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Theorem cdlemg47 30925
Description: Part of proof of Lemma G of [Crawley] p. 116, ninth line of third paragraph on p. 117: "we conclude that gf = fg." (Contributed by NM, 5-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg46.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cdlemg46.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdlemg46.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
cdlemg46.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
cdlemg47  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  ( F  o.  G )  =  ( G  o.  F ) )
Distinct variable groups:    h, F    h, H    h, K    R, h    T, h    h, W
Allowed substitution hints:    B( h)    G( h)

Proof of Theorem cdlemg47
StepHypRef Expression
1 simp11 985 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 simp2l 981 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  h  e.  T )
3 simp12 986 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  F  e.  T )
4 cdlemg46.h . . . . . . . . 9  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
5 cdlemg46.t . . . . . . . . 9  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
64, 5ltrnco 30908 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  h  e.  T  /\  F  e.  T
)  ->  ( h  o.  F )  e.  T
)
71, 2, 3, 6syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  (
h  o.  F )  e.  T )
8 simp13 987 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  G  e.  T )
9 simp3 957 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F ) ) )
10 cdlemg46.b . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( Base `  K
)
11 cdlemg46.r . . . . . . . . . 10  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
1210, 4, 5, 11cdlemg46 30924 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F ) ) )  ->  ( R `  ( h  o.  F
) )  =/=  ( R `  F )
)
131, 3, 2, 9, 12syl121anc 1187 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  ( R `  ( h  o.  F ) )  =/=  ( R `  F
) )
14 simp2r 982 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )
1513, 14neeqtrd 2468 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  ( R `  ( h  o.  F ) )  =/=  ( R `  G
) )
164, 5, 11cdlemg44 30922 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( h  o.  F )  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( R `  ( h  o.  F ) )  =/=  ( R `  G
) )  ->  (
( h  o.  F
)  o.  G )  =  ( G  o.  ( h  o.  F
) ) )
171, 7, 8, 15, 16syl121anc 1187 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  (
( h  o.  F
)  o.  G )  =  ( G  o.  ( h  o.  F
) ) )
18 coass 5191 . . . . . 6  |-  ( ( G  o.  h )  o.  F )  =  ( G  o.  (
h  o.  F ) )
1917, 18syl6eqr 2333 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  (
( h  o.  F
)  o.  G )  =  ( ( G  o.  h )  o.  F ) )
20 simp33 993 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  ( R `  h )  =/=  ( R `  F
) )
2120, 14neeqtrd 2468 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  ( R `  h )  =/=  ( R `  G
) )
224, 5, 11cdlemg44 30922 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( h  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  G
) )  ->  (
h  o.  G )  =  ( G  o.  h ) )
231, 2, 8, 21, 22syl121anc 1187 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  (
h  o.  G )  =  ( G  o.  h ) )
2423coeq1d 4845 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  (
( h  o.  G
)  o.  F )  =  ( ( G  o.  h )  o.  F ) )
2519, 24eqtr4d 2318 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  (
( h  o.  F
)  o.  G )  =  ( ( h  o.  G )  o.  F ) )
26 coass 5191 . . . 4  |-  ( ( h  o.  F )  o.  G )  =  ( h  o.  ( F  o.  G )
)
27 coass 5191 . . . 4  |-  ( ( h  o.  G )  o.  F )  =  ( h  o.  ( G  o.  F )
)
2825, 26, 273eqtr3g 2338 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  (
h  o.  ( F  o.  G ) )  =  ( h  o.  ( G  o.  F
) ) )
2928coeq2d 4846 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  ( `' h  o.  (
h  o.  ( F  o.  G ) ) )  =  ( `' h  o.  ( h  o.  ( G  o.  F ) ) ) )
30 coass 5191 . . . 4  |-  ( ( `' h  o.  h
)  o.  ( F  o.  G ) )  =  ( `' h  o.  ( h  o.  ( F  o.  G )
) )
3110, 4, 5ltrn1o 30313 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  h  e.  T
)  ->  h : B
-1-1-onto-> B )
321, 2, 31syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  h : B -1-1-onto-> B )
33 f1ococnv1 5502 . . . . . 6  |-  ( h : B -1-1-onto-> B  ->  ( `' h  o.  h )  =  (  _I  |`  B ) )
3432, 33syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  ( `' h  o.  h
)  =  (  _I  |`  B ) )
3534coeq1d 4845 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  (
( `' h  o.  h )  o.  ( F  o.  G )
)  =  ( (  _I  |`  B )  o.  ( F  o.  G
) ) )
3630, 35syl5eqr 2329 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  ( `' h  o.  (
h  o.  ( F  o.  G ) ) )  =  ( (  _I  |`  B )  o.  ( F  o.  G
) ) )
374, 5ltrnco 30908 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( F  o.  G )  e.  T
)
381, 3, 8, 37syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  ( F  o.  G )  e.  T )
3910, 4, 5ltrn1o 30313 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  o.  G )  e.  T
)  ->  ( F  o.  G ) : B -1-1-onto-> B
)
401, 38, 39syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  ( F  o.  G ) : B -1-1-onto-> B )
41 f1of 5472 . . . 4  |-  ( ( F  o.  G ) : B -1-1-onto-> B  ->  ( F  o.  G ) : B --> B )
42 fcoi2 5416 . . . 4  |-  ( ( F  o.  G ) : B --> B  -> 
( (  _I  |`  B )  o.  ( F  o.  G ) )  =  ( F  o.  G
) )
4340, 41, 423syl 18 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  (
(  _I  |`  B )  o.  ( F  o.  G ) )  =  ( F  o.  G
) )
4436, 43eqtrd 2315 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  ( `' h  o.  (
h  o.  ( F  o.  G ) ) )  =  ( F  o.  G ) )
45 coass 5191 . . . 4  |-  ( ( `' h  o.  h
)  o.  ( G  o.  F ) )  =  ( `' h  o.  ( h  o.  ( G  o.  F )
) )
4634coeq1d 4845 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  (
( `' h  o.  h )  o.  ( G  o.  F )
)  =  ( (  _I  |`  B )  o.  ( G  o.  F
) ) )
4745, 46syl5eqr 2329 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  ( `' h  o.  (
h  o.  ( G  o.  F ) ) )  =  ( (  _I  |`  B )  o.  ( G  o.  F
) ) )
484, 5ltrnco 30908 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T  /\  F  e.  T
)  ->  ( G  o.  F )  e.  T
)
491, 8, 3, 48syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  ( G  o.  F )  e.  T )
5010, 4, 5ltrn1o 30313 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( G  o.  F )  e.  T
)  ->  ( G  o.  F ) : B -1-1-onto-> B
)
511, 49, 50syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  ( G  o.  F ) : B -1-1-onto-> B )
52 f1of 5472 . . . 4  |-  ( ( G  o.  F ) : B -1-1-onto-> B  ->  ( G  o.  F ) : B --> B )
53 fcoi2 5416 . . . 4  |-  ( ( G  o.  F ) : B --> B  -> 
( (  _I  |`  B )  o.  ( G  o.  F ) )  =  ( G  o.  F
) )
5451, 52, 533syl 18 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  (
(  _I  |`  B )  o.  ( G  o.  F ) )  =  ( G  o.  F
) )
5547, 54eqtrd 2315 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  ( `' h  o.  (
h  o.  ( G  o.  F ) ) )  =  ( G  o.  F ) )
5629, 44, 553eqtr3d 2323 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  ( F  o.  G )  =  ( G  o.  F ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446    _I cid 4304   `'ccnv 4688    |` cres 4691    o. ccom 4693   -->wf 5251   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255   Basecbs 13148   HLchlt 29540   LHypclh 30173   LTrncltrn 30290   trLctrl 30347
This theorem is referenced by:  cdlemg48  30926
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-undef 6298  df-riota 6304  df-map 6774  df-poset 14080  df-plt 14092  df-lub 14108  df-glb 14109  df-join 14110  df-meet 14111  df-p0 14145  df-p1 14146  df-lat 14152  df-clat 14214  df-oposet 29366  df-ol 29368  df-oml 29369  df-covers 29456  df-ats 29457  df-atl 29488  df-cvlat 29512  df-hlat 29541  df-llines 29687  df-lplanes 29688  df-lvols 29689  df-lines 29690  df-psubsp 29692  df-pmap 29693  df-padd 29985  df-lhyp 30177  df-laut 30178  df-ldil 30293  df-ltrn 30294  df-trl 30348
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