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Theorem cdlemg6c 30809
Description: TODO: FIX COMMENT (Contributed by NM, 27-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg4.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdlemg4.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdlemg4.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdlemg4.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
cdlemg4.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
cdlemg4.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdlemg4b.v  |-  V  =  ( R `  G
)
Assertion
Ref Expression
cdlemg6c  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `  ( G `  P ) )  =  P ) )  ->  ( (
( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) )  ->  ( F `  ( G `  Q
) )  =  Q ) )
Distinct variable groups:    A, r    F, r    G, r    H, r    .\/ , r    K, r    .<_ , r    P, r    Q, r    T, r    V, r    W, r
Allowed substitution hint:    R( r)

Proof of Theorem cdlemg6c
StepHypRef Expression
1 simpl1 958 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 simprl 732 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )  -> 
( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W ) )
3 simpl22 1034 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )  -> 
( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )
4 simpl23 1035 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )  ->  F  e.  T )
5 simpl31 1036 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )  ->  G  e.  T )
6 simprr 733 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )  ->  -.  r  .<_  ( P 
.\/  V ) )
7 simpl1l 1006 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )  ->  K  e.  HL )
8 simp22l 1074 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `  ( G `  P ) )  =  P ) )  ->  Q  e.  A )
98adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )  ->  Q  e.  A )
10 simprll 738 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )  -> 
r  e.  A )
11 cdlemg4b.v . . . . . . 7  |-  V  =  ( R `  G
)
12 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
13 cdlemg4.h . . . . . . . . 9  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
14 cdlemg4.t . . . . . . . . 9  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
15 cdlemg4.r . . . . . . . . 9  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
1612, 13, 14, 15trlcl 30353 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T
)  ->  ( R `  G )  e.  (
Base `  K )
)
171, 5, 16syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )  -> 
( R `  G
)  e.  ( Base `  K ) )
1811, 17syl5eqel 2367 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )  ->  V  e.  ( Base `  K ) )
19 simp22r 1075 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `  ( G `  P ) )  =  P ) )  ->  -.  Q  .<_  W )
2019adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )  ->  -.  Q  .<_  W )
21 cdlemg4.l . . . . . . . . . . 11  |-  .<_  =  ( le `  K )
2221, 13, 14, 15trlle 30373 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T
)  ->  ( R `  G )  .<_  W )
231, 5, 22syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )  -> 
( R `  G
)  .<_  W )
2411, 23syl5eqbr 4056 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )  ->  V  .<_  W )
25 simp1l 979 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `  ( G `  P ) )  =  P ) )  ->  K  e.  HL )
26 hllat 29553 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
2725, 26syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `  ( G `  P ) )  =  P ) )  ->  K  e.  Lat )
2827adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )  ->  K  e.  Lat )
29 cdlemg4.a . . . . . . . . . . . 12  |-  A  =  ( Atoms `  K )
3012, 29atbase 29479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Q  e.  A  ->  Q  e.  ( Base `  K
) )
318, 30syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `  ( G `  P ) )  =  P ) )  ->  Q  e.  ( Base `  K )
)
3231adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )  ->  Q  e.  ( Base `  K ) )
33 simp1r 980 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `  ( G `  P ) )  =  P ) )  ->  W  e.  H )
3412, 13lhpbase 30187 . . . . . . . . . . 11  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  ( Base `  K
) )
3533, 34syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `  ( G `  P ) )  =  P ) )  ->  W  e.  ( Base `  K )
)
3635adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )  ->  W  e.  ( Base `  K ) )
3712, 21lattr 14162 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( Q  e.  ( Base `  K )  /\  V  e.  ( Base `  K )  /\  W  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( ( Q  .<_  V  /\  V  .<_  W )  ->  Q  .<_  W ) )
3828, 32, 18, 36, 37syl13anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )  -> 
( ( Q  .<_  V  /\  V  .<_  W )  ->  Q  .<_  W ) )
3924, 38mpan2d 655 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )  -> 
( Q  .<_  V  ->  Q  .<_  W ) )
4020, 39mtod 168 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )  ->  -.  Q  .<_  V )
41 cdlemg4.j . . . . . . 7  |-  .\/  =  ( join `  K )
4212, 21, 41, 29hlexch2 29572 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( Q  e.  A  /\  r  e.  A  /\  V  e.  ( Base `  K ) )  /\  -.  Q  .<_  V )  ->  ( Q  .<_  ( r  .\/  V
)  ->  r  .<_  ( Q  .\/  V ) ) )
437, 9, 10, 18, 40, 42syl131anc 1195 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )  -> 
( Q  .<_  ( r 
.\/  V )  -> 
r  .<_  ( Q  .\/  V ) ) )
44 simpl32 1037 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )  ->  Q  .<_  ( P  .\/  V ) )
45 simp21l 1072 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `  ( G `  P ) )  =  P ) )  ->  P  e.  A )
4645adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )  ->  P  e.  A )
4712, 29atbase 29479 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
4846, 47syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )  ->  P  e.  ( Base `  K ) )
4912, 21, 41latlej2 14167 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  P  e.  ( Base `  K )  /\  V  e.  ( Base `  K
) )  ->  V  .<_  ( P  .\/  V
) )
5028, 48, 18, 49syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )  ->  V  .<_  ( P  .\/  V ) )
5112, 41latjcl 14156 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  P  e.  ( Base `  K )  /\  V  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( P  .\/  V )  e.  ( Base `  K
) )
5228, 48, 18, 51syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )  -> 
( P  .\/  V
)  e.  ( Base `  K ) )
5312, 21, 41latjle12 14168 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( Q  e.  ( Base `  K )  /\  V  e.  ( Base `  K )  /\  ( P  .\/  V )  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( ( Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  V  .<_  ( P 
.\/  V ) )  <-> 
( Q  .\/  V
)  .<_  ( P  .\/  V ) ) )
5428, 32, 18, 52, 53syl13anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )  -> 
( ( Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  V  .<_  ( P 
.\/  V ) )  <-> 
( Q  .\/  V
)  .<_  ( P  .\/  V ) ) )
5544, 50, 54mpbi2and 887 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )  -> 
( Q  .\/  V
)  .<_  ( P  .\/  V ) )
5612, 29atbase 29479 . . . . . . . 8  |-  ( r  e.  A  ->  r  e.  ( Base `  K
) )
5710, 56syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )  -> 
r  e.  ( Base `  K ) )
5812, 41latjcl 14156 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Q  e.  ( Base `  K )  /\  V  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( Q  .\/  V )  e.  ( Base `  K
) )
5928, 32, 18, 58syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )  -> 
( Q  .\/  V
)  e.  ( Base `  K ) )
6012, 21lattr 14162 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( r  e.  (
Base `  K )  /\  ( Q  .\/  V
)  e.  ( Base `  K )  /\  ( P  .\/  V )  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( ( r  .<_  ( Q  .\/  V )  /\  ( Q  .\/  V )  .<_  ( P  .\/  V ) )  -> 
r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )
6128, 57, 59, 52, 60syl13anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )  -> 
( ( r  .<_  ( Q  .\/  V )  /\  ( Q  .\/  V )  .<_  ( P  .\/  V ) )  -> 
r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )
6255, 61mpan2d 655 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )  -> 
( r  .<_  ( Q 
.\/  V )  -> 
r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )
6343, 62syld 40 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )  -> 
( Q  .<_  ( r 
.\/  V )  -> 
r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )
646, 63mtod 168 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )  ->  -.  Q  .<_  ( r 
.\/  V ) )
65 simpl21 1033 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )  -> 
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
66 simpl33 1038 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )  -> 
( F `  ( G `  P )
)  =  P )
6721, 29, 13, 14, 15, 41, 11cdlemg6a 30807 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =  P ) )  ->  ( F `  ( G `  r ) )  =  r )
681, 65, 2, 4, 5, 6, 66, 67syl133anc 1205 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )  -> 
( F `  ( G `  r )
)  =  r )
6921, 29, 13, 14, 15, 41, 11cdlemg6b 30808 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  -.  Q  .<_  ( r  .\/  V
)  /\  ( F `  ( G `  r
) )  =  r ) )  ->  ( F `  ( G `  Q ) )  =  Q )
701, 2, 3, 4, 5, 64, 68, 69syl133anc 1205 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )  -> 
( F `  ( G `  Q )
)  =  Q )
7170ex 423 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `  ( G `  P ) )  =  P ) )  ->  ( (
( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) )  ->  ( F `  ( G `  Q
) )  =  Q ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   lecple 13215   joincjn 14078   Latclat 14151   Atomscatm 29453   HLchlt 29540   LHypclh 30173   LTrncltrn 30290   trLctrl 30347
This theorem is referenced by:  cdlemg6d  30810
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-undef 6298  df-riota 6304  df-map 6774  df-poset 14080  df-plt 14092  df-lub 14108  df-glb 14109  df-join 14110  df-meet 14111  df-p0 14145  df-p1 14146  df-lat 14152  df-clat 14214  df-oposet 29366  df-ol 29368  df-oml 29369  df-covers 29456  df-ats 29457  df-atl 29488  df-cvlat 29512  df-hlat 29541  df-llines 29687  df-lplanes 29688  df-lvols 29689  df-lines 29690  df-psubsp 29692  df-pmap 29693  df-padd 29985  df-lhyp 30177  df-laut 30178  df-ldil 30293  df-ltrn 30294  df-trl 30348
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