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Theorem cdlemg7N 30815
Description: TODO: FIX COMMENT (Contributed by NM, 28-Apr-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg7.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cdlemg7.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdlemg7.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdlemg7.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdlemg7.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
cdlemg7N  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  X  e.  B )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  ( F `  ( G `  P )
)  =  P ) )  ->  ( F `  ( G `  X
) )  =  X )

Proof of Theorem cdlemg7N
StepHypRef Expression
1 simpl1 958 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  X  e.  B
)  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  X  .<_  W )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 simpl31 1036 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  X  e.  B
)  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  X  .<_  W )  ->  F  e.  T )
3 simpl32 1037 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  X  e.  B
)  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  X  .<_  W )  ->  G  e.  T )
4 simpl2r 1009 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  X  e.  B
)  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  X  .<_  W )  ->  X  e.  B )
5 cdlemg7.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  K
)
6 cdlemg7.h . . . . . 6  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
7 cdlemg7.t . . . . . 6  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
85, 6, 7ltrncl 30314 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T  /\  X  e.  B
)  ->  ( G `  X )  e.  B
)
91, 3, 4, 8syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  X  e.  B
)  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  X  .<_  W )  -> 
( G `  X
)  e.  B )
10 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  X  e.  B
)  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  X  .<_  W )  ->  X  .<_  W )
11 cdlemg7.l . . . . . . 7  |-  .<_  =  ( le `  K )
125, 11, 6, 7ltrnval1 30323 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  ->  ( G `  X )  =  X )
131, 3, 4, 10, 12syl112anc 1186 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  X  e.  B
)  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  X  .<_  W )  -> 
( G `  X
)  =  X )
1413, 10eqbrtrd 4043 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  X  e.  B
)  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  X  .<_  W )  -> 
( G `  X
)  .<_  W )
155, 11, 6, 7ltrnval1 30323 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( ( G `  X )  e.  B  /\  ( G `  X
)  .<_  W ) )  ->  ( F `  ( G `  X ) )  =  ( G `
 X ) )
161, 2, 9, 14, 15syl112anc 1186 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  X  e.  B
)  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  X  .<_  W )  -> 
( F `  ( G `  X )
)  =  ( G `
 X ) )
1716, 13eqtrd 2315 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  X  e.  B
)  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  X  .<_  W )  -> 
( F `  ( G `  X )
)  =  X )
18 simpl1 958 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  X  e.  B
)  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  -.  X  .<_  W )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
19 simpl2l 1008 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  X  e.  B
)  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  -.  X  .<_  W )  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
20 simpl2r 1009 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  X  e.  B
)  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  -.  X  .<_  W )  ->  X  e.  B
)
21 simpr 447 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  X  e.  B
)  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  -.  X  .<_  W )  ->  -.  X  .<_  W )
2220, 21jca 518 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  X  e.  B
)  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  -.  X  .<_  W )  ->  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )
23 simpl31 1036 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  X  e.  B
)  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  -.  X  .<_  W )  ->  F  e.  T
)
24 simpl32 1037 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  X  e.  B
)  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  -.  X  .<_  W )  ->  G  e.  T
)
25 simpl33 1038 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  X  e.  B
)  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  -.  X  .<_  W )  ->  ( F `  ( G `  P ) )  =  P )
26 cdlemg7.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
275, 11, 26, 6, 7cdlemg7aN 30814 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  ( F `  ( G `  P ) )  =  P ) )  -> 
( F `  ( G `  X )
)  =  X )
2818, 19, 22, 23, 24, 25, 27syl123anc 1199 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  X  e.  B
)  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  -.  X  .<_  W )  ->  ( F `  ( G `  X ) )  =  X )
2917, 28pm2.61dan 766 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  X  e.  B )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  ( F `  ( G `  P )
)  =  P ) )  ->  ( F `  ( G `  X
) )  =  X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   class class class wbr 4023   ` cfv 5255   Basecbs 13148   lecple 13215   Atomscatm 29453   HLchlt 29540   LHypclh 30173   LTrncltrn 30290
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-undef 6298  df-riota 6304  df-map 6774  df-poset 14080  df-plt 14092  df-lub 14108  df-glb 14109  df-join 14110  df-meet 14111  df-p0 14145  df-p1 14146  df-lat 14152  df-clat 14214  df-oposet 29366  df-ol 29368  df-oml 29369  df-covers 29456  df-ats 29457  df-atl 29488  df-cvlat 29512  df-hlat 29541  df-llines 29687  df-lplanes 29688  df-lvols 29689  df-lines 29690  df-psubsp 29692  df-pmap 29693  df-padd 29985  df-lhyp 30177  df-laut 30178  df-ldil 30293  df-ltrn 30294  df-trl 30348
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