Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cf0 Unicode version

Theorem cf0 8120
 Description: Value of the cofinality function at 0. Exercise 2 of [TakeutiZaring] p. 102. (Contributed by NM, 16-Apr-2004.)
Assertion
Ref Expression
cf0

Proof of Theorem cf0
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cfub 8118 . . 3
2 0ss 3648 . . . . . . . . . . . . 13
32biantru 492 . . . . . . . . . . . 12
4 ss0b 3649 . . . . . . . . . . . 12
53, 4bitr3i 243 . . . . . . . . . . 11
65anbi2i 676 . . . . . . . . . 10
7 ancom 438 . . . . . . . . . 10
86, 7bitri 241 . . . . . . . . 9
98exbii 1592 . . . . . . . 8
10 0ex 4331 . . . . . . . . . 10
11 fveq2 5719 . . . . . . . . . . 11
1211eqeq2d 2446 . . . . . . . . . 10
1310, 12ceqsexv 2983 . . . . . . . . 9
14 card0 7834 . . . . . . . . . 10
1514eqeq2i 2445 . . . . . . . . 9
1613, 15bitri 241 . . . . . . . 8
179, 16bitri 241 . . . . . . 7
1817abbii 2547 . . . . . 6
19 df-sn 3812 . . . . . 6
2018, 19eqtr4i 2458 . . . . 5
2120inteqi 4046 . . . 4
2210intsn 4078 . . . 4
2321, 22eqtri 2455 . . 3
241, 23sseqtri 3372 . 2
25 ss0b 3649 . 2
2624, 25mpbi 200 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wa 359  wex 1550   wceq 1652  cab 2421   wss 3312  c0 3620  csn 3806  cuni 4007  cint 4042  cfv 5445  ccrd 7811  ccf 7813 This theorem is referenced by:  cfeq0  8125  cflim2  8132  cfidm  8144  alephsing  8145  alephreg  8446  pwcfsdom  8447  rankcf  8641 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-en 7101  df-card 7815  df-cf 7817
 Copyright terms: Public domain W3C validator