Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemn3 Unicode version

Theorem cdlemn3 32009
Description: Part of proof of Lemma N of [Crawley] p. 121 line 31. (Contributed by NM, 21-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemn3.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdlemn3.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdlemn3.p  |-  P  =  ( ( oc `  K ) `  W
)
cdlemn3.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdlemn3.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
cdlemn3.f  |-  F  =  ( iota_ h  e.  T
( h `  P
)  =  Q )
cdlemn3.g  |-  G  =  ( iota_ h  e.  T
( h `  P
)  =  R )
cdlemn3.j  |-  J  =  ( iota_ h  e.  T
( h `  Q
)  =  R )
Assertion
Ref Expression
cdlemn3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  ->  ( J  o.  F )  =  G )
Distinct variable groups:    .<_ , h    A, h    h, H    h, K    P, h    Q, h    R, h    T, h    h, W
Allowed substitution hints:    F( h)    G( h)    J( h)

Proof of Theorem cdlemn3
StepHypRef Expression
1 simp1 955 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 cdlemn3.l . . . . . . . . . 10  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 cdlemn3.a . . . . . . . . . 10  |-  A  =  ( Atoms `  K )
4 cdlemn3.h . . . . . . . . . 10  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
5 cdlemn3.p . . . . . . . . . 10  |-  P  =  ( ( oc `  K ) `  W
)
62, 3, 4, 5lhpocnel2 30830 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
763ad2ant1 976 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
8 simp2 956 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  ->  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )
9 cdlemn3.t . . . . . . . . 9  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
10 cdlemn3.f . . . . . . . . 9  |-  F  =  ( iota_ h  e.  T
( h `  P
)  =  Q )
112, 3, 4, 9, 10ltrniotacl 31390 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  ->  F  e.  T )
121, 7, 8, 11syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  ->  F  e.  T )
13 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
1413, 4, 9ltrn1o 30935 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  F :
( Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K ) )
151, 12, 14syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  ->  F :
( Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K ) )
16 f1of 5488 . . . . . 6  |-  ( F : ( Base `  K
)
-1-1-onto-> ( Base `  K )  ->  F : ( Base `  K ) --> ( Base `  K ) )
1715, 16syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  ->  F :
( Base `  K ) --> ( Base `  K )
)
187simpld 445 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  ->  P  e.  A )
1913, 3atbase 30101 . . . . . 6  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
2018, 19syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  ->  P  e.  ( Base `  K )
)
21 fvco3 5612 . . . . 5  |-  ( ( F : ( Base `  K ) --> ( Base `  K )  /\  P  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( J  o.  F
) `  P )  =  ( J `  ( F `  P ) ) )
2217, 20, 21syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  ->  ( ( J  o.  F ) `  P )  =  ( J `  ( F `
 P ) ) )
232, 3, 4, 9, 10ltrniotaval 31392 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  ->  ( F `  P )  =  Q )
241, 7, 8, 23syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  ->  ( F `  P )  =  Q )
2524fveq2d 5545 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  ->  ( J `  ( F `  P
) )  =  ( J `  Q ) )
26 cdlemn3.j . . . . 5  |-  J  =  ( iota_ h  e.  T
( h `  Q
)  =  R )
272, 3, 4, 9, 26ltrniotaval 31392 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  ->  ( J `  Q )  =  R )
2822, 25, 273eqtrd 2332 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  ->  ( ( J  o.  F ) `  P )  =  R )
29 cdlemn3.g . . . . 5  |-  G  =  ( iota_ h  e.  T
( h `  P
)  =  R )
302, 3, 4, 9, 29ltrniotaval 31392 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  ->  ( G `  P )  =  R )
317, 30syld3an2 1229 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  ->  ( G `  P )  =  R )
3228, 31eqtr4d 2331 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  ->  ( ( J  o.  F ) `  P )  =  ( G `  P ) )
332, 3, 4, 9, 26ltrniotacl 31390 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  ->  J  e.  T )
344, 9ltrnco 31530 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  J  e.  T  /\  F  e.  T
)  ->  ( J  o.  F )  e.  T
)
351, 33, 12, 34syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  ->  ( J  o.  F )  e.  T
)
362, 3, 4, 9, 29ltrniotacl 31390 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  ->  G  e.  T )
377, 36syld3an2 1229 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  ->  G  e.  T )
382, 3, 4, 9ltrneq3 31019 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( J  o.  F )  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( (
( J  o.  F
) `  P )  =  ( G `  P )  <->  ( J  o.  F )  =  G ) )
391, 35, 37, 7, 38syl121anc 1187 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  ->  ( (
( J  o.  F
) `  P )  =  ( G `  P )  <->  ( J  o.  F )  =  G ) )
4032, 39mpbid 201 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  ->  ( J  o.  F )  =  G )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   class class class wbr 4039    o. ccom 4709   -->wf 5267   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271   iota_crio 6313   Basecbs 13164   lecple 13231   occoc 13232   Atomscatm 30075   HLchlt 30162   LHypclh 30795   LTrncltrn 30912
This theorem is referenced by:  cdlemn4  32010
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-undef 6314  df-riota 6320  df-map 6790  df-poset 14096  df-plt 14108  df-lub 14124  df-glb 14125  df-join 14126  df-meet 14127  df-p0 14161  df-p1 14162  df-lat 14168  df-clat 14230  df-oposet 29988  df-ol 29990  df-oml 29991  df-covers 30078  df-ats 30079  df-atl 30110  df-cvlat 30134  df-hlat 30163  df-llines 30309  df-lplanes 30310  df-lvols 30311  df-lines 30312  df-psubsp 30314  df-pmap 30315  df-padd 30607  df-lhyp 30799  df-laut 30800  df-ldil 30915  df-ltrn 30916  df-trl 30970
  Copyright terms: Public domain W3C validator