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Theorem cdlemkid1 31793
Description: Lemma for cdlemkid 31807. (Contributed by NM, 24-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemk5.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cdlemk5.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdlemk5.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdlemk5.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdlemk5.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdlemk5.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdlemk5.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
cdlemk5.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
cdlemk5.z  |-  Z  =  ( ( P  .\/  ( R `  b ) )  ./\  ( ( N `  P )  .\/  ( R `  (
b  o.  `' F
) ) ) )
Assertion
Ref Expression
cdlemkid1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  -> 
( Z  .\/  ( R `  b )
)  =  ( P 
.\/  ( R `  b ) ) )

Proof of Theorem cdlemkid1
StepHypRef Expression
1 cdlemk5.z . . 3  |-  Z  =  ( ( P  .\/  ( R `  b ) )  ./\  ( ( N `  P )  .\/  ( R `  (
b  o.  `' F
) ) ) )
21oveq1i 6094 . 2  |-  ( Z 
.\/  ( R `  b ) )  =  ( ( ( P 
.\/  ( R `  b ) )  ./\  ( ( N `  P )  .\/  ( R `  ( b  o.  `' F ) ) ) )  .\/  ( R `
 b ) )
3 simp1l 982 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  ->  K  e.  HL )
4 simp1 958 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
5 simp3rl 1031 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  -> 
b  e.  T )
6 simp3rr 1032 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  -> 
b  =/=  (  _I  |`  B ) )
7 cdlemk5.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  K
)
8 cdlemk5.a . . . . . 6  |-  A  =  ( Atoms `  K )
9 cdlemk5.h . . . . . 6  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
10 cdlemk5.t . . . . . 6  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
11 cdlemk5.r . . . . . 6  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
127, 8, 9, 10, 11trlnidat 31044 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) )  ->  ( R `  b )  e.  A
)
134, 5, 6, 12syl3anc 1185 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  -> 
( R `  b
)  e.  A )
14 simp3ll 1029 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  ->  P  e.  A )
15 cdlemk5.j . . . . . 6  |-  .\/  =  ( join `  K )
167, 15, 8hlatjcl 30238 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  ( R `  b )  e.  A )  -> 
( P  .\/  ( R `  b )
)  e.  B )
173, 14, 13, 16syl3anc 1185 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  -> 
( P  .\/  ( R `  b )
)  e.  B )
18 hllat 30235 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
193, 18syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  ->  K  e.  Lat )
20 simp22 992 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  ->  N  e.  T )
217, 8atbase 30161 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  B )
2214, 21syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  ->  P  e.  B )
237, 9, 10ltrncl 30996 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  N  e.  T  /\  P  e.  B
)  ->  ( N `  P )  e.  B
)
244, 20, 22, 23syl3anc 1185 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  -> 
( N `  P
)  e.  B )
25 simp21 991 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  ->  F  e.  T )
269, 10ltrncnv 31017 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  `' F  e.  T )
274, 25, 26syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  ->  `' F  e.  T
)
289, 10ltrnco 31590 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  b  e.  T  /\  `' F  e.  T
)  ->  ( b  o.  `' F )  e.  T
)
294, 5, 27, 28syl3anc 1185 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  -> 
( b  o.  `' F )  e.  T
)
307, 9, 10, 11trlcl 31035 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( b  o.  `' F )  e.  T
)  ->  ( R `  ( b  o.  `' F ) )  e.  B )
314, 29, 30syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  -> 
( R `  (
b  o.  `' F
) )  e.  B
)
327, 15latjcl 14484 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( N `  P )  e.  B  /\  ( R `  ( b  o.  `' F ) )  e.  B )  ->  (
( N `  P
)  .\/  ( R `  ( b  o.  `' F ) ) )  e.  B )
3319, 24, 31, 32syl3anc 1185 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  -> 
( ( N `  P )  .\/  ( R `  ( b  o.  `' F ) ) )  e.  B )
34 cdlemk5.l . . . . . 6  |-  .<_  =  ( le `  K )
3534, 15, 8hlatlej2 30247 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  ( R `  b )  e.  A )  -> 
( R `  b
)  .<_  ( P  .\/  ( R `  b ) ) )
363, 14, 13, 35syl3anc 1185 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  -> 
( R `  b
)  .<_  ( P  .\/  ( R `  b ) ) )
37 cdlemk5.m . . . . 5  |-  ./\  =  ( meet `  K )
387, 34, 15, 37, 8atmod2i1 30732 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( R `  b )  e.  A  /\  ( P  .\/  ( R `  b )
)  e.  B  /\  ( ( N `  P )  .\/  ( R `  ( b  o.  `' F ) ) )  e.  B )  /\  ( R `  b ) 
.<_  ( P  .\/  ( R `  b )
) )  ->  (
( ( P  .\/  ( R `  b ) )  ./\  ( ( N `  P )  .\/  ( R `  (
b  o.  `' F
) ) ) ) 
.\/  ( R `  b ) )  =  ( ( P  .\/  ( R `  b ) )  ./\  ( (
( N `  P
)  .\/  ( R `  ( b  o.  `' F ) ) ) 
.\/  ( R `  b ) ) ) )
393, 13, 17, 33, 36, 38syl131anc 1198 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  -> 
( ( ( P 
.\/  ( R `  b ) )  ./\  ( ( N `  P )  .\/  ( R `  ( b  o.  `' F ) ) ) )  .\/  ( R `
 b ) )  =  ( ( P 
.\/  ( R `  b ) )  ./\  ( ( ( N `
 P )  .\/  ( R `  ( b  o.  `' F ) ) )  .\/  ( R `  b )
) ) )
407, 8atbase 30161 . . . . . . . 8  |-  ( ( R `  b )  e.  A  ->  ( R `  b )  e.  B )
4113, 40syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  -> 
( R `  b
)  e.  B )
427, 9, 10, 11trlcl 31035 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  N  e.  T
)  ->  ( R `  N )  e.  B
)
434, 20, 42syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  -> 
( R `  N
)  e.  B )
447, 15latj32 14531 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  e.  B  /\  ( R `  b
)  e.  B  /\  ( R `  N )  e.  B ) )  ->  ( ( P 
.\/  ( R `  b ) )  .\/  ( R `  N ) )  =  ( ( P  .\/  ( R `
 N ) ) 
.\/  ( R `  b ) ) )
4519, 22, 41, 43, 44syl13anc 1187 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  -> 
( ( P  .\/  ( R `  b ) )  .\/  ( R `
 N ) )  =  ( ( P 
.\/  ( R `  N ) )  .\/  ( R `  b ) ) )
46 simp3l 986 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  -> 
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
4734, 15, 8, 9, 10, 11trljat3 31039 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  N  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( P  .\/  ( R `  N
) )  =  ( ( N `  P
)  .\/  ( R `  N ) ) )
484, 20, 46, 47syl3anc 1185 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  -> 
( P  .\/  ( R `  N )
)  =  ( ( N `  P ) 
.\/  ( R `  N ) ) )
4948oveq1d 6099 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  -> 
( ( P  .\/  ( R `  N ) )  .\/  ( R `
 b ) )  =  ( ( ( N `  P ) 
.\/  ( R `  N ) )  .\/  ( R `  b ) ) )
507, 15latjass 14529 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( N `  P )  e.  B  /\  ( R `  N
)  e.  B  /\  ( R `  b )  e.  B ) )  ->  ( ( ( N `  P ) 
.\/  ( R `  N ) )  .\/  ( R `  b ) )  =  ( ( N `  P ) 
.\/  ( ( R `
 N )  .\/  ( R `  b ) ) ) )
5119, 24, 43, 41, 50syl13anc 1187 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  -> 
( ( ( N `
 P )  .\/  ( R `  N ) )  .\/  ( R `
 b ) )  =  ( ( N `
 P )  .\/  ( ( R `  N )  .\/  ( R `  b )
) ) )
5245, 49, 513eqtrd 2474 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  -> 
( ( P  .\/  ( R `  b ) )  .\/  ( R `
 N ) )  =  ( ( N `
 P )  .\/  ( ( R `  N )  .\/  ( R `  b )
) ) )
537, 15latjass 14529 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( N `  P )  e.  B  /\  ( R `  (
b  o.  `' F
) )  e.  B  /\  ( R `  b
)  e.  B ) )  ->  ( (
( N `  P
)  .\/  ( R `  ( b  o.  `' F ) ) ) 
.\/  ( R `  b ) )  =  ( ( N `  P )  .\/  (
( R `  (
b  o.  `' F
) )  .\/  ( R `  b )
) ) )
5419, 24, 31, 41, 53syl13anc 1187 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  -> 
( ( ( N `
 P )  .\/  ( R `  ( b  o.  `' F ) ) )  .\/  ( R `  b )
)  =  ( ( N `  P ) 
.\/  ( ( R `
 ( b  o.  `' F ) )  .\/  ( R `  b ) ) ) )
557, 15latjcom 14493 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( R `  N )  e.  B  /\  ( R `  b )  e.  B )  ->  (
( R `  N
)  .\/  ( R `  b ) )  =  ( ( R `  b )  .\/  ( R `  N )
) )
5619, 43, 41, 55syl3anc 1185 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  -> 
( ( R `  N )  .\/  ( R `  b )
)  =  ( ( R `  b ) 
.\/  ( R `  N ) ) )
579, 10, 11trlcnv 31036 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( R `  `' F )  =  ( R `  F ) )
584, 25, 57syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  -> 
( R `  `' F )  =  ( R `  F ) )
59 simp23 993 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  -> 
( R `  F
)  =  ( R `
 N ) )
6058, 59eqtrd 2470 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  -> 
( R `  `' F )  =  ( R `  N ) )
6160oveq2d 6100 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  -> 
( ( R `  b )  .\/  ( R `  `' F
) )  =  ( ( R `  b
)  .\/  ( R `  N ) ) )
6256, 61eqtr4d 2473 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  -> 
( ( R `  N )  .\/  ( R `  b )
)  =  ( ( R `  b ) 
.\/  ( R `  `' F ) ) )
6315, 9, 10, 11trljco 31611 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  b  e.  T  /\  `' F  e.  T
)  ->  ( ( R `  b )  .\/  ( R `  (
b  o.  `' F
) ) )  =  ( ( R `  b )  .\/  ( R `  `' F
) ) )
644, 5, 27, 63syl3anc 1185 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  -> 
( ( R `  b )  .\/  ( R `  ( b  o.  `' F ) ) )  =  ( ( R `
 b )  .\/  ( R `  `' F
) ) )
657, 15latjcom 14493 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( R `  b )  e.  B  /\  ( R `  ( b  o.  `' F ) )  e.  B )  ->  (
( R `  b
)  .\/  ( R `  ( b  o.  `' F ) ) )  =  ( ( R `
 ( b  o.  `' F ) )  .\/  ( R `  b ) ) )
6619, 41, 31, 65syl3anc 1185 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  -> 
( ( R `  b )  .\/  ( R `  ( b  o.  `' F ) ) )  =  ( ( R `
 ( b  o.  `' F ) )  .\/  ( R `  b ) ) )
6762, 64, 663eqtr2d 2476 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  -> 
( ( R `  N )  .\/  ( R `  b )
)  =  ( ( R `  ( b  o.  `' F ) )  .\/  ( R `
 b ) ) )
6867oveq2d 6100 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  -> 
( ( N `  P )  .\/  (
( R `  N
)  .\/  ( R `  b ) ) )  =  ( ( N `
 P )  .\/  ( ( R `  ( b  o.  `' F ) )  .\/  ( R `  b ) ) ) )
6954, 68eqtr4d 2473 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  -> 
( ( ( N `
 P )  .\/  ( R `  ( b  o.  `' F ) ) )  .\/  ( R `  b )
)  =  ( ( N `  P ) 
.\/  ( ( R `
 N )  .\/  ( R `  b ) ) ) )
7052, 69eqtr4d 2473 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  -> 
( ( P  .\/  ( R `  b ) )  .\/  ( R `
 N ) )  =  ( ( ( N `  P ) 
.\/  ( R `  ( b  o.  `' F ) ) ) 
.\/  ( R `  b ) ) )
7170oveq2d 6100 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  -> 
( ( P  .\/  ( R `  b ) )  ./\  ( ( P  .\/  ( R `  b ) )  .\/  ( R `  N ) ) )  =  ( ( P  .\/  ( R `  b )
)  ./\  ( (
( N `  P
)  .\/  ( R `  ( b  o.  `' F ) ) ) 
.\/  ( R `  b ) ) ) )
727, 15, 37latabs2 14522 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  .\/  ( R `
 b ) )  e.  B  /\  ( R `  N )  e.  B )  ->  (
( P  .\/  ( R `  b )
)  ./\  ( ( P  .\/  ( R `  b ) )  .\/  ( R `  N ) ) )  =  ( P  .\/  ( R `
 b ) ) )
7319, 17, 43, 72syl3anc 1185 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  -> 
( ( P  .\/  ( R `  b ) )  ./\  ( ( P  .\/  ( R `  b ) )  .\/  ( R `  N ) ) )  =  ( P  .\/  ( R `
 b ) ) )
7439, 71, 733eqtr2d 2476 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  -> 
( ( ( P 
.\/  ( R `  b ) )  ./\  ( ( N `  P )  .\/  ( R `  ( b  o.  `' F ) ) ) )  .\/  ( R `
 b ) )  =  ( P  .\/  ( R `  b ) ) )
752, 74syl5eq 2482 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  -> 
( Z  .\/  ( R `  b )
)  =  ( P 
.\/  ( R `  b ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   class class class wbr 4215    _I cid 4496   `'ccnv 4880    |` cres 4883    o. ccom 4885   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   Basecbs 13474   lecple 13541   joincjn 14406   meetcmee 14407   Latclat 14479   Atomscatm 30135   HLchlt 30222   LHypclh 30855   LTrncltrn 30972   trLctrl 31029
This theorem is referenced by:  cdlemkid2  31795
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-undef 6546  df-riota 6552  df-map 7023  df-poset 14408  df-plt 14420  df-lub 14436  df-glb 14437  df-join 14438  df-meet 14439  df-p0 14473  df-p1 14474  df-lat 14480  df-clat 14542  df-oposet 30048  df-ol 30050  df-oml 30051  df-covers 30138  df-ats 30139  df-atl 30170  df-cvlat 30194  df-hlat 30223  df-llines 30369  df-lplanes 30370  df-lvols 30371  df-lines 30372  df-psubsp 30374  df-pmap 30375  df-padd 30667  df-lhyp 30859  df-laut 30860  df-ldil 30975  df-ltrn 30976  df-trl 31030
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