Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemg4 Unicode version

Theorem cdlemg4 31428
Description: TODO: FIX COMMENT (Contributed by NM, 25-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg4.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdlemg4.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdlemg4.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdlemg4.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
cdlemg4.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
cdlemg4.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdlemg4b.v  |-  V  =  ( R `  G
)
Assertion
Ref Expression
cdlemg4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  V
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =  P ) )  ->  ( F `  ( G `  Q ) )  =  Q )

Proof of Theorem cdlemg4
StepHypRef Expression
1 cdlemg4.l . . 3  |-  .<_  =  ( le `  K )
2 cdlemg4.a . . 3  |-  A  =  ( Atoms `  K )
3 cdlemg4.h . . 3  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
4 cdlemg4.t . . 3  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
5 cdlemg4.r . . 3  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
6 cdlemg4.j . . 3  |-  .\/  =  ( join `  K )
7 cdlemg4b.v . . 3  |-  V  =  ( R `  G
)
8 eqid 2296 . . 3  |-  ( meet `  K )  =  (
meet `  K )
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8cdlemg4g 31427 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  V
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =  P ) )  ->  ( F `  ( G `  Q ) )  =  ( ( Q  .\/  V ) ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) ) )
10 simp1l 979 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  V
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =  P ) )  ->  K  e.  HL )
11 simp21l 1072 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  V
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =  P ) )  ->  P  e.  A )
12 simp22l 1074 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  V
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =  P ) )  ->  Q  e.  A )
136, 2hlatjcom 30179 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  ( P  .\/  Q
)  =  ( Q 
.\/  P ) )
1410, 11, 12, 13syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  V
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =  P ) )  ->  ( P  .\/  Q )  =  ( Q  .\/  P
) )
1514oveq2d 5890 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  V
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =  P ) )  ->  (
( Q  .\/  V
) ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) )  =  ( ( Q  .\/  V
) ( meet `  K
) ( Q  .\/  P ) ) )
16 simp1 955 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  V
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =  P ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
17 simp31 991 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  V
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =  P ) )  ->  G  e.  T )
18 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
1918, 3, 4, 5trlcl 30975 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T
)  ->  ( R `  G )  e.  (
Base `  K )
)
2016, 17, 19syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  V
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =  P ) )  ->  ( R `  G )  e.  ( Base `  K
) )
217, 20syl5eqel 2380 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  V
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =  P ) )  ->  V  e.  ( Base `  K
) )
22 simp32 992 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  V
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =  P ) )  ->  -.  Q  .<_  ( P  .\/  V ) )
23 simp21r 1073 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  V
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =  P ) )  ->  -.  P  .<_  W )
24 simp21 988 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  V
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =  P ) )  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
251, 6, 8, 2, 3, 4, 5trlval2 30974 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( R `  G )  =  ( ( P  .\/  ( G `  P )
) ( meet `  K
) W ) )
2616, 17, 24, 25syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  V
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =  P ) )  ->  ( R `  G )  =  ( ( P 
.\/  ( G `  P ) ) (
meet `  K ) W ) )
277, 26syl5eq 2340 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  V
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =  P ) )  ->  V  =  ( ( P 
.\/  ( G `  P ) ) (
meet `  K ) W ) )
28 hllat 30175 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
2910, 28syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  V
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =  P ) )  ->  K  e.  Lat )
301, 2, 3, 4ltrnel 30950 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( G `  P )  e.  A  /\  -.  ( G `  P )  .<_  W ) )
3116, 17, 24, 30syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  V
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =  P ) )  ->  (
( G `  P
)  e.  A  /\  -.  ( G `  P
)  .<_  W ) )
3231simpld 445 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  V
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =  P ) )  ->  ( G `  P )  e.  A )
3318, 6, 2hlatjcl 30178 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  ( G `  P )  e.  A )  -> 
( P  .\/  ( G `  P )
)  e.  ( Base `  K ) )
3410, 11, 32, 33syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  V
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =  P ) )  ->  ( P  .\/  ( G `  P ) )  e.  ( Base `  K
) )
35 simp1r 980 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  V
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =  P ) )  ->  W  e.  H )
3618, 3lhpbase 30809 . . . . . . . . . 10  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  ( Base `  K
) )
3735, 36syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  V
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =  P ) )  ->  W  e.  ( Base `  K
) )
3818, 1, 8latmle2 14199 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  .\/  ( G `
 P ) )  e.  ( Base `  K
)  /\  W  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( ( P  .\/  ( G `  P ) ) (
meet `  K ) W )  .<_  W )
3929, 34, 37, 38syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  V
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =  P ) )  ->  (
( P  .\/  ( G `  P )
) ( meet `  K
) W )  .<_  W )
4027, 39eqbrtrd 4059 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  V
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =  P ) )  ->  V  .<_  W )
4118, 2atbase 30101 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
4211, 41syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  V
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =  P ) )  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
4318, 1lattr 14178 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  e.  ( Base `  K )  /\  V  e.  ( Base `  K )  /\  W  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( ( P  .<_  V  /\  V  .<_  W )  ->  P  .<_  W ) )
4429, 42, 21, 37, 43syl13anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  V
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =  P ) )  ->  (
( P  .<_  V  /\  V  .<_  W )  ->  P  .<_  W ) )
4540, 44mpan2d 655 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  V
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =  P ) )  ->  ( P  .<_  V  ->  P  .<_  W ) )
4623, 45mtod 168 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  V
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =  P ) )  ->  -.  P  .<_  V )
4718, 1, 6, 2hlexch2 30194 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  V  e.  ( Base `  K ) )  /\  -.  P  .<_  V )  ->  ( P  .<_  ( Q  .\/  V
)  ->  Q  .<_  ( P  .\/  V ) ) )
4810, 11, 12, 21, 46, 47syl131anc 1195 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  V
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =  P ) )  ->  ( P  .<_  ( Q  .\/  V )  ->  Q  .<_  ( P  .\/  V ) ) )
4922, 48mtod 168 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  V
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =  P ) )  ->  -.  P  .<_  ( Q  .\/  V ) )
5018, 1, 6, 8, 22llnma1b 30597 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( V  e.  ( Base `  K )  /\  Q  e.  A  /\  P  e.  A )  /\  -.  P  .<_  ( Q 
.\/  V ) )  ->  ( ( Q 
.\/  V ) (
meet `  K )
( Q  .\/  P
) )  =  Q )
5110, 21, 12, 11, 49, 50syl131anc 1195 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  V
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =  P ) )  ->  (
( Q  .\/  V
) ( meet `  K
) ( Q  .\/  P ) )  =  Q )
529, 15, 513eqtrd 2332 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  V
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =  P ) )  ->  ( F `  ( G `  Q ) )  =  Q )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   lecple 13231   joincjn 14094   meetcmee 14095   Latclat 14167   Atomscatm 30075   HLchlt 30162   LHypclh 30795   LTrncltrn 30912   trLctrl 30969
This theorem is referenced by:  cdlemg6a  31429  cdlemg6b  31430  cdlemg6  31434
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-undef 6314  df-riota 6320  df-map 6790  df-poset 14096  df-plt 14108  df-lub 14124  df-glb 14125  df-join 14126  df-meet 14127  df-p0 14161  df-p1 14162  df-lat 14168  df-clat 14230  df-oposet 29988  df-ol 29990  df-oml 29991  df-covers 30078  df-ats 30079  df-atl 30110  df-cvlat 30134  df-hlat 30163  df-llines 30309  df-lplanes 30310  df-lvols 30311  df-lines 30312  df-psubsp 30314  df-pmap 30315  df-padd 30607  df-lhyp 30799  df-laut 30800  df-ldil 30915  df-ltrn 30916  df-trl 30970
  Copyright terms: Public domain W3C validator