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Theorem cdlemg1cex 30777
Description: Any translation is one of our  F s. TODO: fix comment, move to its own block maybe? Would this help for cdlemf 30752? (Contributed by NM, 17-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg1c.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdlemg1c.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdlemg1c.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdlemg1c.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
cdlemg1cex  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( F  e.  T  <->  E. p  e.  A  E. q  e.  A  ( -.  p  .<_  W  /\  -.  q  .<_  W  /\  F  =  ( iota_ f  e.  T ( f `
 p )  =  q ) ) ) )
Distinct variable groups:    f, p, q, A    f, F, p, q    f, H, p, q    f, K, p, q    .<_ , f, p, q    T, f, p, q    f, W, p, q

Proof of Theorem cdlemg1cex
StepHypRef Expression
1 cdlemg1c.l . . . . . 6  |-  .<_  =  ( le `  K )
2 cdlemg1c.a . . . . . 6  |-  A  =  ( Atoms `  K )
3 cdlemg1c.h . . . . . 6  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
41, 2, 3lhpexnle 30195 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  E. p  e.  A  -.  p  .<_  W )
54adantr 451 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  E. p  e.  A  -.  p  .<_  W )
6 cdlemg1c.t . . . . . . . . . 10  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
71, 2, 3, 6ltrnel 30328 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( p  e.  A  /\  -.  p  .<_  W ) )  ->  ( ( F `  p )  e.  A  /\  -.  ( F `  p )  .<_  W ) )
873expa 1151 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  A  /\  -.  p  .<_  W ) )  ->  ( ( F `  p )  e.  A  /\  -.  ( F `  p )  .<_  W ) )
98simpld 445 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  A  /\  -.  p  .<_  W ) )  ->  ( F `  p )  e.  A
)
10 simprr 733 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  A  /\  -.  p  .<_  W ) )  ->  -.  p  .<_  W )
118simprd 449 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  A  /\  -.  p  .<_  W ) )  ->  -.  ( F `  p )  .<_  W )
12 simpll 730 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  A  /\  -.  p  .<_  W ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
13 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  A  /\  -.  p  .<_  W ) )  ->  ( p  e.  A  /\  -.  p  .<_  W ) )
14 simplr 731 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  A  /\  -.  p  .<_  W ) )  ->  F  e.  T )
151, 2, 3, 6cdlemeiota 30774 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( p  e.  A  /\  -.  p  .<_  W )  /\  F  e.  T )  ->  F  =  ( iota_ f  e.  T ( f `  p )  =  ( F `  p ) ) )
1612, 13, 14, 15syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  A  /\  -.  p  .<_  W ) )  ->  F  =  ( iota_ f  e.  T
( f `  p
)  =  ( F `
 p ) ) )
17 breq1 4026 . . . . . . . . . 10  |-  ( q  =  ( F `  p )  ->  (
q  .<_  W  <->  ( F `  p )  .<_  W ) )
1817notbid 285 . . . . . . . . 9  |-  ( q  =  ( F `  p )  ->  ( -.  q  .<_  W  <->  -.  ( F `  p )  .<_  W ) )
19 eqeq2 2292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( q  =  ( F `  p )  ->  (
( f `  p
)  =  q  <->  ( f `  p )  =  ( F `  p ) ) )
2019riotabidv 6306 . . . . . . . . . 10  |-  ( q  =  ( F `  p )  ->  ( iota_ f  e.  T ( f `  p )  =  q )  =  ( iota_ f  e.  T
( f `  p
)  =  ( F `
 p ) ) )
2120eqeq2d 2294 . . . . . . . . 9  |-  ( q  =  ( F `  p )  ->  ( F  =  ( iota_ f  e.  T ( f `
 p )  =  q )  <->  F  =  ( iota_ f  e.  T
( f `  p
)  =  ( F `
 p ) ) ) )
2218, 213anbi23d 1255 . . . . . . . 8  |-  ( q  =  ( F `  p )  ->  (
( -.  p  .<_  W  /\  -.  q  .<_  W  /\  F  =  (
iota_ f  e.  T
( f `  p
)  =  q ) )  <->  ( -.  p  .<_  W  /\  -.  ( F `  p )  .<_  W  /\  F  =  ( iota_ f  e.  T
( f `  p
)  =  ( F `
 p ) ) ) ) )
2322rspcev 2884 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F `  p
)  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  W  /\  -.  ( F `
 p )  .<_  W  /\  F  =  (
iota_ f  e.  T
( f `  p
)  =  ( F `
 p ) ) ) )  ->  E. q  e.  A  ( -.  p  .<_  W  /\  -.  q  .<_  W  /\  F  =  ( iota_ f  e.  T ( f `  p )  =  q ) ) )
249, 10, 11, 16, 23syl13anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  A  /\  -.  p  .<_  W ) )  ->  E. q  e.  A  ( -.  p  .<_  W  /\  -.  q  .<_  W  /\  F  =  ( iota_ f  e.  T ( f `  p )  =  q ) ) )
2524exp32 588 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( p  e.  A  ->  ( -.  p  .<_  W  ->  E. q  e.  A  ( -.  p  .<_  W  /\  -.  q  .<_  W  /\  F  =  ( iota_ f  e.  T ( f `
 p )  =  q ) ) ) ) )
2625reximdvai 2653 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( E. p  e.  A  -.  p  .<_  W  ->  E. p  e.  A  E. q  e.  A  ( -.  p  .<_  W  /\  -.  q  .<_  W  /\  F  =  ( iota_ f  e.  T ( f `  p )  =  q ) ) ) )
275, 26mpd 14 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  E. p  e.  A  E. q  e.  A  ( -.  p  .<_  W  /\  -.  q  .<_  W  /\  F  =  ( iota_ f  e.  T ( f `  p )  =  q ) ) )
2827ex 423 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( F  e.  T  ->  E. p  e.  A  E. q  e.  A  ( -.  p  .<_  W  /\  -.  q  .<_  W  /\  F  =  (
iota_ f  e.  T
( f `  p
)  =  q ) ) ) )
29 simp1 955 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A )  /\  ( -.  p  .<_  W  /\  -.  q  .<_  W  /\  F  =  ( iota_ f  e.  T ( f `
 p )  =  q ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
30 simp2l 981 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A )  /\  ( -.  p  .<_  W  /\  -.  q  .<_  W  /\  F  =  ( iota_ f  e.  T ( f `
 p )  =  q ) ) )  ->  p  e.  A
)
31 simp31 991 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A )  /\  ( -.  p  .<_  W  /\  -.  q  .<_  W  /\  F  =  ( iota_ f  e.  T ( f `
 p )  =  q ) ) )  ->  -.  p  .<_  W )
3230, 31jca 518 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A )  /\  ( -.  p  .<_  W  /\  -.  q  .<_  W  /\  F  =  ( iota_ f  e.  T ( f `
 p )  =  q ) ) )  ->  ( p  e.  A  /\  -.  p  .<_  W ) )
33 simp2r 982 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A )  /\  ( -.  p  .<_  W  /\  -.  q  .<_  W  /\  F  =  ( iota_ f  e.  T ( f `
 p )  =  q ) ) )  ->  q  e.  A
)
34 simp32 992 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A )  /\  ( -.  p  .<_  W  /\  -.  q  .<_  W  /\  F  =  ( iota_ f  e.  T ( f `
 p )  =  q ) ) )  ->  -.  q  .<_  W )
3533, 34jca 518 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A )  /\  ( -.  p  .<_  W  /\  -.  q  .<_  W  /\  F  =  ( iota_ f  e.  T ( f `
 p )  =  q ) ) )  ->  ( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W ) )
36 simp33 993 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A )  /\  ( -.  p  .<_  W  /\  -.  q  .<_  W  /\  F  =  ( iota_ f  e.  T ( f `
 p )  =  q ) ) )  ->  F  =  (
iota_ f  e.  T
( f `  p
)  =  q ) )
371, 2, 3, 6cdlemg1ci2 30775 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
p  e.  A  /\  -.  p  .<_  W )  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W ) )  /\  F  =  ( iota_ f  e.  T ( f `
 p )  =  q ) )  ->  F  e.  T )
3829, 32, 35, 36, 37syl31anc 1185 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A )  /\  ( -.  p  .<_  W  /\  -.  q  .<_  W  /\  F  =  ( iota_ f  e.  T ( f `
 p )  =  q ) ) )  ->  F  e.  T
)
39383exp 1150 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( ( p  e.  A  /\  q  e.  A )  ->  (
( -.  p  .<_  W  /\  -.  q  .<_  W  /\  F  =  (
iota_ f  e.  T
( f `  p
)  =  q ) )  ->  F  e.  T ) ) )
4039rexlimdvv 2673 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( E. p  e.  A  E. q  e.  A  ( -.  p  .<_  W  /\  -.  q  .<_  W  /\  F  =  ( iota_ f  e.  T
( f `  p
)  =  q ) )  ->  F  e.  T ) )
4128, 40impbid 183 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( F  e.  T  <->  E. p  e.  A  E. q  e.  A  ( -.  p  .<_  W  /\  -.  q  .<_  W  /\  F  =  ( iota_ f  e.  T ( f `
 p )  =  q ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   E.wrex 2544   class class class wbr 4023   ` cfv 5255   iota_crio 6297   lecple 13215   Atomscatm 29453   HLchlt 29540   LHypclh 30173   LTrncltrn 30290
This theorem is referenced by:  cdlemg2cex  30780
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-undef 6298  df-riota 6304  df-map 6774  df-poset 14080  df-plt 14092  df-lub 14108  df-glb 14109  df-join 14110  df-meet 14111  df-p0 14145  df-p1 14146  df-lat 14152  df-clat 14214  df-oposet 29366  df-ol 29368  df-oml 29369  df-covers 29456  df-ats 29457  df-atl 29488  df-cvlat 29512  df-hlat 29541  df-llines 29687  df-lplanes 29688  df-lvols 29689  df-lines 29690  df-psubsp 29692  df-pmap 29693  df-padd 29985  df-lhyp 30177  df-laut 30178  df-ldil 30293  df-ltrn 30294  df-trl 30348
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