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Theorem cdlemk4 31645
Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118, last line. We use  X for their h, since  H is already used. (Contributed by NM, 24-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemk.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cdlemk.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdlemk.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdlemk.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdlemk.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdlemk.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
cdlemk.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
cdlemk.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
Assertion
Ref Expression
cdlemk4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( F `  P )  .<_  ( ( X `  P ) 
.\/  ( R `  ( X  o.  `' F ) ) ) )

Proof of Theorem cdlemk4
StepHypRef Expression
1 simp1l 979 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  K  e.  HL )
2 simp1 955 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
3 simp2l 981 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  F  e.  T )
4 simp3l 983 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  P  e.  A )
5 cdlemk.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  K )
6 cdlemk.a . . . . 5  |-  A  =  ( Atoms `  K )
7 cdlemk.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
8 cdlemk.t . . . . 5  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
95, 6, 7, 8ltrnat 30951 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  P  e.  A
)  ->  ( F `  P )  e.  A
)
102, 3, 4, 9syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( F `  P )  e.  A
)
11 simp2r 982 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  X  e.  T )
125, 6, 7, 8ltrnat 30951 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  T  /\  P  e.  A
)  ->  ( X `  P )  e.  A
)
132, 11, 4, 12syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( X `  P )  e.  A
)
14 cdlemk.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
155, 14, 6hlatlej1 30186 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( F `  P )  e.  A  /\  ( X `  P )  e.  A )  ->  ( F `  P )  .<_  ( ( F `  P )  .\/  ( X `  P )
) )
161, 10, 13, 15syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( F `  P )  .<_  ( ( F `  P ) 
.\/  ( X `  P ) ) )
17 hllat 30175 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
181, 17syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  K  e.  Lat )
19 cdlemk.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  K
)
2019, 6atbase 30101 . . . . . 6  |-  ( ( F `  P )  e.  A  ->  ( F `  P )  e.  B )
2110, 20syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( F `  P )  e.  B
)
2219, 6atbase 30101 . . . . . 6  |-  ( ( X `  P )  e.  A  ->  ( X `  P )  e.  B )
2313, 22syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( X `  P )  e.  B
)
2419, 14latjcl 14172 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F `  P )  e.  B  /\  ( X `  P )  e.  B )  ->  (
( F `  P
)  .\/  ( X `  P ) )  e.  B )
2518, 21, 23, 24syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( F `  P )  .\/  ( X `  P
) )  e.  B
)
26 simp1r 980 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  W  e.  H )
2719, 7lhpbase 30809 . . . . 5  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  B )
2826, 27syl 15 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  W  e.  B )
295, 14, 6hlatlej2 30187 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( F `  P )  e.  A  /\  ( X `  P )  e.  A )  ->  ( X `  P )  .<_  ( ( F `  P )  .\/  ( X `  P )
) )
301, 10, 13, 29syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( X `  P )  .<_  ( ( F `  P ) 
.\/  ( X `  P ) ) )
31 cdlemk.m . . . . 5  |-  ./\  =  ( meet `  K )
3219, 5, 14, 31, 6atmod3i1 30675 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( X `  P )  e.  A  /\  ( ( F `  P )  .\/  ( X `  P )
)  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  ( X `  P
)  .<_  ( ( F `
 P )  .\/  ( X `  P ) ) )  ->  (
( X `  P
)  .\/  ( (
( F `  P
)  .\/  ( X `  P ) )  ./\  W ) )  =  ( ( ( F `  P )  .\/  ( X `  P )
)  ./\  ( ( X `  P )  .\/  W ) ) )
331, 13, 25, 28, 30, 32syl131anc 1195 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( X `  P )  .\/  ( ( ( F `
 P )  .\/  ( X `  P ) )  ./\  W )
)  =  ( ( ( F `  P
)  .\/  ( X `  P ) )  ./\  ( ( X `  P )  .\/  W
) ) )
347, 8ltrncnv 30957 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  `' F  e.  T )
352, 3, 34syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  `' F  e.  T )
367, 8ltrnco 31530 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  T  /\  `' F  e.  T
)  ->  ( X  o.  `' F )  e.  T
)
372, 11, 35, 36syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( X  o.  `' F )  e.  T
)
385, 6, 7, 8ltrnel 30950 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( F `  P )  e.  A  /\  -.  ( F `  P )  .<_  W ) )
393, 38syld3an2 1229 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( F `  P )  e.  A  /\  -.  ( F `  P )  .<_  W ) )
40 cdlemk.r . . . . . . 7  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
415, 14, 31, 6, 7, 8, 40trlval2 30974 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  o.  `' F )  e.  T  /\  ( ( F `  P )  e.  A  /\  -.  ( F `  P )  .<_  W ) )  ->  ( R `  ( X  o.  `' F ) )  =  ( ( ( F `
 P )  .\/  ( ( X  o.  `' F ) `  ( F `  P )
) )  ./\  W
) )
422, 37, 39, 41syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( R `  ( X  o.  `' F ) )  =  ( ( ( F `
 P )  .\/  ( ( X  o.  `' F ) `  ( F `  P )
) )  ./\  W
) )
4319, 7, 8ltrn1o 30935 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  F : B
-1-1-onto-> B )
442, 3, 43syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  F : B
-1-1-onto-> B )
45 f1ococnv1 5518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : B -1-1-onto-> B  ->  ( `' F  o.  F )  =  (  _I  |`  B ) )
4644, 45syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( `' F  o.  F )  =  (  _I  |`  B ) )
4746coeq2d 4862 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( X  o.  ( `' F  o.  F ) )  =  ( X  o.  (  _I  |`  B ) ) )
4819, 7, 8ltrn1o 30935 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  T
)  ->  X : B
-1-1-onto-> B )
492, 11, 48syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  X : B
-1-1-onto-> B )
50 f1of 5488 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X : B -1-1-onto-> B  ->  X : B
--> B )
51 fcoi1 5431 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X : B --> B  -> 
( X  o.  (  _I  |`  B ) )  =  X )
5249, 50, 513syl 18 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( X  o.  (  _I  |`  B ) )  =  X )
5347, 52eqtr2d 2329 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  X  =  ( X  o.  ( `' F  o.  F
) ) )
54 coass 5207 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  o.  `' F
)  o.  F )  =  ( X  o.  ( `' F  o.  F
) )
5553, 54syl6eqr 2346 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  X  =  ( ( X  o.  `' F )  o.  F
) )
5655fveq1d 5543 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( X `  P )  =  ( ( ( X  o.  `' F )  o.  F
) `  P )
)
575, 6, 7, 8ltrncoval 30956 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( X  o.  `' F )  e.  T  /\  F  e.  T )  /\  P  e.  A )  ->  (
( ( X  o.  `' F )  o.  F
) `  P )  =  ( ( X  o.  `' F ) `
 ( F `  P ) ) )
582, 37, 3, 4, 57syl121anc 1187 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( (
( X  o.  `' F )  o.  F
) `  P )  =  ( ( X  o.  `' F ) `
 ( F `  P ) ) )
5956, 58eqtrd 2328 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( X `  P )  =  ( ( X  o.  `' F ) `  ( F `  P )
) )
6059oveq2d 5890 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( F `  P )  .\/  ( X `  P
) )  =  ( ( F `  P
)  .\/  ( ( X  o.  `' F
) `  ( F `  P ) ) ) )
6160eqcomd 2301 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( F `  P )  .\/  ( ( X  o.  `' F ) `  ( F `  P )
) )  =  ( ( F `  P
)  .\/  ( X `  P ) ) )
6261oveq1d 5889 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( (
( F `  P
)  .\/  ( ( X  o.  `' F
) `  ( F `  P ) ) ) 
./\  W )  =  ( ( ( F `
 P )  .\/  ( X `  P ) )  ./\  W )
)
6342, 62eqtrd 2328 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( R `  ( X  o.  `' F ) )  =  ( ( ( F `
 P )  .\/  ( X `  P ) )  ./\  W )
)
6463oveq2d 5890 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( X `  P )  .\/  ( R `  ( X  o.  `' F
) ) )  =  ( ( X `  P )  .\/  (
( ( F `  P )  .\/  ( X `  P )
)  ./\  W )
) )
655, 6, 7, 8ltrnel 30950 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( X `  P )  e.  A  /\  -.  ( X `  P )  .<_  W ) )
6611, 65syld3an2 1229 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( X `  P )  e.  A  /\  -.  ( X `  P )  .<_  W ) )
67 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( 1.
`  K )  =  ( 1. `  K
)
685, 14, 67, 6, 7lhpjat2 30832 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( X `
 P )  e.  A  /\  -.  ( X `  P )  .<_  W ) )  -> 
( ( X `  P )  .\/  W
)  =  ( 1.
`  K ) )
692, 66, 68syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( X `  P )  .\/  W )  =  ( 1. `  K ) )
7069oveq2d 5890 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( (
( F `  P
)  .\/  ( X `  P ) )  ./\  ( ( X `  P )  .\/  W
) )  =  ( ( ( F `  P )  .\/  ( X `  P )
)  ./\  ( 1. `  K ) ) )
71 hlol 30173 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OL )
721, 71syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  K  e.  OL )
7319, 31, 67olm11 30039 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OL  /\  ( ( F `  P )  .\/  ( X `  P )
)  e.  B )  ->  ( ( ( F `  P ) 
.\/  ( X `  P ) )  ./\  ( 1. `  K ) )  =  ( ( F `  P ) 
.\/  ( X `  P ) ) )
7472, 25, 73syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( (
( F `  P
)  .\/  ( X `  P ) )  ./\  ( 1. `  K ) )  =  ( ( F `  P ) 
.\/  ( X `  P ) ) )
7570, 74eqtr2d 2329 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( F `  P )  .\/  ( X `  P
) )  =  ( ( ( F `  P )  .\/  ( X `  P )
)  ./\  ( ( X `  P )  .\/  W ) ) )
7633, 64, 753eqtr4rd 2339 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( F `  P )  .\/  ( X `  P
) )  =  ( ( X `  P
)  .\/  ( R `  ( X  o.  `' F ) ) ) )
7716, 76breqtrd 4063 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( F `  P )  .<_  ( ( X `  P ) 
.\/  ( R `  ( X  o.  `' F ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   class class class wbr 4039    _I cid 4320   `'ccnv 4704    |` cres 4707    o. ccom 4709   -->wf 5267   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   lecple 13231   joincjn 14094   meetcmee 14095   1.cp1 14160   Latclat 14167   OLcol 29986   Atomscatm 30075   HLchlt 30162   LHypclh 30795   LTrncltrn 30912   trLctrl 30969
This theorem is referenced by:  cdlemk5a  31646
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-undef 6314  df-riota 6320  df-map 6790  df-poset 14096  df-plt 14108  df-lub 14124  df-glb 14125  df-join 14126  df-meet 14127  df-p0 14161  df-p1 14162  df-lat 14168  df-clat 14230  df-oposet 29988  df-ol 29990  df-oml 29991  df-covers 30078  df-ats 30079  df-atl 30110  df-cvlat 30134  df-hlat 30163  df-llines 30309  df-lplanes 30310  df-lvols 30311  df-lines 30312  df-psubsp 30314  df-pmap 30315  df-padd 30607  df-lhyp 30799  df-laut 30800  df-ldil 30915  df-ltrn 30916  df-trl 30970
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