Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cfcof Unicode version

Theorem cfcof 7900
 Description: If there is a cofinal map from to , then they have the same cofinality. This was used as Definition 11.1 of [TakeutiZaring] p. 100, who defines an equivalence relation cof and defines our as the minimum such that cof . (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2013.)
Assertion
Ref Expression
cfcof
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,

Proof of Theorem cfcof
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cfcoflem 7898 . . . 4
21imp 418 . . 3
3 cff1 7884 . . . . . . 7
4 f1f 5437 . . . . . . . . 9
54anim1i 551 . . . . . . . 8
65eximi 1563 . . . . . . 7
73, 6syl 15 . . . . . 6
8 eqid 2283 . . . . . . 7
98coftr 7899 . . . . . 6
107, 9syl5com 26 . . . . 5
11 eloni 4402 . . . . . . 7
12 cfon 7881 . . . . . . 7
13 eqid 2283 . . . . . . . 8
14 eqid 2283 . . . . . . . 8
15 eqid 2283 . . . . . . . 8 OrdIso OrdIso
1613, 14, 15cofsmo 7895 . . . . . . 7
1711, 12, 16sylancl 643 . . . . . 6
18 3simpb 953 . . . . . . . . . . . 12
1918eximi 1563 . . . . . . . . . . 11
2012onsuci 4629 . . . . . . . . . . . . 13
2120oneli 4500 . . . . . . . . . . . 12
22 cfflb 7885 . . . . . . . . . . . 12
2321, 22sylan2 460 . . . . . . . . . . 11
2419, 23syl5 28 . . . . . . . . . 10
2524imp 418 . . . . . . . . 9
26 onsssuc 4480 . . . . . . . . . . . 12
2721, 12, 26sylancl 643 . . . . . . . . . . 11
2827ibir 233 . . . . . . . . . 10
2928ad2antlr 707 . . . . . . . . 9
3025, 29sstrd 3189 . . . . . . . 8
3130exp31 587 . . . . . . 7
3231rexlimdv 2666 . . . . . 6
3317, 32syld 40 . . . . 5
3410, 33sylan9 638 . . . 4
3534imp 418 . . 3
362, 35eqssd 3196 . 2
3736ex 423 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934  wex 1528   wceq 1623   wcel 1684  wral 2543  wrex 2544  crab 2547   wss 3152  cint 3862   cmpt 4077   cep 4303   word 4391  con0 4392   csuc 4394  wf 5251  wf1 5252  cfv 5255   wsmo 6362  OrdIsocoi 7224  ccf 7570 This theorem is referenced by:  alephsing  7902 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-smo 6363  df-recs 6388  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-oi 7225  df-card 7572  df-cf 7574  df-acn 7575
 Copyright terms: Public domain W3C validator