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Theorem cdlemg7N 31425
Description: TODO: FIX COMMENT (Contributed by NM, 28-Apr-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg7.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cdlemg7.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdlemg7.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdlemg7.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdlemg7.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
cdlemg7N  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  X  e.  B )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  ( F `  ( G `  P )
)  =  P ) )  ->  ( F `  ( G `  X
) )  =  X )

Proof of Theorem cdlemg7N
StepHypRef Expression
1 simpl1 961 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  X  e.  B
)  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  X  .<_  W )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 simpl31 1039 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  X  e.  B
)  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  X  .<_  W )  ->  F  e.  T )
3 simpl32 1040 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  X  e.  B
)  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  X  .<_  W )  ->  G  e.  T )
4 simpl2r 1012 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  X  e.  B
)  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  X  .<_  W )  ->  X  e.  B )
5 cdlemg7.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  K
)
6 cdlemg7.h . . . . . 6  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
7 cdlemg7.t . . . . . 6  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
85, 6, 7ltrncl 30924 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T  /\  X  e.  B
)  ->  ( G `  X )  e.  B
)
91, 3, 4, 8syl3anc 1185 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  X  e.  B
)  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  X  .<_  W )  -> 
( G `  X
)  e.  B )
10 simpr 449 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  X  e.  B
)  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  X  .<_  W )  ->  X  .<_  W )
11 cdlemg7.l . . . . . . 7  |-  .<_  =  ( le `  K )
125, 11, 6, 7ltrnval1 30933 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  ->  ( G `  X )  =  X )
131, 3, 4, 10, 12syl112anc 1189 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  X  e.  B
)  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  X  .<_  W )  -> 
( G `  X
)  =  X )
1413, 10eqbrtrd 4234 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  X  e.  B
)  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  X  .<_  W )  -> 
( G `  X
)  .<_  W )
155, 11, 6, 7ltrnval1 30933 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( ( G `  X )  e.  B  /\  ( G `  X
)  .<_  W ) )  ->  ( F `  ( G `  X ) )  =  ( G `
 X ) )
161, 2, 9, 14, 15syl112anc 1189 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  X  e.  B
)  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  X  .<_  W )  -> 
( F `  ( G `  X )
)  =  ( G `
 X ) )
1716, 13eqtrd 2470 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  X  e.  B
)  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  X  .<_  W )  -> 
( F `  ( G `  X )
)  =  X )
18 simpl1 961 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  X  e.  B
)  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  -.  X  .<_  W )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
19 simpl2l 1011 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  X  e.  B
)  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  -.  X  .<_  W )  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
20 simpl2r 1012 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  X  e.  B
)  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  -.  X  .<_  W )  ->  X  e.  B
)
21 simpr 449 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  X  e.  B
)  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  -.  X  .<_  W )  ->  -.  X  .<_  W )
2220, 21jca 520 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  X  e.  B
)  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  -.  X  .<_  W )  ->  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )
23 simpl31 1039 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  X  e.  B
)  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  -.  X  .<_  W )  ->  F  e.  T
)
24 simpl32 1040 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  X  e.  B
)  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  -.  X  .<_  W )  ->  G  e.  T
)
25 simpl33 1041 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  X  e.  B
)  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  -.  X  .<_  W )  ->  ( F `  ( G `  P ) )  =  P )
26 cdlemg7.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
275, 11, 26, 6, 7cdlemg7aN 31424 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  ( F `  ( G `  P ) )  =  P ) )  -> 
( F `  ( G `  X )
)  =  X )
2818, 19, 22, 23, 24, 25, 27syl123anc 1202 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  X  e.  B
)  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  -.  X  .<_  W )  ->  ( F `  ( G `  X ) )  =  X )
2917, 28pm2.61dan 768 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  X  e.  B )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  ( F `  ( G `  P )
)  =  P ) )  ->  ( F `  ( G `  X
) )  =  X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   class class class wbr 4214   ` cfv 5456   Basecbs 13471   lecple 13538   Atomscatm 30063   HLchlt 30150   LHypclh 30783   LTrncltrn 30900
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-undef 6545  df-riota 6551  df-map 7022  df-poset 14405  df-plt 14417  df-lub 14433  df-glb 14434  df-join 14435  df-meet 14436  df-p0 14470  df-p1 14471  df-lat 14477  df-clat 14539  df-oposet 29976  df-ol 29978  df-oml 29979  df-covers 30066  df-ats 30067  df-atl 30098  df-cvlat 30122  df-hlat 30151  df-llines 30297  df-lplanes 30298  df-lvols 30299  df-lines 30300  df-psubsp 30302  df-pmap 30303  df-padd 30595  df-lhyp 30787  df-laut 30788  df-ldil 30903  df-ltrn 30904  df-trl 30958
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