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Theorem celsor 25111
Description: If all the elements of a set  A are ordinal numbers and are parts of the set then  A is an ordinal number. (Contributed by FL, 20-Apr-2011.)
Assertion
Ref Expression
celsor  |-  ( ( A  e.  B  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  On  /\  x  C_  A ) )  ->  A  e.  On )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem celsor
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 r19.26 2675 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  (
x  e.  On  /\  x  C_  A )  <->  ( A. x  e.  A  x  e.  On  /\  A. x  e.  A  x  C_  A
) )
2 dftr3 4117 . . . . . . 7  |-  ( Tr  A  <->  A. x  e.  A  x  C_  A )
32biimpri 197 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  x  C_  A  ->  Tr  A
)
4 eleq1 2343 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  On  <->  y  e.  On ) )
54cbvralv 2764 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  A  x  e.  On  <->  A. y  e.  A  y  e.  On )
6 raaanv 3562 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  On  /\  y  e.  On )  <->  ( A. x  e.  A  x  e.  On  /\  A. y  e.  A  y  e.  On ) )
7 eloni 4402 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  On  ->  Ord  x )
8 eloni 4402 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  On  ->  Ord  y )
9 ordtri3or 4424 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Ord  x  /\  Ord  y )  ->  (
x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x ) )
107, 8, 9syl2an 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x
) )
1110ralimi 2618 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. y  e.  A  (
x  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x
) )
1211ralimi 2618 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x
) )
136, 12sylbir 204 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. x  e.  A  x  e.  On  /\  A. y  e.  A  y  e.  On )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x ) )
1413expcom 424 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  A  y  e.  On  ->  ( A. x  e.  A  x  e.  On  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x ) ) )
155, 14sylbi 187 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  x  e.  On  ->  ( A. x  e.  A  x  e.  On  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x ) ) )
1615pm2.43i 43 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  x  e.  On  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x ) )
173, 16anim12i 549 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  A  x  C_  A  /\  A. x  e.  A  x  e.  On )  ->  ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x ) ) )
1817ancoms 439 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  A  x  e.  On  /\  A. x  e.  A  x  C_  A )  ->  ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x ) ) )
191, 18sylbi 187 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  (
x  e.  On  /\  x  C_  A )  -> 
( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x ) ) )
2019adantl 452 . 2  |-  ( ( A  e.  B  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  On  /\  x  C_  A ) )  ->  ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x
) ) )
21 elong 4400 . . . 4  |-  ( A  e.  B  ->  ( A  e.  On  <->  Ord  A ) )
2221adantr 451 . . 3  |-  ( ( A  e.  B  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  On  /\  x  C_  A ) )  ->  ( A  e.  On  <->  Ord  A ) )
23 dford2 7321 . . 3  |-  ( Ord 
A  <->  ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x
) ) )
2422, 23syl6bb 252 . 2  |-  ( ( A  e.  B  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  On  /\  x  C_  A ) )  ->  ( A  e.  On  <->  ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x
) ) ) )
2520, 24mpbird 223 1  |-  ( ( A  e.  B  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  On  /\  x  C_  A ) )  ->  A  e.  On )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    \/ w3o 933    e. wcel 1684   A.wral 2543    C_ wss 3152   Tr wtr 4113   Ord word 4391   Oncon0 4392
This theorem is referenced by:  inttaror  25900
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-reg 7306
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396
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