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Theorem cdlemh 31688
Description: Lemma H of [Crawley] p. 118. (Contributed by NM, 17-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemh.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cdlemh.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdlemh.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdlemh.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdlemh.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdlemh.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdlemh.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
cdlemh.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
cdlemh.s  |-  S  =  ( ( P  .\/  ( R `  G ) )  ./\  ( Q  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F
) ) ) )
Assertion
Ref Expression
cdlemh  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )

Proof of Theorem cdlemh
StepHypRef Expression
1 simp1 958 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T ) )
2 simp21l 1075 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  P  e.  A
)
3 simp22l 1077 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  Q  e.  A
)
4 simp23 993 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  Q  .<_  ( P 
.\/  ( R `  F ) ) )
5 simp33 996 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( R `  F )  =/=  ( R `  G )
)
6 cdlemh.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  K
)
7 cdlemh.l . . . . . 6  |-  .<_  =  ( le `  K )
8 cdlemh.j . . . . . 6  |-  .\/  =  ( join `  K )
9 cdlemh.m . . . . . 6  |-  ./\  =  ( meet `  K )
10 cdlemh.a . . . . . 6  |-  A  =  ( Atoms `  K )
11 cdlemh.h . . . . . 6  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
12 cdlemh.t . . . . . 6  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
13 cdlemh.r . . . . . 6  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
14 cdlemh.s . . . . . 6  |-  S  =  ( ( P  .\/  ( R `  G ) )  ./\  ( Q  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F
) ) ) )
156, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14cdlemh1 31686 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( Q  .<_  ( P 
.\/  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( S  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  =  ( Q  .\/  ( R `
 ( G  o.  `' F ) ) ) )
161, 2, 3, 4, 5, 15syl122anc 1194 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( S  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  =  ( Q  .\/  ( R `
 ( G  o.  `' F ) ) ) )
17 oveq1 6091 . . . . . . . 8  |-  ( S  =  ( 0. `  K )  ->  ( S  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  =  ( ( 0.
`  K )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) )
18 simp11l 1069 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  K  e.  HL )
19 hlol 30233 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OL )
2018, 19syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  K  e.  OL )
21 simp11r 1070 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  W  e.  H
)
2218, 21jca 520 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
23 simp13 990 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  G  e.  T
)
24 simp12 989 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  F  e.  T
)
2511, 12ltrncnv 31017 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  `' F  e.  T )
2622, 24, 25syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  `' F  e.  T )
2723, 26jca 520 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( G  e.  T  /\  `' F  e.  T ) )
285necomd 2689 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( R `  G )  =/=  ( R `  F )
)
2911, 12, 13trlcnv 31036 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( R `  `' F )  =  ( R `  F ) )
3022, 24, 29syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( R `  `' F )  =  ( R `  F ) )
3128, 30neeqtrrd 2627 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( R `  G )  =/=  ( R `  `' F
) )
3210, 11, 12, 13trlcoat 31594 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( G  e.  T  /\  `' F  e.  T )  /\  ( R `  G )  =/=  ( R `  `' F ) )  -> 
( R `  ( G  o.  `' F
) )  e.  A
)
3322, 27, 31, 32syl3anc 1185 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( R `  ( G  o.  `' F ) )  e.  A )
346, 10atbase 30161 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R `  ( G  o.  `' F ) )  e.  A  -> 
( R `  ( G  o.  `' F
) )  e.  B
)
3533, 34syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( R `  ( G  o.  `' F ) )  e.  B )
36 eqid 2438 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0.
`  K )  =  ( 0. `  K
)
376, 8, 36olj02 30098 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  OL  /\  ( R `  ( G  o.  `' F ) )  e.  B )  ->  ( ( 0.
`  K )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  =  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )
3820, 35, 37syl2anc 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( ( 0.
`  K )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  =  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )
3917, 38sylan9eqr 2492 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  /\  S  =  ( 0. `  K ) )  ->  ( S  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F
) ) )  =  ( R `  ( G  o.  `' F
) ) )
4011, 12ltrnco 31590 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T  /\  `' F  e.  T
)  ->  ( G  o.  `' F )  e.  T
)
4122, 23, 26, 40syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( G  o.  `' F )  e.  T
)
427, 11, 12, 13trlle 31055 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( G  o.  `' F )  e.  T
)  ->  ( R `  ( G  o.  `' F ) )  .<_  W )
4322, 41, 42syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( R `  ( G  o.  `' F ) )  .<_  W )
44 simp22r 1078 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  -.  Q  .<_  W )
45 nbrne2 4233 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R `  ( G  o.  `' F
) )  .<_  W  /\  -.  Q  .<_  W )  ->  ( R `  ( G  o.  `' F ) )  =/= 
Q )
4645necomd 2689 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R `  ( G  o.  `' F
) )  .<_  W  /\  -.  Q  .<_  W )  ->  Q  =/=  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )
4743, 44, 46syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  Q  =/=  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )
48 eqid 2438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( LLines `  K )  =  (
LLines `  K )
498, 10, 48llni2 30383 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A  /\  ( R `  ( G  o.  `' F ) )  e.  A )  /\  Q  =/=  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  ->  ( Q  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  e.  (
LLines `  K ) )
5018, 3, 33, 47, 49syl31anc 1188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( Q  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  e.  (
LLines `  K ) )
5110, 48llnneat 30385 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( Q  .\/  ( R `
 ( G  o.  `' F ) ) )  e.  ( LLines `  K
) )  ->  -.  ( Q  .\/  ( R `
 ( G  o.  `' F ) ) )  e.  A )
5218, 50, 51syl2anc 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  -.  ( Q  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F
) ) )  e.  A )
53 nelne2 2696 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R `  ( G  o.  `' F
) )  e.  A  /\  -.  ( Q  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  e.  A
)  ->  ( R `  ( G  o.  `' F ) )  =/=  ( Q  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) )
5433, 52, 53syl2anc 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( R `  ( G  o.  `' F ) )  =/=  ( Q  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) )
5554adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  /\  S  =  ( 0. `  K ) )  ->  ( R `  ( G  o.  `' F ) )  =/=  ( Q  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) )
5639, 55eqnetrd 2621 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  /\  S  =  ( 0. `  K ) )  ->  ( S  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F
) ) )  =/=  ( Q  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) )
5756ex 425 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( S  =  ( 0. `  K
)  ->  ( S  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F
) ) )  =/=  ( Q  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) ) )
5857necon2d 2656 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( ( S 
.\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  =  ( Q  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  ->  S  =/=  ( 0. `  K
) ) )
5916, 58mpd 15 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  S  =/=  ( 0. `  K ) )
60 simp32 995 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  G  =/=  (  _I  |`  B ) )
616, 10, 11, 12, 13trlnidat 31044 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) )  ->  ( R `  G )  e.  A
)
6222, 23, 60, 61syl3anc 1185 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( R `  G )  e.  A
)
637, 8, 10hlatlej2 30247 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  ( R `  G )  e.  A )  -> 
( R `  G
)  .<_  ( P  .\/  ( R `  G ) ) )
6418, 2, 62, 63syl3anc 1185 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( R `  G )  .<_  ( P 
.\/  ( R `  G ) ) )
65 simp22 992 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )
66 simp31 994 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  F  =/=  (  _I  |`  B ) )
676, 11, 12ltrncnvnid 30998 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B ) )  ->  `' F  =/=  (  _I  |`  B ) )
6822, 24, 66, 67syl3anc 1185 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  `' F  =/=  (  _I  |`  B ) )
696, 11, 12, 13trlcone 31599 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( G  e.  T  /\  `' F  e.  T )  /\  (
( R `  G
)  =/=  ( R `
 `' F )  /\  `' F  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  ->  ( R `  G )  =/=  ( R `  ( G  o.  `' F
) ) )
7069necomd 2689 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( G  e.  T  /\  `' F  e.  T )  /\  (
( R `  G
)  =/=  ( R `
 `' F )  /\  `' F  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  ->  ( R `  ( G  o.  `' F ) )  =/=  ( R `  G
) )
7122, 23, 26, 31, 68, 70syl122anc 1194 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( R `  ( G  o.  `' F ) )  =/=  ( R `  G
) )
727, 11, 12, 13trlle 31055 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T
)  ->  ( R `  G )  .<_  W )
7322, 23, 72syl2anc 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( R `  G )  .<_  W )
747, 8, 10, 11lhp2atnle 30904 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R `  ( G  o.  `' F ) )  =/=  ( R `  G
) )  /\  (
( R `  ( G  o.  `' F
) )  e.  A  /\  ( R `  ( G  o.  `' F
) )  .<_  W )  /\  ( ( R `
 G )  e.  A  /\  ( R `
 G )  .<_  W ) )  ->  -.  ( R `  G
)  .<_  ( Q  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) )
7522, 65, 71, 33, 43, 62, 73, 74syl322anc 1213 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  -.  ( R `  G )  .<_  ( Q 
.\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) )
76 nbrne1 4232 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R `  G
)  .<_  ( P  .\/  ( R `  G ) )  /\  -.  ( R `  G )  .<_  ( Q  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) )  ->  ( P  .\/  ( R `  G
) )  =/=  ( Q  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) )
7764, 75, 76syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( P  .\/  ( R `  G ) )  =/=  ( Q 
.\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) )
788, 9, 36, 102atmat0 30397 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  ( R `  G )  e.  A )  /\  ( Q  e.  A  /\  ( R `  ( G  o.  `' F
) )  e.  A  /\  ( P  .\/  ( R `  G )
)  =/=  ( Q 
.\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) ) )  ->  (
( ( P  .\/  ( R `  G ) )  ./\  ( Q  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F
) ) ) )  e.  A  \/  (
( P  .\/  ( R `  G )
)  ./\  ( Q  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F
) ) ) )  =  ( 0. `  K ) ) )
7918, 2, 62, 3, 33, 77, 78syl33anc 1200 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( ( ( P  .\/  ( R `
 G ) ) 
./\  ( Q  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) )  e.  A  \/  ( ( P  .\/  ( R `
 G ) ) 
./\  ( Q  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) )  =  ( 0. `  K
) ) )
8014eleq1i 2501 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  A  <->  ( ( P  .\/  ( R `  G ) )  ./\  ( Q  .\/  ( R `
 ( G  o.  `' F ) ) ) )  e.  A )
8114eqeq1i 2445 . . . . . . 7  |-  ( S  =  ( 0. `  K )  <->  ( ( P  .\/  ( R `  G ) )  ./\  ( Q  .\/  ( R `
 ( G  o.  `' F ) ) ) )  =  ( 0.
`  K ) )
8280, 81orbi12i 509 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  A  \/  S  =  ( 0. `  K ) )  <->  ( (
( P  .\/  ( R `  G )
)  ./\  ( Q  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F
) ) ) )  e.  A  \/  (
( P  .\/  ( R `  G )
)  ./\  ( Q  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F
) ) ) )  =  ( 0. `  K ) ) )
8379, 82sylibr 205 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( S  e.  A  \/  S  =  ( 0. `  K
) ) )
8483ord 368 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( -.  S  e.  A  ->  S  =  ( 0. `  K
) ) )
8584necon1ad 2673 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( S  =/=  ( 0. `  K
)  ->  S  e.  A ) )
8659, 85mpd 15 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  S  e.  A
)
87 simp21 991 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
8887, 65jca 520 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) ) )
896, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 36cdlemh2 31687 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G )
) )  ->  ( S  ./\  W )  =  ( 0. `  K
) )
9088, 89syld3an2 1232 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( S  ./\  W )  =  ( 0.
`  K ) )
917, 9, 36, 10, 11lhpmatb 30902 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  A
)  ->  ( -.  S  .<_  W  <->  ( S  ./\ 
W )  =  ( 0. `  K ) ) )
9218, 21, 86, 91syl21anc 1184 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( -.  S  .<_  W  <->  ( S  ./\  W )  =  ( 0.
`  K ) ) )
9390, 92mpbird 225 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  -.  S  .<_  W )
9486, 93jca 520 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   class class class wbr 4215    _I cid 4496   `'ccnv 4880    |` cres 4883    o. ccom 4885   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   Basecbs 13474   lecple 13541   joincjn 14406   meetcmee 14407   0.cp0 14471   OLcol 30046   Atomscatm 30135   HLchlt 30222   LLinesclln 30362   LHypclh 30855   LTrncltrn 30972   trLctrl 31029
This theorem is referenced by:  cdlemi  31691  cdlemki  31712  cdlemksv2  31718  cdlemk16a  31727
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-undef 6546  df-riota 6552  df-map 7023  df-poset 14408  df-plt 14420  df-lub 14436  df-glb 14437  df-join 14438  df-meet 14439  df-p0 14473  df-p1 14474  df-lat 14480  df-clat 14542  df-oposet 30048  df-ol 30050  df-oml 30051  df-covers 30138  df-ats 30139  df-atl 30170  df-cvlat 30194  df-hlat 30223  df-llines 30369  df-lplanes 30370  df-lvols 30371  df-lines 30372  df-psubsp 30374  df-pmap 30375  df-padd 30667  df-lhyp 30859  df-laut 30860  df-ldil 30975  df-ltrn 30976  df-trl 31030
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