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Theorem cdlemk2 31566
Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118. (Contributed by NM, 22-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemk.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cdlemk.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdlemk.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdlemk.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdlemk.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdlemk.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
cdlemk.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
cdlemk2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( G `  P )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F
) ) )  =  ( ( F `  P )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) )

Proof of Theorem cdlemk2
StepHypRef Expression
1 simp1 957 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 simp2r 984 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  G  e.  T )
3 simp2l 983 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  F  e.  T )
4 cdlemk.h . . . . . 6  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
5 cdlemk.t . . . . . 6  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
64, 5ltrncnv 30880 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  `' F  e.  T )
71, 3, 6syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  `' F  e.  T )
84, 5ltrnco 31453 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T  /\  `' F  e.  T
)  ->  ( G  o.  `' F )  e.  T
)
91, 2, 7, 8syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( G  o.  `' F )  e.  T
)
10 cdlemk.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  K )
11 cdlemk.a . . . . 5  |-  A  =  ( Atoms `  K )
1210, 11, 4, 5ltrnel 30873 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( F `  P )  e.  A  /\  -.  ( F `  P )  .<_  W ) )
13123adant2r 1179 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( F `  P )  e.  A  /\  -.  ( F `  P )  .<_  W ) )
14 cdlemk.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
15 cdlemk.r . . . 4  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
1610, 14, 11, 4, 5, 15trljat3 30902 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( G  o.  `' F )  e.  T  /\  ( ( F `  P )  e.  A  /\  -.  ( F `  P )  .<_  W ) )  ->  ( ( F `  P )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F
) ) )  =  ( ( ( G  o.  `' F ) `
 ( F `  P ) )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) )
171, 9, 13, 16syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( F `  P )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F
) ) )  =  ( ( ( G  o.  `' F ) `
 ( F `  P ) )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) )
18 simp3l 985 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  P  e.  A )
1910, 11, 4, 5ltrncoval 30879 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( G  o.  `' F )  e.  T  /\  F  e.  T )  /\  P  e.  A )  ->  (
( ( G  o.  `' F )  o.  F
) `  P )  =  ( ( G  o.  `' F ) `
 ( F `  P ) ) )
201, 9, 3, 18, 19syl121anc 1189 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( (
( G  o.  `' F )  o.  F
) `  P )  =  ( ( G  o.  `' F ) `
 ( F `  P ) ) )
21 coass 5380 . . . . . 6  |-  ( ( G  o.  `' F
)  o.  F )  =  ( G  o.  ( `' F  o.  F
) )
22 cdlemk.b . . . . . . . . . . 11  |-  B  =  ( Base `  K
)
2322, 4, 5ltrn1o 30858 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  F : B
-1-1-onto-> B )
241, 3, 23syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  F : B
-1-1-onto-> B )
25 f1ococnv1 5696 . . . . . . . . 9  |-  ( F : B -1-1-onto-> B  ->  ( `' F  o.  F )  =  (  _I  |`  B ) )
2624, 25syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( `' F  o.  F )  =  (  _I  |`  B ) )
2726coeq2d 5027 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( G  o.  ( `' F  o.  F ) )  =  ( G  o.  (  _I  |`  B ) ) )
2822, 4, 5ltrn1o 30858 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T
)  ->  G : B
-1-1-onto-> B )
291, 2, 28syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  G : B
-1-1-onto-> B )
30 f1of 5666 . . . . . . . 8  |-  ( G : B -1-1-onto-> B  ->  G : B
--> B )
31 fcoi1 5609 . . . . . . . 8  |-  ( G : B --> B  -> 
( G  o.  (  _I  |`  B ) )  =  G )
3229, 30, 313syl 19 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( G  o.  (  _I  |`  B ) )  =  G )
3327, 32eqtrd 2467 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( G  o.  ( `' F  o.  F ) )  =  G )
3421, 33syl5eq 2479 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( G  o.  `' F
)  o.  F )  =  G )
3534fveq1d 5722 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( (
( G  o.  `' F )  o.  F
) `  P )  =  ( G `  P ) )
3620, 35eqtr3d 2469 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( G  o.  `' F
) `  ( F `  P ) )  =  ( G `  P
) )
3736oveq1d 6088 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( (
( G  o.  `' F ) `  ( F `  P )
)  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  =  ( ( G `
 P )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) )
3817, 37eqtr2d 2468 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( G `  P )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F
) ) )  =  ( ( F `  P )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   class class class wbr 4204    _I cid 4485   `'ccnv 4869    |` cres 4872    o. ccom 4874   -->wf 5442   -1-1-onto->wf1o 5445   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Basecbs 13461   lecple 13528   joincjn 14393   Atomscatm 29998   HLchlt 30085   LHypclh 30718   LTrncltrn 30835   trLctrl 30892
This theorem is referenced by:  cdlemk5  31570  cdlemk5u  31595
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-undef 6535  df-riota 6541  df-map 7012  df-poset 14395  df-plt 14407  df-lub 14423  df-glb 14424  df-join 14425  df-meet 14426  df-p0 14460  df-p1 14461  df-lat 14467  df-clat 14529  df-oposet 29911  df-ol 29913  df-oml 29914  df-covers 30001  df-ats 30002  df-atl 30033  df-cvlat 30057  df-hlat 30086  df-llines 30232  df-lplanes 30233  df-lvols 30234  df-lines 30235  df-psubsp 30237  df-pmap 30238  df-padd 30530  df-lhyp 30722  df-laut 30723  df-ldil 30838  df-ltrn 30839  df-trl 30893
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