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Theorem cfcoflem 8152
Description: Lemma for cfcof 8154, showing subset relation in one direction. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Mar-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
cfcoflem  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( E. f ( f : B --> A  /\  Smo  f  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  (
f `  y )
)  ->  ( cf `  A )  C_  ( cf `  B ) ) )
Distinct variable groups:    A, f, x, y    B, f, x, y

Proof of Theorem cfcoflem
Dummy variables  g  h  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cff1 8138 . . 3  |-  ( B  e.  On  ->  E. g
( g : ( cf `  B )
-1-1-> B  /\  A. y  e.  B  E. z  e.  ( cf `  B
) y  C_  (
g `  z )
) )
2 f1f 5639 . . . . . 6  |-  ( g : ( cf `  B
) -1-1-> B  ->  g : ( cf `  B
) --> B )
3 fco 5600 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : B --> A  /\  g : ( cf `  B
) --> B )  -> 
( f  o.  g
) : ( cf `  B ) --> A )
43adantlr 696 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f : B --> A  /\  Smo  f )  /\  g : ( cf `  B ) --> B )  ->  (
f  o.  g ) : ( cf `  B
) --> A )
54adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( f : B --> A  /\  Smo  f )  /\  g : ( cf `  B
) --> B )  /\  ( A. y  e.  B  E. z  e.  ( cf `  B ) y 
C_  ( g `  z )  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  ( f `  y
) ) )  -> 
( f  o.  g
) : ( cf `  B ) --> A )
6 r19.29 2846 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A. y  e.  B  E. z  e.  ( cf `  B ) y 
C_  ( g `  z )  /\  E. y  e.  B  x  C_  ( f `  y
) )  ->  E. y  e.  B  ( E. z  e.  ( cf `  B ) y  C_  ( g `  z
)  /\  x  C_  (
f `  y )
) )
7 ffvelrn 5868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( g : ( cf `  B ) --> B  /\  z  e.  ( cf `  B ) )  -> 
( g `  z
)  e.  B )
8 ffn 5591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( f : B --> A  -> 
f  Fn  B )
9 smoword 6628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( ( f  Fn  B  /\  Smo  f )  /\  ( y  e.  B  /\  ( g `  z
)  e.  B ) )  ->  ( y  C_  ( g `  z
)  <->  ( f `  y )  C_  (
f `  ( g `  z ) ) ) )
109biimpd 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( ( f  Fn  B  /\  Smo  f )  /\  ( y  e.  B  /\  ( g `  z
)  e.  B ) )  ->  ( y  C_  ( g `  z
)  ->  ( f `  y )  C_  (
f `  ( g `  z ) ) ) )
1110exp32 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( f  Fn  B  /\  Smo  f )  ->  (
y  e.  B  -> 
( ( g `  z )  e.  B  ->  ( y  C_  (
g `  z )  ->  ( f `  y
)  C_  ( f `  ( g `  z
) ) ) ) ) )
128, 11sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( f : B --> A  /\  Smo  f )  ->  (
y  e.  B  -> 
( ( g `  z )  e.  B  ->  ( y  C_  (
g `  z )  ->  ( f `  y
)  C_  ( f `  ( g `  z
) ) ) ) ) )
137, 12syl7 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( f : B --> A  /\  Smo  f )  ->  (
y  e.  B  -> 
( ( g : ( cf `  B
) --> B  /\  z  e.  ( cf `  B
) )  ->  (
y  C_  ( g `  z )  ->  (
f `  y )  C_  ( f `  (
g `  z )
) ) ) ) )
1413com23 74 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( f : B --> A  /\  Smo  f )  ->  (
( g : ( cf `  B ) --> B  /\  z  e.  ( cf `  B
) )  ->  (
y  e.  B  -> 
( y  C_  (
g `  z )  ->  ( f `  y
)  C_  ( f `  ( g `  z
) ) ) ) ) )
1514expdimp 427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( f : B --> A  /\  Smo  f )  /\  g : ( cf `  B ) --> B )  ->  (
z  e.  ( cf `  B )  ->  (
y  e.  B  -> 
( y  C_  (
g `  z )  ->  ( f `  y
)  C_  ( f `  ( g `  z
) ) ) ) ) )
16153imp2 1168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( f : B --> A  /\  Smo  f )  /\  g : ( cf `  B
) --> B )  /\  ( z  e.  ( cf `  B )  /\  y  e.  B  /\  y  C_  ( g `
 z ) ) )  ->  ( f `  y )  C_  (
f `  ( g `  z ) ) )
17 sstr2 3355 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( x 
C_  ( f `  y )  ->  (
( f `  y
)  C_  ( f `  ( g `  z
) )  ->  x  C_  ( f `  (
g `  z )
) ) )
1816, 17syl5com 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( f : B --> A  /\  Smo  f )  /\  g : ( cf `  B
) --> B )  /\  ( z  e.  ( cf `  B )  /\  y  e.  B  /\  y  C_  ( g `
 z ) ) )  ->  ( x  C_  ( f `  y
)  ->  x  C_  (
f `  ( g `  z ) ) ) )
19 fvco3 5800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( g : ( cf `  B ) --> B  /\  z  e.  ( cf `  B ) )  -> 
( ( f  o.  g ) `  z
)  =  ( f `
 ( g `  z ) ) )
2019sseq2d 3376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( g : ( cf `  B ) --> B  /\  z  e.  ( cf `  B ) )  -> 
( x  C_  (
( f  o.  g
) `  z )  <->  x 
C_  ( f `  ( g `  z
) ) ) )
2120adantll 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( f : B --> A  /\  Smo  f )  /\  g : ( cf `  B
) --> B )  /\  z  e.  ( cf `  B ) )  -> 
( x  C_  (
( f  o.  g
) `  z )  <->  x 
C_  ( f `  ( g `  z
) ) ) )
22213ad2antr1 1122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( f : B --> A  /\  Smo  f )  /\  g : ( cf `  B
) --> B )  /\  ( z  e.  ( cf `  B )  /\  y  e.  B  /\  y  C_  ( g `
 z ) ) )  ->  ( x  C_  ( ( f  o.  g ) `  z
)  <->  x  C_  ( f `
 ( g `  z ) ) ) )
2318, 22sylibrd 226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( f : B --> A  /\  Smo  f )  /\  g : ( cf `  B
) --> B )  /\  ( z  e.  ( cf `  B )  /\  y  e.  B  /\  y  C_  ( g `
 z ) ) )  ->  ( x  C_  ( f `  y
)  ->  x  C_  (
( f  o.  g
) `  z )
) )
2423expcom 425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( z  e.  ( cf `  B )  /\  y  e.  B  /\  y  C_  ( g `  z
) )  ->  (
( ( f : B --> A  /\  Smo  f )  /\  g : ( cf `  B
) --> B )  -> 
( x  C_  (
f `  y )  ->  x  C_  ( (
f  o.  g ) `
 z ) ) ) )
25243expia 1155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( z  e.  ( cf `  B )  /\  y  e.  B )  ->  (
y  C_  ( g `  z )  ->  (
( ( f : B --> A  /\  Smo  f )  /\  g : ( cf `  B
) --> B )  -> 
( x  C_  (
f `  y )  ->  x  C_  ( (
f  o.  g ) `
 z ) ) ) ) )
2625com4t 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( f : B --> A  /\  Smo  f )  /\  g : ( cf `  B ) --> B )  ->  (
x  C_  ( f `  y )  ->  (
( z  e.  ( cf `  B )  /\  y  e.  B
)  ->  ( y  C_  ( g `  z
)  ->  x  C_  (
( f  o.  g
) `  z )
) ) ) )
2726imp 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( f : B --> A  /\  Smo  f )  /\  g : ( cf `  B
) --> B )  /\  x  C_  ( f `  y ) )  -> 
( ( z  e.  ( cf `  B
)  /\  y  e.  B )  ->  (
y  C_  ( g `  z )  ->  x  C_  ( ( f  o.  g ) `  z
) ) ) )
2827exp3acom23 1381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( f : B --> A  /\  Smo  f )  /\  g : ( cf `  B
) --> B )  /\  x  C_  ( f `  y ) )  -> 
( y  e.  B  ->  ( z  e.  ( cf `  B )  ->  ( y  C_  ( g `  z
)  ->  x  C_  (
( f  o.  g
) `  z )
) ) ) )
2928imp31 422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( f : B --> A  /\  Smo  f )  /\  g : ( cf `  B
) --> B )  /\  x  C_  ( f `  y ) )  /\  y  e.  B )  /\  z  e.  ( cf `  B ) )  ->  ( y  C_  ( g `  z
)  ->  x  C_  (
( f  o.  g
) `  z )
) )
3029reximdva 2818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( f : B --> A  /\  Smo  f )  /\  g : ( cf `  B
) --> B )  /\  x  C_  ( f `  y ) )  /\  y  e.  B )  ->  ( E. z  e.  ( cf `  B
) y  C_  (
g `  z )  ->  E. z  e.  ( cf `  B ) x  C_  ( (
f  o.  g ) `
 z ) ) )
3130exp31 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( f : B --> A  /\  Smo  f )  /\  g : ( cf `  B ) --> B )  ->  (
x  C_  ( f `  y )  ->  (
y  e.  B  -> 
( E. z  e.  ( cf `  B
) y  C_  (
g `  z )  ->  E. z  e.  ( cf `  B ) x  C_  ( (
f  o.  g ) `
 z ) ) ) ) )
3231com34 79 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( f : B --> A  /\  Smo  f )  /\  g : ( cf `  B ) --> B )  ->  (
x  C_  ( f `  y )  ->  ( E. z  e.  ( cf `  B ) y 
C_  ( g `  z )  ->  (
y  e.  B  ->  E. z  e.  ( cf `  B ) x 
C_  ( ( f  o.  g ) `  z ) ) ) ) )
3332com23 74 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( f : B --> A  /\  Smo  f )  /\  g : ( cf `  B ) --> B )  ->  ( E. z  e.  ( cf `  B ) y 
C_  ( g `  z )  ->  (
x  C_  ( f `  y )  ->  (
y  e.  B  ->  E. z  e.  ( cf `  B ) x 
C_  ( ( f  o.  g ) `  z ) ) ) ) )
3433imp3a 421 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( f : B --> A  /\  Smo  f )  /\  g : ( cf `  B ) --> B )  ->  (
( E. z  e.  ( cf `  B
) y  C_  (
g `  z )  /\  x  C_  ( f `
 y ) )  ->  ( y  e.  B  ->  E. z  e.  ( cf `  B
) x  C_  (
( f  o.  g
) `  z )
) ) )
3534com23 74 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( f : B --> A  /\  Smo  f )  /\  g : ( cf `  B ) --> B )  ->  (
y  e.  B  -> 
( ( E. z  e.  ( cf `  B
) y  C_  (
g `  z )  /\  x  C_  ( f `
 y ) )  ->  E. z  e.  ( cf `  B ) x  C_  ( (
f  o.  g ) `
 z ) ) ) )
3635rexlimdv 2829 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( f : B --> A  /\  Smo  f )  /\  g : ( cf `  B ) --> B )  ->  ( E. y  e.  B  ( E. z  e.  ( cf `  B ) y  C_  ( g `  z )  /\  x  C_  ( f `  y
) )  ->  E. z  e.  ( cf `  B
) x  C_  (
( f  o.  g
) `  z )
) )
376, 36syl5 30 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( f : B --> A  /\  Smo  f )  /\  g : ( cf `  B ) --> B )  ->  (
( A. y  e.  B  E. z  e.  ( cf `  B
) y  C_  (
g `  z )  /\  E. y  e.  B  x  C_  ( f `  y ) )  ->  E. z  e.  ( cf `  B ) x 
C_  ( ( f  o.  g ) `  z ) ) )
3837expdimp 427 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( f : B --> A  /\  Smo  f )  /\  g : ( cf `  B
) --> B )  /\  A. y  e.  B  E. z  e.  ( cf `  B ) y  C_  ( g `  z
) )  ->  ( E. y  e.  B  x  C_  ( f `  y )  ->  E. z  e.  ( cf `  B
) x  C_  (
( f  o.  g
) `  z )
) )
3938ralimdv 2785 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( f : B --> A  /\  Smo  f )  /\  g : ( cf `  B
) --> B )  /\  A. y  e.  B  E. z  e.  ( cf `  B ) y  C_  ( g `  z
) )  ->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  ( f `  y )  ->  A. x  e.  A  E. z  e.  ( cf `  B
) x  C_  (
( f  o.  g
) `  z )
) )
4039impr 603 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( f : B --> A  /\  Smo  f )  /\  g : ( cf `  B
) --> B )  /\  ( A. y  e.  B  E. z  e.  ( cf `  B ) y 
C_  ( g `  z )  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  ( f `  y
) ) )  ->  A. x  e.  A  E. z  e.  ( cf `  B ) x 
C_  ( ( f  o.  g ) `  z ) )
41 vex 2959 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  f  e. 
_V
42 vex 2959 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  g  e. 
_V
4341, 42coex 5413 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  o.  g )  e. 
_V
44 feq1 5576 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( h  =  ( f  o.  g )  ->  (
h : ( cf `  B ) --> A  <->  ( f  o.  g ) : ( cf `  B ) --> A ) )
45 fveq1 5727 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( h  =  ( f  o.  g )  ->  (
h `  z )  =  ( ( f  o.  g ) `  z ) )
4645sseq2d 3376 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( h  =  ( f  o.  g )  ->  (
x  C_  ( h `  z )  <->  x  C_  (
( f  o.  g
) `  z )
) )
4746rexbidv 2726 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( h  =  ( f  o.  g )  ->  ( E. z  e.  ( cf `  B ) x 
C_  ( h `  z )  <->  E. z  e.  ( cf `  B
) x  C_  (
( f  o.  g
) `  z )
) )
4847ralbidv 2725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( h  =  ( f  o.  g )  ->  ( A. x  e.  A  E. z  e.  ( cf `  B ) x 
C_  ( h `  z )  <->  A. x  e.  A  E. z  e.  ( cf `  B
) x  C_  (
( f  o.  g
) `  z )
) )
4944, 48anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( h  =  ( f  o.  g )  ->  (
( h : ( cf `  B ) --> A  /\  A. x  e.  A  E. z  e.  ( cf `  B
) x  C_  (
h `  z )
)  <->  ( ( f  o.  g ) : ( cf `  B
) --> A  /\  A. x  e.  A  E. z  e.  ( cf `  B ) x  C_  ( ( f  o.  g ) `  z
) ) ) )
5043, 49spcev 3043 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f  o.  g
) : ( cf `  B ) --> A  /\  A. x  e.  A  E. z  e.  ( cf `  B ) x  C_  ( ( f  o.  g ) `  z
) )  ->  E. h
( h : ( cf `  B ) --> A  /\  A. x  e.  A  E. z  e.  ( cf `  B
) x  C_  (
h `  z )
) )
515, 40, 50syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( f : B --> A  /\  Smo  f )  /\  g : ( cf `  B
) --> B )  /\  ( A. y  e.  B  E. z  e.  ( cf `  B ) y 
C_  ( g `  z )  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  ( f `  y
) ) )  ->  E. h ( h : ( cf `  B
) --> A  /\  A. x  e.  A  E. z  e.  ( cf `  B ) x  C_  ( h `  z
) ) )
5251exp43 596 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : B --> A  /\  Smo  f )  ->  (
g : ( cf `  B ) --> B  -> 
( A. y  e.  B  E. z  e.  ( cf `  B
) y  C_  (
g `  z )  ->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  (
f `  y )  ->  E. h ( h : ( cf `  B
) --> A  /\  A. x  e.  A  E. z  e.  ( cf `  B ) x  C_  ( h `  z
) ) ) ) ) )
5352com24 83 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : B --> A  /\  Smo  f )  ->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  ( f `  y )  ->  ( A. y  e.  B  E. z  e.  ( cf `  B ) y 
C_  ( g `  z )  ->  (
g : ( cf `  B ) --> B  ->  E. h ( h : ( cf `  B
) --> A  /\  A. x  e.  A  E. z  e.  ( cf `  B ) x  C_  ( h `  z
) ) ) ) ) )
54533impia 1150 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : B --> A  /\  Smo  f  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  (
f `  y )
)  ->  ( A. y  e.  B  E. z  e.  ( cf `  B ) y  C_  ( g `  z
)  ->  ( g : ( cf `  B
) --> B  ->  E. h
( h : ( cf `  B ) --> A  /\  A. x  e.  A  E. z  e.  ( cf `  B
) x  C_  (
h `  z )
) ) ) )
5554exlimiv 1644 . . . . . . 7  |-  ( E. f ( f : B --> A  /\  Smo  f  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  (
f `  y )
)  ->  ( A. y  e.  B  E. z  e.  ( cf `  B ) y  C_  ( g `  z
)  ->  ( g : ( cf `  B
) --> B  ->  E. h
( h : ( cf `  B ) --> A  /\  A. x  e.  A  E. z  e.  ( cf `  B
) x  C_  (
h `  z )
) ) ) )
5655com13 76 . . . . . 6  |-  ( g : ( cf `  B
) --> B  ->  ( A. y  e.  B  E. z  e.  ( cf `  B ) y 
C_  ( g `  z )  ->  ( E. f ( f : B --> A  /\  Smo  f  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  (
f `  y )
)  ->  E. h
( h : ( cf `  B ) --> A  /\  A. x  e.  A  E. z  e.  ( cf `  B
) x  C_  (
h `  z )
) ) ) )
572, 56syl 16 . . . . 5  |-  ( g : ( cf `  B
) -1-1-> B  ->  ( A. y  e.  B  E. z  e.  ( cf `  B ) y  C_  ( g `  z
)  ->  ( E. f ( f : B --> A  /\  Smo  f  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  (
f `  y )
)  ->  E. h
( h : ( cf `  B ) --> A  /\  A. x  e.  A  E. z  e.  ( cf `  B
) x  C_  (
h `  z )
) ) ) )
5857imp 419 . . . 4  |-  ( ( g : ( cf `  B ) -1-1-> B  /\  A. y  e.  B  E. z  e.  ( cf `  B ) y  C_  ( g `  z
) )  ->  ( E. f ( f : B --> A  /\  Smo  f  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  (
f `  y )
)  ->  E. h
( h : ( cf `  B ) --> A  /\  A. x  e.  A  E. z  e.  ( cf `  B
) x  C_  (
h `  z )
) ) )
5958exlimiv 1644 . . 3  |-  ( E. g ( g : ( cf `  B
) -1-1-> B  /\  A. y  e.  B  E. z  e.  ( cf `  B
) y  C_  (
g `  z )
)  ->  ( E. f ( f : B --> A  /\  Smo  f  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  (
f `  y )
)  ->  E. h
( h : ( cf `  B ) --> A  /\  A. x  e.  A  E. z  e.  ( cf `  B
) x  C_  (
h `  z )
) ) )
601, 59syl 16 . 2  |-  ( B  e.  On  ->  ( E. f ( f : B --> A  /\  Smo  f  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  (
f `  y )
)  ->  E. h
( h : ( cf `  B ) --> A  /\  A. x  e.  A  E. z  e.  ( cf `  B
) x  C_  (
h `  z )
) ) )
61 cfon 8135 . . 3  |-  ( cf `  B )  e.  On
62 cfflb 8139 . . 3  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( cf `  B )  e.  On )  -> 
( E. h ( h : ( cf `  B ) --> A  /\  A. x  e.  A  E. z  e.  ( cf `  B ) x  C_  ( h `  z
) )  ->  ( cf `  A )  C_  ( cf `  B ) ) )
6361, 62mpan2 653 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  ( E. h ( h : ( cf `  B
) --> A  /\  A. x  e.  A  E. z  e.  ( cf `  B ) x  C_  ( h `  z
) )  ->  ( cf `  A )  C_  ( cf `  B ) ) )
6460, 63sylan9r 640 1  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( E. f ( f : B --> A  /\  Smo  f  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  (
f `  y )
)  ->  ( cf `  A )  C_  ( cf `  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   E.wrex 2706    C_ wss 3320   Oncon0 4581    o. ccom 4882    Fn wfn 5449   -->wf 5450   -1-1->wf1 5451   ` cfv 5454   Smo wsmo 6607   cfccf 7824
This theorem is referenced by:  cfcof  8154  cfidm  8155
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-suc 4587  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-smo 6608  df-recs 6633  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-card 7826  df-cf 7828  df-acn 7829
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