  W  /\  F  =  (
iota_ f  e.  T
( f `  p
)  =  q ) )  ->  F  e.  T ) ) )
4039rexlimdvv 2838 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( E. p  e.  A  E. q  e.  A  ( -.  p  .<_  W  /\  -.  q  .<_  W  /\  F  =  ( iota_ f  e.  T
( f `  p
)  =  q ) )  ->  F  e.  T ) )
4128, 40impbid 185 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( F  e.  T  <->  E. p  e.  A  E. q  e.  A  ( -.  p  .<_  W  /\  -.  q  .<_  W  /\  F  =  ( iota_ f  e.  T ( f `
 p )  =  q ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   E.wrex 2708   class class class wbr 4214   ` cfv 5456   iota_crio 6544   lecple 13538   Atomscatm 30123   HLchlt 30210   LHypclh 30843   LTrncltrn 30960
This theorem is referenced by:  cdlemg2cex  31450
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-undef 6545  df-riota 6551  df-map 7022  df-poset 14405  df-plt 14417  df-lub 14433  df-glb 14434  df-join 14435  df-meet 14436  df-p0 14470  df-p1 14471  df-lat 14477  df-clat 14539  df-oposet 30036  df-ol 30038  df-oml 30039  df-covers 30126  df-ats 30127  df-atl 30158  df-cvlat 30182  df-hlat 30211  df-llines 30357  df-lplanes 30358  df-lvols 30359  df-lines 30360  df-psubsp 30362  df-pmap 30363  df-padd 30655  df-lhyp 30847  df-laut 30848  df-ldil 30963  df-ltrn 30964  df-trl 31018
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