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Theorem cdlemg4c 30726
Description: TODO: FIX COMMENT (Contributed by NM, 24-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg4.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdlemg4.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdlemg4.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdlemg4.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
cdlemg4.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
cdlemg4.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdlemg4b.v  |-  V  =  ( R `  G
)
Assertion
Ref Expression
cdlemg4c  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T
)  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  V
) )  ->  -.  ( G `  Q ) 
.<_  ( P  .\/  V
) )

Proof of Theorem cdlemg4c
StepHypRef Expression
1 simpll 731 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T ) )  /\  ( G `  Q ) 
.<_  ( P  .\/  V
) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 simplr2 1000 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T ) )  /\  ( G `  Q ) 
.<_  ( P  .\/  V
) )  ->  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )
3 simplr3 1001 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T ) )  /\  ( G `  Q ) 
.<_  ( P  .\/  V
) )  ->  G  e.  T )
4 cdlemg4.l . . . . . . . . 9  |-  .<_  =  ( le `  K )
5 cdlemg4.a . . . . . . . . 9  |-  A  =  ( Atoms `  K )
6 cdlemg4.h . . . . . . . . 9  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
7 cdlemg4.t . . . . . . . . 9  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
8 cdlemg4.r . . . . . . . . 9  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
9 cdlemg4.j . . . . . . . . 9  |-  .\/  =  ( join `  K )
10 cdlemg4b.v . . . . . . . . 9  |-  V  =  ( R `  G
)
114, 5, 6, 7, 8, 9, 10cdlemg4b2 30724 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T )  ->  (
( G `  Q
)  .\/  V )  =  ( Q  .\/  ( G `  Q ) ) )
121, 2, 3, 11syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T ) )  /\  ( G `  Q ) 
.<_  ( P  .\/  V
) )  ->  (
( G `  Q
)  .\/  V )  =  ( Q  .\/  ( G `  Q ) ) )
13 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T ) )  /\  ( G `  Q ) 
.<_  ( P  .\/  V
) )  ->  ( G `  Q )  .<_  ( P  .\/  V
) )
14 simpll 731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T
) )  ->  K  e.  HL )
15 hllat 29478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
1614, 15syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T
) )  ->  K  e.  Lat )
17 simpr1l 1014 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T
) )  ->  P  e.  A )
18 eqid 2387 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
1918, 5atbase 29404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
2017, 19syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T
) )  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
21 simpl 444 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T
) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
22 simpr3 965 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T
) )  ->  G  e.  T )
2318, 6, 7, 8trlcl 30278 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T
)  ->  ( R `  G )  e.  (
Base `  K )
)
2421, 22, 23syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T
) )  ->  ( R `  G )  e.  ( Base `  K
) )
2510, 24syl5eqel 2471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T
) )  ->  V  e.  ( Base `  K
) )
2618, 4, 9latlej2 14417 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  P  e.  ( Base `  K )  /\  V  e.  ( Base `  K
) )  ->  V  .<_  ( P  .\/  V
) )
2716, 20, 25, 26syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T
) )  ->  V  .<_  ( P  .\/  V
) )
2827adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T ) )  /\  ( G `  Q ) 
.<_  ( P  .\/  V
) )  ->  V  .<_  ( P  .\/  V
) )
29 simpr2l 1016 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T
) )  ->  Q  e.  A )
3018, 5atbase 29404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Q  e.  A  ->  Q  e.  ( Base `  K
) )
3129, 30syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T
) )  ->  Q  e.  ( Base `  K
) )
3218, 6, 7ltrncl 30239 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T  /\  Q  e.  ( Base `  K ) )  ->  ( G `  Q )  e.  (
Base `  K )
)
3321, 22, 31, 32syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T
) )  ->  ( G `  Q )  e.  ( Base `  K
) )
3418, 9latjcl 14406 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  P  e.  ( Base `  K )  /\  V  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( P  .\/  V )  e.  ( Base `  K
) )
3516, 20, 25, 34syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T
) )  ->  ( P  .\/  V )  e.  ( Base `  K
) )
3618, 4, 9latjle12 14418 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( G `  Q )  e.  (
Base `  K )  /\  V  e.  ( Base `  K )  /\  ( P  .\/  V )  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( ( ( G `
 Q )  .<_  ( P  .\/  V )  /\  V  .<_  ( P 
.\/  V ) )  <-> 
( ( G `  Q )  .\/  V
)  .<_  ( P  .\/  V ) ) )
3716, 33, 25, 35, 36syl13anc 1186 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T
) )  ->  (
( ( G `  Q )  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  V  .<_  ( P  .\/  V ) )  <->  ( ( G `  Q )  .\/  V )  .<_  ( P 
.\/  V ) ) )
3837adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T ) )  /\  ( G `  Q ) 
.<_  ( P  .\/  V
) )  ->  (
( ( G `  Q )  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  V  .<_  ( P  .\/  V ) )  <->  ( ( G `  Q )  .\/  V )  .<_  ( P 
.\/  V ) ) )
3913, 28, 38mpbi2and 888 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T ) )  /\  ( G `  Q ) 
.<_  ( P  .\/  V
) )  ->  (
( G `  Q
)  .\/  V )  .<_  ( P  .\/  V
) )
4012, 39eqbrtrrd 4175 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T ) )  /\  ( G `  Q ) 
.<_  ( P  .\/  V
) )  ->  ( Q  .\/  ( G `  Q ) )  .<_  ( P  .\/  V ) )
4116adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T ) )  /\  ( G `  Q ) 
.<_  ( P  .\/  V
) )  ->  K  e.  Lat )
4231adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T ) )  /\  ( G `  Q ) 
.<_  ( P  .\/  V
) )  ->  Q  e.  ( Base `  K
) )
4333adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T ) )  /\  ( G `  Q ) 
.<_  ( P  .\/  V
) )  ->  ( G `  Q )  e.  ( Base `  K
) )
4420adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T ) )  /\  ( G `  Q ) 
.<_  ( P  .\/  V
) )  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
451, 3, 23syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T ) )  /\  ( G `  Q ) 
.<_  ( P  .\/  V
) )  ->  ( R `  G )  e.  ( Base `  K
) )
4610, 45syl5eqel 2471 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T ) )  /\  ( G `  Q ) 
.<_  ( P  .\/  V
) )  ->  V  e.  ( Base `  K
) )
4741, 44, 46, 34syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T ) )  /\  ( G `  Q ) 
.<_  ( P  .\/  V
) )  ->  ( P  .\/  V )  e.  ( Base `  K
) )
4818, 4, 9latjle12 14418 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( Q  e.  ( Base `  K )  /\  ( G `  Q )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( P  .\/  V )  e.  (
Base `  K )
) )  ->  (
( Q  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  ( G `  Q ) 
.<_  ( P  .\/  V
) )  <->  ( Q  .\/  ( G `  Q
) )  .<_  ( P 
.\/  V ) ) )
4941, 42, 43, 47, 48syl13anc 1186 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T ) )  /\  ( G `  Q ) 
.<_  ( P  .\/  V
) )  ->  (
( Q  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  ( G `  Q ) 
.<_  ( P  .\/  V
) )  <->  ( Q  .\/  ( G `  Q
) )  .<_  ( P 
.\/  V ) ) )
5040, 49mpbird 224 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T ) )  /\  ( G `  Q ) 
.<_  ( P  .\/  V
) )  ->  ( Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( G `
 Q )  .<_  ( P  .\/  V ) ) )
5150simpld 446 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T ) )  /\  ( G `  Q ) 
.<_  ( P  .\/  V
) )  ->  Q  .<_  ( P  .\/  V
) )
5251ex 424 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T
) )  ->  (
( G `  Q
)  .<_  ( P  .\/  V )  ->  Q  .<_  ( P  .\/  V ) ) )
5352con3d 127 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T
) )  ->  ( -.  Q  .<_  ( P 
.\/  V )  ->  -.  ( G `  Q
)  .<_  ( P  .\/  V ) ) )
54533impia 1150 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T
)  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  V
) )  ->  -.  ( G `  Q ) 
.<_  ( P  .\/  V
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   class class class wbr 4153   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   Basecbs 13396   lecple 13463   joincjn 14328   Latclat 14401   Atomscatm 29378   HLchlt 29465   LHypclh 30098   LTrncltrn 30215   trLctrl 30272
This theorem is referenced by:  cdlemg4d  30727
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-iin 4038  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-id 4439  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-undef 6479  df-riota 6485  df-map 6956  df-poset 14330  df-plt 14342  df-lub 14358  df-glb 14359  df-join 14360  df-meet 14361  df-p0 14395  df-p1 14396  df-lat 14402  df-clat 14464  df-oposet 29291  df-ol 29293  df-oml 29294  df-covers 29381  df-ats 29382  df-atl 29413  df-cvlat 29437  df-hlat 29466  df-psubsp 29617  df-pmap 29618  df-padd 29910  df-lhyp 30102  df-laut 30103  df-ldil 30218  df-ltrn 30219  df-trl 30273
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