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Theorem cdlemg4c 30801
Description: TODO: FIX COMMENT (Contributed by NM, 24-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg4.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdlemg4.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdlemg4.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdlemg4.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
cdlemg4.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
cdlemg4.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdlemg4b.v  |-  V  =  ( R `  G
)
Assertion
Ref Expression
cdlemg4c  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T
)  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  V
) )  ->  -.  ( G `  Q ) 
.<_  ( P  .\/  V
) )

Proof of Theorem cdlemg4c
StepHypRef Expression
1 simpll 730 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T ) )  /\  ( G `  Q ) 
.<_  ( P  .\/  V
) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 simplr2 998 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T ) )  /\  ( G `  Q ) 
.<_  ( P  .\/  V
) )  ->  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )
3 simplr3 999 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T ) )  /\  ( G `  Q ) 
.<_  ( P  .\/  V
) )  ->  G  e.  T )
4 cdlemg4.l . . . . . . . . 9  |-  .<_  =  ( le `  K )
5 cdlemg4.a . . . . . . . . 9  |-  A  =  ( Atoms `  K )
6 cdlemg4.h . . . . . . . . 9  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
7 cdlemg4.t . . . . . . . . 9  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
8 cdlemg4.r . . . . . . . . 9  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
9 cdlemg4.j . . . . . . . . 9  |-  .\/  =  ( join `  K )
10 cdlemg4b.v . . . . . . . . 9  |-  V  =  ( R `  G
)
114, 5, 6, 7, 8, 9, 10cdlemg4b2 30799 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T )  ->  (
( G `  Q
)  .\/  V )  =  ( Q  .\/  ( G `  Q ) ) )
121, 2, 3, 11syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T ) )  /\  ( G `  Q ) 
.<_  ( P  .\/  V
) )  ->  (
( G `  Q
)  .\/  V )  =  ( Q  .\/  ( G `  Q ) ) )
13 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T ) )  /\  ( G `  Q ) 
.<_  ( P  .\/  V
) )  ->  ( G `  Q )  .<_  ( P  .\/  V
) )
14 simpll 730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T
) )  ->  K  e.  HL )
15 hllat 29553 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
1614, 15syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T
) )  ->  K  e.  Lat )
17 simpr1l 1012 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T
) )  ->  P  e.  A )
18 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
1918, 5atbase 29479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
2017, 19syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T
) )  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
21 simpl 443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T
) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
22 simpr3 963 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T
) )  ->  G  e.  T )
2318, 6, 7, 8trlcl 30353 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T
)  ->  ( R `  G )  e.  (
Base `  K )
)
2421, 22, 23syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T
) )  ->  ( R `  G )  e.  ( Base `  K
) )
2510, 24syl5eqel 2367 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T
) )  ->  V  e.  ( Base `  K
) )
2618, 4, 9latlej2 14167 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  P  e.  ( Base `  K )  /\  V  e.  ( Base `  K
) )  ->  V  .<_  ( P  .\/  V
) )
2716, 20, 25, 26syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T
) )  ->  V  .<_  ( P  .\/  V
) )
2827adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T ) )  /\  ( G `  Q ) 
.<_  ( P  .\/  V
) )  ->  V  .<_  ( P  .\/  V
) )
29 simpr2l 1014 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T
) )  ->  Q  e.  A )
3018, 5atbase 29479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Q  e.  A  ->  Q  e.  ( Base `  K
) )
3129, 30syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T
) )  ->  Q  e.  ( Base `  K
) )
3218, 6, 7ltrncl 30314 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T  /\  Q  e.  ( Base `  K ) )  ->  ( G `  Q )  e.  (
Base `  K )
)
3321, 22, 31, 32syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T
) )  ->  ( G `  Q )  e.  ( Base `  K
) )
3418, 9latjcl 14156 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  P  e.  ( Base `  K )  /\  V  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( P  .\/  V )  e.  ( Base `  K
) )
3516, 20, 25, 34syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T
) )  ->  ( P  .\/  V )  e.  ( Base `  K
) )
3618, 4, 9latjle12 14168 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( G `  Q )  e.  (
Base `  K )  /\  V  e.  ( Base `  K )  /\  ( P  .\/  V )  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( ( ( G `
 Q )  .<_  ( P  .\/  V )  /\  V  .<_  ( P 
.\/  V ) )  <-> 
( ( G `  Q )  .\/  V
)  .<_  ( P  .\/  V ) ) )
3716, 33, 25, 35, 36syl13anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T
) )  ->  (
( ( G `  Q )  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  V  .<_  ( P  .\/  V ) )  <->  ( ( G `  Q )  .\/  V )  .<_  ( P 
.\/  V ) ) )
3837adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T ) )  /\  ( G `  Q ) 
.<_  ( P  .\/  V
) )  ->  (
( ( G `  Q )  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  V  .<_  ( P  .\/  V ) )  <->  ( ( G `  Q )  .\/  V )  .<_  ( P 
.\/  V ) ) )
3913, 28, 38mpbi2and 887 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T ) )  /\  ( G `  Q ) 
.<_  ( P  .\/  V
) )  ->  (
( G `  Q
)  .\/  V )  .<_  ( P  .\/  V
) )
4012, 39eqbrtrrd 4045 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T ) )  /\  ( G `  Q ) 
.<_  ( P  .\/  V
) )  ->  ( Q  .\/  ( G `  Q ) )  .<_  ( P  .\/  V ) )
4116adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T ) )  /\  ( G `  Q ) 
.<_  ( P  .\/  V
) )  ->  K  e.  Lat )
4231adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T ) )  /\  ( G `  Q ) 
.<_  ( P  .\/  V
) )  ->  Q  e.  ( Base `  K
) )
4333adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T ) )  /\  ( G `  Q ) 
.<_  ( P  .\/  V
) )  ->  ( G `  Q )  e.  ( Base `  K
) )
4420adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T ) )  /\  ( G `  Q ) 
.<_  ( P  .\/  V
) )  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
451, 3, 23syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T ) )  /\  ( G `  Q ) 
.<_  ( P  .\/  V
) )  ->  ( R `  G )  e.  ( Base `  K
) )
4610, 45syl5eqel 2367 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T ) )  /\  ( G `  Q ) 
.<_  ( P  .\/  V
) )  ->  V  e.  ( Base `  K
) )
4741, 44, 46, 34syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T ) )  /\  ( G `  Q ) 
.<_  ( P  .\/  V
) )  ->  ( P  .\/  V )  e.  ( Base `  K
) )
4818, 4, 9latjle12 14168 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( Q  e.  ( Base `  K )  /\  ( G `  Q )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( P  .\/  V )  e.  (
Base `  K )
) )  ->  (
( Q  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  ( G `  Q ) 
.<_  ( P  .\/  V
) )  <->  ( Q  .\/  ( G `  Q
) )  .<_  ( P 
.\/  V ) ) )
4941, 42, 43, 47, 48syl13anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T ) )  /\  ( G `  Q ) 
.<_  ( P  .\/  V
) )  ->  (
( Q  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  ( G `  Q ) 
.<_  ( P  .\/  V
) )  <->  ( Q  .\/  ( G `  Q
) )  .<_  ( P 
.\/  V ) ) )
5040, 49mpbird 223 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T ) )  /\  ( G `  Q ) 
.<_  ( P  .\/  V
) )  ->  ( Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( G `
 Q )  .<_  ( P  .\/  V ) ) )
5150simpld 445 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T ) )  /\  ( G `  Q ) 
.<_  ( P  .\/  V
) )  ->  Q  .<_  ( P  .\/  V
) )
5251ex 423 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T
) )  ->  (
( G `  Q
)  .<_  ( P  .\/  V )  ->  Q  .<_  ( P  .\/  V ) ) )
5352con3d 125 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T
) )  ->  ( -.  Q  .<_  ( P 
.\/  V )  ->  -.  ( G `  Q
)  .<_  ( P  .\/  V ) ) )
54533impia 1148 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T
)  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  V
) )  ->  -.  ( G `  Q ) 
.<_  ( P  .\/  V
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   lecple 13215   joincjn 14078   Latclat 14151   Atomscatm 29453   HLchlt 29540   LHypclh 30173   LTrncltrn 30290   trLctrl 30347
This theorem is referenced by:  cdlemg4d  30802
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-undef 6298  df-riota 6304  df-map 6774  df-poset 14080  df-plt 14092  df-lub 14108  df-glb 14109  df-join 14110  df-meet 14111  df-p0 14145  df-p1 14146  df-lat 14152  df-clat 14214  df-oposet 29366  df-ol 29368  df-oml 29369  df-covers 29456  df-ats 29457  df-atl 29488  df-cvlat 29512  df-hlat 29541  df-psubsp 29692  df-pmap 29693  df-padd 29985  df-lhyp 30177  df-laut 30178  df-ldil 30293  df-ltrn 30294  df-trl 30348
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