Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemn4a Unicode version

Theorem cdlemn4a 31694
Description: Part of proof of Lemma N of [Crawley] p. 121 line 32. (Contributed by NM, 24-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemn4.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cdlemn4.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdlemn4.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdlemn4.p  |-  P  =  ( ( oc `  K ) `  W
)
cdlemn4.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdlemn4.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
cdlemn4.o  |-  O  =  ( h  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )
cdlemn4.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
cdlemn4.f  |-  F  =  ( iota_ h  e.  T
( h `  P
)  =  Q )
cdlemn4.g  |-  G  =  ( iota_ h  e.  T
( h `  P
)  =  R )
cdlemn4.j  |-  J  =  ( iota_ h  e.  T
( h `  Q
)  =  R )
cdlemn4a.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
cdlemn4a.s  |-  .(+)  =  (
LSSum `  U )
Assertion
Ref Expression
cdlemn4a  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  ->  ( N `  { <. G ,  (  _I  |`  T ) >. } )  C_  (
( N `  { <. F ,  (  _I  |`  T ) >. } ) 
.(+)  ( N `  { <. J ,  O >. } ) ) )
Distinct variable groups:    .<_ , h    A, h    B, h    h, H   
h, K    P, h    Q, h    R, h    T, h   
h, W
Allowed substitution hints:    .(+) ( h)    U( h)    F( h)    G( h)    J( h)    N( h)    O( h)

Proof of Theorem cdlemn4a
StepHypRef Expression
1 cdlemn4.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 cdlemn4.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 cdlemn4.a . . . . 5  |-  A  =  ( Atoms `  K )
4 cdlemn4.p . . . . 5  |-  P  =  ( ( oc `  K ) `  W
)
5 cdlemn4.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
6 cdlemn4.t . . . . 5  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
7 cdlemn4.o . . . . 5  |-  O  =  ( h  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )
8 cdlemn4.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
9 cdlemn4.f . . . . 5  |-  F  =  ( iota_ h  e.  T
( h `  P
)  =  Q )
10 cdlemn4.g . . . . 5  |-  G  =  ( iota_ h  e.  T
( h `  P
)  =  R )
11 cdlemn4.j . . . . 5  |-  J  =  ( iota_ h  e.  T
( h `  Q
)  =  R )
12 eqid 2412 . . . . 5  |-  ( +g  `  U )  =  ( +g  `  U )
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12cdlemn4 31693 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  ->  <. G , 
(  _I  |`  T )
>.  =  ( <. F ,  (  _I  |`  T )
>. ( +g  `  U
) <. J ,  O >. ) )
1413sneqd 3795 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  ->  { <. G , 
(  _I  |`  T )
>. }  =  { (
<. F ,  (  _I  |`  T ) >. ( +g  `  U ) <. J ,  O >. ) } )
1514fveq2d 5699 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  ->  ( N `  { <. G ,  (  _I  |`  T ) >. } )  =  ( N `  { (
<. F ,  (  _I  |`  T ) >. ( +g  `  U ) <. J ,  O >. ) } ) )
16 simp1 957 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
175, 8, 16dvhlmod 31605 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  ->  U  e.  LMod )
182, 3, 5, 4lhpocnel2 30513 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
19183ad2ant1 978 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
20 simp2 958 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  ->  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )
212, 3, 5, 6, 9ltrniotacl 31073 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  ->  F  e.  T )
2216, 19, 20, 21syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  ->  F  e.  T )
23 eqid 2412 . . . . . 6  |-  ( (
TEndo `  K ) `  W )  =  ( ( TEndo `  K ) `  W )
245, 6, 23tendoidcl 31263 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  (  _I  |`  T )  e.  ( ( TEndo `  K ) `  W
) )
25243ad2ant1 978 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  ->  (  _I  |`  T )  e.  ( ( TEndo `  K ) `  W ) )
26 eqid 2412 . . . . 5  |-  ( Base `  U )  =  (
Base `  U )
275, 6, 23, 8, 26dvhelvbasei 31583 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  (  _I  |`  T )  e.  ( ( TEndo `  K ) `  W ) ) )  ->  <. F ,  (  _I  |`  T ) >.  e.  ( Base `  U
) )
2816, 22, 25, 27syl12anc 1182 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  ->  <. F , 
(  _I  |`  T )
>.  e.  ( Base `  U
) )
292, 3, 5, 6, 11ltrniotacl 31073 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  ->  J  e.  T )
301, 5, 6, 23, 7tendo0cl 31284 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  O  e.  ( (
TEndo `  K ) `  W ) )
31303ad2ant1 978 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  ->  O  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )
)
325, 6, 23, 8, 26dvhelvbasei 31583 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( J  e.  T  /\  O  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )
) )  ->  <. J ,  O >.  e.  ( Base `  U ) )
3316, 29, 31, 32syl12anc 1182 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  ->  <. J ,  O >.  e.  ( Base `  U ) )
34 cdlemn4a.n . . . 4  |-  N  =  ( LSpan `  U )
35 cdlemn4a.s . . . 4  |-  .(+)  =  (
LSSum `  U )
3626, 12, 34, 35lspsntri 16132 . . 3  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  <. F ,  (  _I  |`  T )
>.  e.  ( Base `  U
)  /\  <. J ,  O >.  e.  ( Base `  U ) )  -> 
( N `  {
( <. F ,  (  _I  |`  T ) >. ( +g  `  U
) <. J ,  O >. ) } )  C_  ( ( N `  { <. F ,  (  _I  |`  T ) >. } )  .(+)  ( N `
 { <. J ,  O >. } ) ) )
3717, 28, 33, 36syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  ->  ( N `  { ( <. F , 
(  _I  |`  T )
>. ( +g  `  U
) <. J ,  O >. ) } )  C_  ( ( N `  { <. F ,  (  _I  |`  T ) >. } )  .(+)  ( N `
 { <. J ,  O >. } ) ) )
3815, 37eqsstrd 3350 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  ->  ( N `  { <. G ,  (  _I  |`  T ) >. } )  C_  (
( N `  { <. F ,  (  _I  |`  T ) >. } ) 
.(+)  ( N `  { <. J ,  O >. } ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    C_ wss 3288   {csn 3782   <.cop 3785   class class class wbr 4180    e. cmpt 4234    _I cid 4461    |` cres 4847   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   iota_crio 6509   Basecbs 13432   +g cplusg 13492   lecple 13499   occoc 13500   LSSumclsm 15231   LModclmod 15913   LSpanclspn 16010   Atomscatm 29758   HLchlt 29845   LHypclh 30478   LTrncltrn 30595   TEndoctendo 31246   DVecHcdvh 31573
This theorem is referenced by:  cdlemn5pre  31695
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-fal 1326  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-iin 4064  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-tpos 6446  df-undef 6510  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-oadd 6695  df-er 6872  df-map 6987  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-4 10024  df-5 10025  df-6 10026  df-n0 10186  df-z 10247  df-uz 10453  df-fz 11008  df-struct 13434  df-ndx 13435  df-slot 13436  df-base 13437  df-sets 13438  df-ress 13439  df-plusg 13505  df-mulr 13506  df-sca 13508  df-vsca 13509  df-0g 13690  df-poset 14366  df-plt 14378  df-lub 14394  df-glb 14395  df-join 14396  df-meet 14397  df-p0 14431  df-p1 14432  df-lat 14438  df-clat 14500  df-mnd 14653  df-submnd 14702  df-grp 14775  df-minusg 14776  df-sbg 14777  df-subg 14904  df-cntz 15079  df-lsm 15233  df-cmn 15377  df-abl 15378  df-mgp 15612  df-rng 15626  df-ur 15628  df-oppr 15691  df-dvdsr 15709  df-unit 15710  df-invr 15740  df-dvr 15751  df-drng 15800  df-lmod 15915  df-lss 15972  df-lsp 16011  df-lvec 16138  df-oposet 29671  df-ol 29673  df-oml 29674  df-covers 29761  df-ats 29762  df-atl 29793  df-cvlat 29817  df-hlat 29846  df-llines 29992  df-lplanes 29993  df-lvols 29994  df-lines 29995  df-psubsp 29997  df-pmap 29998  df-padd 30290  df-lhyp 30482  df-laut 30483  df-ldil 30598  df-ltrn 30599  df-trl 30653  df-tendo 31249  df-edring 31251  df-dvech 31574
  Copyright terms: Public domain W3C validator