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Theorem cdlemkid1 31111
Description: Lemma for cdlemkid 31125. (Contributed by NM, 24-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemk5.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cdlemk5.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdlemk5.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdlemk5.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdlemk5.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdlemk5.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdlemk5.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
cdlemk5.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
cdlemk5.z  |-  Z  =  ( ( P  .\/  ( R `  b ) )  ./\  ( ( N `  P )  .\/  ( R `  (
b  o.  `' F
) ) ) )
Assertion
Ref Expression
cdlemkid1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  -> 
( Z  .\/  ( R `  b )
)  =  ( P 
.\/  ( R `  b ) ) )

Proof of Theorem cdlemkid1
StepHypRef Expression
1 cdlemk5.z . . 3  |-  Z  =  ( ( P  .\/  ( R `  b ) )  ./\  ( ( N `  P )  .\/  ( R `  (
b  o.  `' F
) ) ) )
21oveq1i 5868 . 2  |-  ( Z 
.\/  ( R `  b ) )  =  ( ( ( P 
.\/  ( R `  b ) )  ./\  ( ( N `  P )  .\/  ( R `  ( b  o.  `' F ) ) ) )  .\/  ( R `
 b ) )
3 simp1l 979 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  ->  K  e.  HL )
4 simp1 955 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
5 simp3rl 1028 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  -> 
b  e.  T )
6 simp3rr 1029 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  -> 
b  =/=  (  _I  |`  B ) )
7 cdlemk5.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  K
)
8 cdlemk5.a . . . . . 6  |-  A  =  ( Atoms `  K )
9 cdlemk5.h . . . . . 6  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
10 cdlemk5.t . . . . . 6  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
11 cdlemk5.r . . . . . 6  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
127, 8, 9, 10, 11trlnidat 30362 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) )  ->  ( R `  b )  e.  A
)
134, 5, 6, 12syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  -> 
( R `  b
)  e.  A )
14 simp3ll 1026 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  ->  P  e.  A )
15 cdlemk5.j . . . . . 6  |-  .\/  =  ( join `  K )
167, 15, 8hlatjcl 29556 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  ( R `  b )  e.  A )  -> 
( P  .\/  ( R `  b )
)  e.  B )
173, 14, 13, 16syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  -> 
( P  .\/  ( R `  b )
)  e.  B )
18 hllat 29553 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
193, 18syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  ->  K  e.  Lat )
20 simp22 989 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  ->  N  e.  T )
217, 8atbase 29479 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  B )
2214, 21syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  ->  P  e.  B )
237, 9, 10ltrncl 30314 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  N  e.  T  /\  P  e.  B
)  ->  ( N `  P )  e.  B
)
244, 20, 22, 23syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  -> 
( N `  P
)  e.  B )
25 simp21 988 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  ->  F  e.  T )
269, 10ltrncnv 30335 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  `' F  e.  T )
274, 25, 26syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  ->  `' F  e.  T
)
289, 10ltrnco 30908 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  b  e.  T  /\  `' F  e.  T
)  ->  ( b  o.  `' F )  e.  T
)
294, 5, 27, 28syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  -> 
( b  o.  `' F )  e.  T
)
307, 9, 10, 11trlcl 30353 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( b  o.  `' F )  e.  T
)  ->  ( R `  ( b  o.  `' F ) )  e.  B )
314, 29, 30syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  -> 
( R `  (
b  o.  `' F
) )  e.  B
)
327, 15latjcl 14156 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( N `  P )  e.  B  /\  ( R `  ( b  o.  `' F ) )  e.  B )  ->  (
( N `  P
)  .\/  ( R `  ( b  o.  `' F ) ) )  e.  B )
3319, 24, 31, 32syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  -> 
( ( N `  P )  .\/  ( R `  ( b  o.  `' F ) ) )  e.  B )
34 cdlemk5.l . . . . . 6  |-  .<_  =  ( le `  K )
3534, 15, 8hlatlej2 29565 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  ( R `  b )  e.  A )  -> 
( R `  b
)  .<_  ( P  .\/  ( R `  b ) ) )
363, 14, 13, 35syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  -> 
( R `  b
)  .<_  ( P  .\/  ( R `  b ) ) )
37 cdlemk5.m . . . . 5  |-  ./\  =  ( meet `  K )
387, 34, 15, 37, 8atmod2i1 30050 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( R `  b )  e.  A  /\  ( P  .\/  ( R `  b )
)  e.  B  /\  ( ( N `  P )  .\/  ( R `  ( b  o.  `' F ) ) )  e.  B )  /\  ( R `  b ) 
.<_  ( P  .\/  ( R `  b )
) )  ->  (
( ( P  .\/  ( R `  b ) )  ./\  ( ( N `  P )  .\/  ( R `  (
b  o.  `' F
) ) ) ) 
.\/  ( R `  b ) )  =  ( ( P  .\/  ( R `  b ) )  ./\  ( (
( N `  P
)  .\/  ( R `  ( b  o.  `' F ) ) ) 
.\/  ( R `  b ) ) ) )
393, 13, 17, 33, 36, 38syl131anc 1195 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  -> 
( ( ( P 
.\/  ( R `  b ) )  ./\  ( ( N `  P )  .\/  ( R `  ( b  o.  `' F ) ) ) )  .\/  ( R `
 b ) )  =  ( ( P 
.\/  ( R `  b ) )  ./\  ( ( ( N `
 P )  .\/  ( R `  ( b  o.  `' F ) ) )  .\/  ( R `  b )
) ) )
407, 8atbase 29479 . . . . . . . 8  |-  ( ( R `  b )  e.  A  ->  ( R `  b )  e.  B )
4113, 40syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  -> 
( R `  b
)  e.  B )
427, 9, 10, 11trlcl 30353 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  N  e.  T
)  ->  ( R `  N )  e.  B
)
434, 20, 42syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  -> 
( R `  N
)  e.  B )
447, 15latj32 14203 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  e.  B  /\  ( R `  b
)  e.  B  /\  ( R `  N )  e.  B ) )  ->  ( ( P 
.\/  ( R `  b ) )  .\/  ( R `  N ) )  =  ( ( P  .\/  ( R `
 N ) ) 
.\/  ( R `  b ) ) )
4519, 22, 41, 43, 44syl13anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  -> 
( ( P  .\/  ( R `  b ) )  .\/  ( R `
 N ) )  =  ( ( P 
.\/  ( R `  N ) )  .\/  ( R `  b ) ) )
46 simp3l 983 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  -> 
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
4734, 15, 8, 9, 10, 11trljat3 30357 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  N  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( P  .\/  ( R `  N
) )  =  ( ( N `  P
)  .\/  ( R `  N ) ) )
484, 20, 46, 47syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  -> 
( P  .\/  ( R `  N )
)  =  ( ( N `  P ) 
.\/  ( R `  N ) ) )
4948oveq1d 5873 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  -> 
( ( P  .\/  ( R `  N ) )  .\/  ( R `
 b ) )  =  ( ( ( N `  P ) 
.\/  ( R `  N ) )  .\/  ( R `  b ) ) )
507, 15latjass 14201 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( N `  P )  e.  B  /\  ( R `  N
)  e.  B  /\  ( R `  b )  e.  B ) )  ->  ( ( ( N `  P ) 
.\/  ( R `  N ) )  .\/  ( R `  b ) )  =  ( ( N `  P ) 
.\/  ( ( R `
 N )  .\/  ( R `  b ) ) ) )
5119, 24, 43, 41, 50syl13anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  -> 
( ( ( N `
 P )  .\/  ( R `  N ) )  .\/  ( R `
 b ) )  =  ( ( N `
 P )  .\/  ( ( R `  N )  .\/  ( R `  b )
) ) )
5245, 49, 513eqtrd 2319 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  -> 
( ( P  .\/  ( R `  b ) )  .\/  ( R `
 N ) )  =  ( ( N `
 P )  .\/  ( ( R `  N )  .\/  ( R `  b )
) ) )
537, 15latjass 14201 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( N `  P )  e.  B  /\  ( R `  (
b  o.  `' F
) )  e.  B  /\  ( R `  b
)  e.  B ) )  ->  ( (
( N `  P
)  .\/  ( R `  ( b  o.  `' F ) ) ) 
.\/  ( R `  b ) )  =  ( ( N `  P )  .\/  (
( R `  (
b  o.  `' F
) )  .\/  ( R `  b )
) ) )
5419, 24, 31, 41, 53syl13anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  -> 
( ( ( N `
 P )  .\/  ( R `  ( b  o.  `' F ) ) )  .\/  ( R `  b )
)  =  ( ( N `  P ) 
.\/  ( ( R `
 ( b  o.  `' F ) )  .\/  ( R `  b ) ) ) )
557, 15latjcom 14165 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( R `  N )  e.  B  /\  ( R `  b )  e.  B )  ->  (
( R `  N
)  .\/  ( R `  b ) )  =  ( ( R `  b )  .\/  ( R `  N )
) )
5619, 43, 41, 55syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  -> 
( ( R `  N )  .\/  ( R `  b )
)  =  ( ( R `  b ) 
.\/  ( R `  N ) ) )
579, 10, 11trlcnv 30354 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( R `  `' F )  =  ( R `  F ) )
584, 25, 57syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  -> 
( R `  `' F )  =  ( R `  F ) )
59 simp23 990 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  -> 
( R `  F
)  =  ( R `
 N ) )
6058, 59eqtrd 2315 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  -> 
( R `  `' F )  =  ( R `  N ) )
6160oveq2d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  -> 
( ( R `  b )  .\/  ( R `  `' F
) )  =  ( ( R `  b
)  .\/  ( R `  N ) ) )
6256, 61eqtr4d 2318 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  -> 
( ( R `  N )  .\/  ( R `  b )
)  =  ( ( R `  b ) 
.\/  ( R `  `' F ) ) )
6315, 9, 10, 11trljco 30929 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  b  e.  T  /\  `' F  e.  T
)  ->  ( ( R `  b )  .\/  ( R `  (
b  o.  `' F
) ) )  =  ( ( R `  b )  .\/  ( R `  `' F
) ) )
644, 5, 27, 63syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  -> 
( ( R `  b )  .\/  ( R `  ( b  o.  `' F ) ) )  =  ( ( R `
 b )  .\/  ( R `  `' F
) ) )
657, 15latjcom 14165 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( R `  b )  e.  B  /\  ( R `  ( b  o.  `' F ) )  e.  B )  ->  (
( R `  b
)  .\/  ( R `  ( b  o.  `' F ) ) )  =  ( ( R `
 ( b  o.  `' F ) )  .\/  ( R `  b ) ) )
6619, 41, 31, 65syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  -> 
( ( R `  b )  .\/  ( R `  ( b  o.  `' F ) ) )  =  ( ( R `
 ( b  o.  `' F ) )  .\/  ( R `  b ) ) )
6762, 64, 663eqtr2d 2321 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  -> 
( ( R `  N )  .\/  ( R `  b )
)  =  ( ( R `  ( b  o.  `' F ) )  .\/  ( R `
 b ) ) )
6867oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  -> 
( ( N `  P )  .\/  (
( R `  N
)  .\/  ( R `  b ) ) )  =  ( ( N `
 P )  .\/  ( ( R `  ( b  o.  `' F ) )  .\/  ( R `  b ) ) ) )
6954, 68eqtr4d 2318 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  -> 
( ( ( N `
 P )  .\/  ( R `  ( b  o.  `' F ) ) )  .\/  ( R `  b )
)  =  ( ( N `  P ) 
.\/  ( ( R `
 N )  .\/  ( R `  b ) ) ) )
7052, 69eqtr4d 2318 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  -> 
( ( P  .\/  ( R `  b ) )  .\/  ( R `
 N ) )  =  ( ( ( N `  P ) 
.\/  ( R `  ( b  o.  `' F ) ) ) 
.\/  ( R `  b ) ) )
7170oveq2d 5874 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  -> 
( ( P  .\/  ( R `  b ) )  ./\  ( ( P  .\/  ( R `  b ) )  .\/  ( R `  N ) ) )  =  ( ( P  .\/  ( R `  b )
)  ./\  ( (
( N `  P
)  .\/  ( R `  ( b  o.  `' F ) ) ) 
.\/  ( R `  b ) ) ) )
727, 15, 37latabs2 14194 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  .\/  ( R `
 b ) )  e.  B  /\  ( R `  N )  e.  B )  ->  (
( P  .\/  ( R `  b )
)  ./\  ( ( P  .\/  ( R `  b ) )  .\/  ( R `  N ) ) )  =  ( P  .\/  ( R `
 b ) ) )
7319, 17, 43, 72syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  -> 
( ( P  .\/  ( R `  b ) )  ./\  ( ( P  .\/  ( R `  b ) )  .\/  ( R `  N ) ) )  =  ( P  .\/  ( R `
 b ) ) )
7439, 71, 733eqtr2d 2321 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  -> 
( ( ( P 
.\/  ( R `  b ) )  ./\  ( ( N `  P )  .\/  ( R `  ( b  o.  `' F ) ) ) )  .\/  ( R `
 b ) )  =  ( P  .\/  ( R `  b ) ) )
752, 74syl5eq 2327 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  -> 
( Z  .\/  ( R `  b )
)  =  ( P 
.\/  ( R `  b ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   class class class wbr 4023    _I cid 4304   `'ccnv 4688    |` cres 4691    o. ccom 4693   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   lecple 13215   joincjn 14078   meetcmee 14079   Latclat 14151   Atomscatm 29453   HLchlt 29540   LHypclh 30173   LTrncltrn 30290   trLctrl 30347
This theorem is referenced by:  cdlemkid2  31113
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-undef 6298  df-riota 6304  df-map 6774  df-poset 14080  df-plt 14092  df-lub 14108  df-glb 14109  df-join 14110  df-meet 14111  df-p0 14145  df-p1 14146  df-lat 14152  df-clat 14214  df-oposet 29366  df-ol 29368  df-oml 29369  df-covers 29456  df-ats 29457  df-atl 29488  df-cvlat 29512  df-hlat 29541  df-llines 29687  df-lplanes 29688  df-lvols 29689  df-lines 29690  df-psubsp 29692  df-pmap 29693  df-padd 29985  df-lhyp 30177  df-laut 30178  df-ldil 30293  df-ltrn 30294  df-trl 30348
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