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Theorem cdlemg6c 31491
Description: TODO: FIX COMMENT (Contributed by NM, 27-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg4.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdlemg4.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdlemg4.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdlemg4.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
cdlemg4.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
cdlemg4.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdlemg4b.v  |-  V  =  ( R `  G
)
Assertion
Ref Expression
cdlemg6c  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `  ( G `  P ) )  =  P ) )  ->  ( (
( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) )  ->  ( F `  ( G `  Q
) )  =  Q ) )
Distinct variable groups:    A, r    F, r    G, r    H, r    .\/ , r    K, r    .<_ , r    P, r    Q, r    T, r    V, r    W, r
Allowed substitution hint:    R( r)

Proof of Theorem cdlemg6c
StepHypRef Expression
1 simpl1 961 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 simprl 734 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )  -> 
( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W ) )
3 simpl22 1037 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )  -> 
( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )
4 simpl23 1038 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )  ->  F  e.  T )
5 simpl31 1039 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )  ->  G  e.  T )
6 simprr 735 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )  ->  -.  r  .<_  ( P 
.\/  V ) )
7 simpl1l 1009 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )  ->  K  e.  HL )
8 simp22l 1077 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `  ( G `  P ) )  =  P ) )  ->  Q  e.  A )
98adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )  ->  Q  e.  A )
10 simprll 740 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )  -> 
r  e.  A )
11 cdlemg4b.v . . . . . . 7  |-  V  =  ( R `  G
)
12 eqid 2438 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
13 cdlemg4.h . . . . . . . . 9  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
14 cdlemg4.t . . . . . . . . 9  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
15 cdlemg4.r . . . . . . . . 9  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
1612, 13, 14, 15trlcl 31035 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T
)  ->  ( R `  G )  e.  (
Base `  K )
)
171, 5, 16syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )  -> 
( R `  G
)  e.  ( Base `  K ) )
1811, 17syl5eqel 2522 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )  ->  V  e.  ( Base `  K ) )
19 simp22r 1078 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `  ( G `  P ) )  =  P ) )  ->  -.  Q  .<_  W )
2019adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )  ->  -.  Q  .<_  W )
21 cdlemg4.l . . . . . . . . . . 11  |-  .<_  =  ( le `  K )
2221, 13, 14, 15trlle 31055 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T
)  ->  ( R `  G )  .<_  W )
231, 5, 22syl2anc 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )  -> 
( R `  G
)  .<_  W )
2411, 23syl5eqbr 4248 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )  ->  V  .<_  W )
25 simp1l 982 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `  ( G `  P ) )  =  P ) )  ->  K  e.  HL )
26 hllat 30235 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
2725, 26syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `  ( G `  P ) )  =  P ) )  ->  K  e.  Lat )
2827adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )  ->  K  e.  Lat )
29 cdlemg4.a . . . . . . . . . . . 12  |-  A  =  ( Atoms `  K )
3012, 29atbase 30161 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Q  e.  A  ->  Q  e.  ( Base `  K
) )
318, 30syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `  ( G `  P ) )  =  P ) )  ->  Q  e.  ( Base `  K )
)
3231adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )  ->  Q  e.  ( Base `  K ) )
33 simp1r 983 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `  ( G `  P ) )  =  P ) )  ->  W  e.  H )
3412, 13lhpbase 30869 . . . . . . . . . . 11  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  ( Base `  K
) )
3533, 34syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `  ( G `  P ) )  =  P ) )  ->  W  e.  ( Base `  K )
)
3635adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )  ->  W  e.  ( Base `  K ) )
3712, 21lattr 14490 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( Q  e.  ( Base `  K )  /\  V  e.  ( Base `  K )  /\  W  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( ( Q  .<_  V  /\  V  .<_  W )  ->  Q  .<_  W ) )
3828, 32, 18, 36, 37syl13anc 1187 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )  -> 
( ( Q  .<_  V  /\  V  .<_  W )  ->  Q  .<_  W ) )
3924, 38mpan2d 657 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )  -> 
( Q  .<_  V  ->  Q  .<_  W ) )
4020, 39mtod 171 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )  ->  -.  Q  .<_  V )
41 cdlemg4.j . . . . . . 7  |-  .\/  =  ( join `  K )
4212, 21, 41, 29hlexch2 30254 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( Q  e.  A  /\  r  e.  A  /\  V  e.  ( Base `  K ) )  /\  -.  Q  .<_  V )  ->  ( Q  .<_  ( r  .\/  V
)  ->  r  .<_  ( Q  .\/  V ) ) )
437, 9, 10, 18, 40, 42syl131anc 1198 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )  -> 
( Q  .<_  ( r 
.\/  V )  -> 
r  .<_  ( Q  .\/  V ) ) )
44 simpl32 1040 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )  ->  Q  .<_  ( P  .\/  V ) )
45 simp21l 1075 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `  ( G `  P ) )  =  P ) )  ->  P  e.  A )
4645adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )  ->  P  e.  A )
4712, 29atbase 30161 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
4846, 47syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )  ->  P  e.  ( Base `  K ) )
4912, 21, 41latlej2 14495 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  P  e.  ( Base `  K )  /\  V  e.  ( Base `  K
) )  ->  V  .<_  ( P  .\/  V
) )
5028, 48, 18, 49syl3anc 1185 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )  ->  V  .<_  ( P  .\/  V ) )
5112, 41latjcl 14484 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  P  e.  ( Base `  K )  /\  V  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( P  .\/  V )  e.  ( Base `  K
) )
5228, 48, 18, 51syl3anc 1185 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )  -> 
( P  .\/  V
)  e.  ( Base `  K ) )
5312, 21, 41latjle12 14496 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( Q  e.  ( Base `  K )  /\  V  e.  ( Base `  K )  /\  ( P  .\/  V )  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( ( Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  V  .<_  ( P 
.\/  V ) )  <-> 
( Q  .\/  V
)  .<_  ( P  .\/  V ) ) )
5428, 32, 18, 52, 53syl13anc 1187 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )  -> 
( ( Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  V  .<_  ( P 
.\/  V ) )  <-> 
( Q  .\/  V
)  .<_  ( P  .\/  V ) ) )
5544, 50, 54mpbi2and 889 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )  -> 
( Q  .\/  V
)  .<_  ( P  .\/  V ) )
5612, 29atbase 30161 . . . . . . . 8  |-  ( r  e.  A  ->  r  e.  ( Base `  K
) )
5710, 56syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )  -> 
r  e.  ( Base `  K ) )
5812, 41latjcl 14484 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Q  e.  ( Base `  K )  /\  V  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( Q  .\/  V )  e.  ( Base `  K
) )
5928, 32, 18, 58syl3anc 1185 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )  -> 
( Q  .\/  V
)  e.  ( Base `  K ) )
6012, 21lattr 14490 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( r  e.  (
Base `  K )  /\  ( Q  .\/  V
)  e.  ( Base `  K )  /\  ( P  .\/  V )  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( ( r  .<_  ( Q  .\/  V )  /\  ( Q  .\/  V )  .<_  ( P  .\/  V ) )  -> 
r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )
6128, 57, 59, 52, 60syl13anc 1187 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )  -> 
( ( r  .<_  ( Q  .\/  V )  /\  ( Q  .\/  V )  .<_  ( P  .\/  V ) )  -> 
r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )
6255, 61mpan2d 657 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )  -> 
( r  .<_  ( Q 
.\/  V )  -> 
r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )
6343, 62syld 43 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )  -> 
( Q  .<_  ( r 
.\/  V )  -> 
r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )
646, 63mtod 171 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )  ->  -.  Q  .<_  ( r 
.\/  V ) )
65 simpl21 1036 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )  -> 
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
66 simpl33 1041 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )  -> 
( F `  ( G `  P )
)  =  P )
6721, 29, 13, 14, 15, 41, 11cdlemg6a 31489 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =  P ) )  ->  ( F `  ( G `  r ) )  =  r )
681, 65, 2, 4, 5, 6, 66, 67syl133anc 1208 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )  -> 
( F `  ( G `  r )
)  =  r )
6921, 29, 13, 14, 15, 41, 11cdlemg6b 31490 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  -.  Q  .<_  ( r  .\/  V
)  /\  ( F `  ( G `  r
) )  =  r ) )  ->  ( F `  ( G `  Q ) )  =  Q )
701, 2, 3, 4, 5, 64, 68, 69syl133anc 1208 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )  -> 
( F `  ( G `  Q )
)  =  Q )
7170ex 425 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `  ( G `  P ) )  =  P ) )  ->  ( (
( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) )  ->  ( F `  ( G `  Q
) )  =  Q ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   class class class wbr 4215   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   Basecbs 13474   lecple 13541   joincjn 14406   Latclat 14479   Atomscatm 30135   HLchlt 30222   LHypclh 30855   LTrncltrn 30972   trLctrl 31029
This theorem is referenced by:  cdlemg6d  31492
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-undef 6546  df-riota 6552  df-map 7023  df-poset 14408  df-plt 14420  df-lub 14436  df-glb 14437  df-join 14438  df-meet 14439  df-p0 14473  df-p1 14474  df-lat 14480  df-clat 14542  df-oposet 30048  df-ol 30050  df-oml 30051  df-covers 30138  df-ats 30139  df-atl 30170  df-cvlat 30194  df-hlat 30223  df-llines 30369  df-lplanes 30370  df-lvols 30371  df-lines 30372  df-psubsp 30374  df-pmap 30375  df-padd 30667  df-lhyp 30859  df-laut 30860  df-ldil 30975  df-ltrn 30976  df-trl 31030
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