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Theorem cdlemg4c 31336
Description: TODO: FIX COMMENT (Contributed by NM, 24-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg4.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdlemg4.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdlemg4.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdlemg4.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
cdlemg4.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
cdlemg4.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdlemg4b.v  |-  V  =  ( R `  G
)
Assertion
Ref Expression
cdlemg4c  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T
)  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  V
) )  ->  -.  ( G `  Q ) 
.<_  ( P  .\/  V
) )

Proof of Theorem cdlemg4c
StepHypRef Expression
1 simpll 731 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T ) )  /\  ( G `  Q ) 
.<_  ( P  .\/  V
) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 simplr2 1000 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T ) )  /\  ( G `  Q ) 
.<_  ( P  .\/  V
) )  ->  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )
3 simplr3 1001 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T ) )  /\  ( G `  Q ) 
.<_  ( P  .\/  V
) )  ->  G  e.  T )
4 cdlemg4.l . . . . . . . . 9  |-  .<_  =  ( le `  K )
5 cdlemg4.a . . . . . . . . 9  |-  A  =  ( Atoms `  K )
6 cdlemg4.h . . . . . . . . 9  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
7 cdlemg4.t . . . . . . . . 9  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
8 cdlemg4.r . . . . . . . . 9  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
9 cdlemg4.j . . . . . . . . 9  |-  .\/  =  ( join `  K )
10 cdlemg4b.v . . . . . . . . 9  |-  V  =  ( R `  G
)
114, 5, 6, 7, 8, 9, 10cdlemg4b2 31334 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T )  ->  (
( G `  Q
)  .\/  V )  =  ( Q  .\/  ( G `  Q ) ) )
121, 2, 3, 11syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T ) )  /\  ( G `  Q ) 
.<_  ( P  .\/  V
) )  ->  (
( G `  Q
)  .\/  V )  =  ( Q  .\/  ( G `  Q ) ) )
13 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T ) )  /\  ( G `  Q ) 
.<_  ( P  .\/  V
) )  ->  ( G `  Q )  .<_  ( P  .\/  V
) )
14 simpll 731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T
) )  ->  K  e.  HL )
15 hllat 30088 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
1614, 15syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T
) )  ->  K  e.  Lat )
17 simpr1l 1014 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T
) )  ->  P  e.  A )
18 eqid 2435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
1918, 5atbase 30014 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
2017, 19syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T
) )  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
21 simpl 444 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T
) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
22 simpr3 965 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T
) )  ->  G  e.  T )
2318, 6, 7, 8trlcl 30888 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T
)  ->  ( R `  G )  e.  (
Base `  K )
)
2421, 22, 23syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T
) )  ->  ( R `  G )  e.  ( Base `  K
) )
2510, 24syl5eqel 2519 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T
) )  ->  V  e.  ( Base `  K
) )
2618, 4, 9latlej2 14482 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  P  e.  ( Base `  K )  /\  V  e.  ( Base `  K
) )  ->  V  .<_  ( P  .\/  V
) )
2716, 20, 25, 26syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T
) )  ->  V  .<_  ( P  .\/  V
) )
2827adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T ) )  /\  ( G `  Q ) 
.<_  ( P  .\/  V
) )  ->  V  .<_  ( P  .\/  V
) )
29 simpr2l 1016 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T
) )  ->  Q  e.  A )
3018, 5atbase 30014 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Q  e.  A  ->  Q  e.  ( Base `  K
) )
3129, 30syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T
) )  ->  Q  e.  ( Base `  K
) )
3218, 6, 7ltrncl 30849 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T  /\  Q  e.  ( Base `  K ) )  ->  ( G `  Q )  e.  (
Base `  K )
)
3321, 22, 31, 32syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T
) )  ->  ( G `  Q )  e.  ( Base `  K
) )
3418, 9latjcl 14471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  P  e.  ( Base `  K )  /\  V  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( P  .\/  V )  e.  ( Base `  K
) )
3516, 20, 25, 34syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T
) )  ->  ( P  .\/  V )  e.  ( Base `  K
) )
3618, 4, 9latjle12 14483 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( G `  Q )  e.  (
Base `  K )  /\  V  e.  ( Base `  K )  /\  ( P  .\/  V )  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( ( ( G `
 Q )  .<_  ( P  .\/  V )  /\  V  .<_  ( P 
.\/  V ) )  <-> 
( ( G `  Q )  .\/  V
)  .<_  ( P  .\/  V ) ) )
3716, 33, 25, 35, 36syl13anc 1186 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T
) )  ->  (
( ( G `  Q )  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  V  .<_  ( P  .\/  V ) )  <->  ( ( G `  Q )  .\/  V )  .<_  ( P 
.\/  V ) ) )
3837adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T ) )  /\  ( G `  Q ) 
.<_  ( P  .\/  V
) )  ->  (
( ( G `  Q )  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  V  .<_  ( P  .\/  V ) )  <->  ( ( G `  Q )  .\/  V )  .<_  ( P 
.\/  V ) ) )
3913, 28, 38mpbi2and 888 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T ) )  /\  ( G `  Q ) 
.<_  ( P  .\/  V
) )  ->  (
( G `  Q
)  .\/  V )  .<_  ( P  .\/  V
) )
4012, 39eqbrtrrd 4226 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T ) )  /\  ( G `  Q ) 
.<_  ( P  .\/  V
) )  ->  ( Q  .\/  ( G `  Q ) )  .<_  ( P  .\/  V ) )
4116adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T ) )  /\  ( G `  Q ) 
.<_  ( P  .\/  V
) )  ->  K  e.  Lat )
4231adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T ) )  /\  ( G `  Q ) 
.<_  ( P  .\/  V
) )  ->  Q  e.  ( Base `  K
) )
4333adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T ) )  /\  ( G `  Q ) 
.<_  ( P  .\/  V
) )  ->  ( G `  Q )  e.  ( Base `  K
) )
4420adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T ) )  /\  ( G `  Q ) 
.<_  ( P  .\/  V
) )  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
451, 3, 23syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T ) )  /\  ( G `  Q ) 
.<_  ( P  .\/  V
) )  ->  ( R `  G )  e.  ( Base `  K
) )
4610, 45syl5eqel 2519 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T ) )  /\  ( G `  Q ) 
.<_  ( P  .\/  V
) )  ->  V  e.  ( Base `  K
) )
4741, 44, 46, 34syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T ) )  /\  ( G `  Q ) 
.<_  ( P  .\/  V
) )  ->  ( P  .\/  V )  e.  ( Base `  K
) )
4818, 4, 9latjle12 14483 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( Q  e.  ( Base `  K )  /\  ( G `  Q )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( P  .\/  V )  e.  (
Base `  K )
) )  ->  (
( Q  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  ( G `  Q ) 
.<_  ( P  .\/  V
) )  <->  ( Q  .\/  ( G `  Q
) )  .<_  ( P 
.\/  V ) ) )
4941, 42, 43, 47, 48syl13anc 1186 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T ) )  /\  ( G `  Q ) 
.<_  ( P  .\/  V
) )  ->  (
( Q  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  ( G `  Q ) 
.<_  ( P  .\/  V
) )  <->  ( Q  .\/  ( G `  Q
) )  .<_  ( P 
.\/  V ) ) )
5040, 49mpbird 224 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T ) )  /\  ( G `  Q ) 
.<_  ( P  .\/  V
) )  ->  ( Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( G `
 Q )  .<_  ( P  .\/  V ) ) )
5150simpld 446 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T ) )  /\  ( G `  Q ) 
.<_  ( P  .\/  V
) )  ->  Q  .<_  ( P  .\/  V
) )
5251ex 424 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T
) )  ->  (
( G `  Q
)  .<_  ( P  .\/  V )  ->  Q  .<_  ( P  .\/  V ) ) )
5352con3d 127 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T
) )  ->  ( -.  Q  .<_  ( P 
.\/  V )  ->  -.  ( G `  Q
)  .<_  ( P  .\/  V ) ) )
54533impia 1150 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T
)  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  V
) )  ->  -.  ( G `  Q ) 
.<_  ( P  .\/  V
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   class class class wbr 4204   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Basecbs 13461   lecple 13528   joincjn 14393   Latclat 14466   Atomscatm 29988   HLchlt 30075   LHypclh 30708   LTrncltrn 30825   trLctrl 30882
This theorem is referenced by:  cdlemg4d  31337
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-undef 6535  df-riota 6541  df-map 7012  df-poset 14395  df-plt 14407  df-lub 14423  df-glb 14424  df-join 14425  df-meet 14426  df-p0 14460  df-p1 14461  df-lat 14467  df-clat 14529  df-oposet 29901  df-ol 29903  df-oml 29904  df-covers 29991  df-ats 29992  df-atl 30023  df-cvlat 30047  df-hlat 30076  df-psubsp 30227  df-pmap 30228  df-padd 30520  df-lhyp 30712  df-laut 30713  df-ldil 30828  df-ltrn 30829  df-trl 30883
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