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Theorem cfeq0 8100
Description: Only the ordinal zero has cofinality zero. (Contributed by NM, 24-Apr-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
cfeq0  |-  ( A  e.  On  ->  (
( cf `  A
)  =  (/)  <->  A  =  (/) ) )

Proof of Theorem cfeq0
Dummy variables  v  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cfval 8091 . . . 4  |-  ( A  e.  On  ->  ( cf `  A )  = 
|^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) ) } )
21eqeq1d 2420 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  (
( cf `  A
)  =  (/)  <->  |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) ) }  =  (/) ) )
3 vex 2927 . . . . . . . . 9  |-  v  e. 
_V
4 eqeq1 2418 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  v  ->  (
x  =  ( card `  y )  <->  v  =  ( card `  y )
) )
54anbi1d 686 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  v  ->  (
( x  =  (
card `  y )  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y 
z  C_  w )
)  <->  ( v  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) ) ) )
65exbidv 1633 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  v  ->  ( E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) )  <->  E. y
( v  =  (
card `  y )  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y 
z  C_  w )
) ) )
73, 6elab 3050 . . . . . . . 8  |-  ( v  e.  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) ) }  <->  E. y ( v  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) ) )
8 fveq2 5695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  ( card `  y
)  ->  ( card `  v )  =  (
card `  ( card `  y ) ) )
9 cardidm 7810 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( card `  ( card `  y
) )  =  (
card `  y )
108, 9syl6eq 2460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  ( card `  y
)  ->  ( card `  v )  =  (
card `  y )
)
11 eqeq2 2421 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  ( card `  y
)  ->  ( ( card `  v )  =  v  <->  ( card `  v
)  =  ( card `  y ) ) )
1210, 11mpbird 224 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  ( card `  y
)  ->  ( card `  v )  =  v )
1312adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  =  ( card `  y )  /\  (
y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) )  -> 
( card `  v )  =  v )
1413exlimiv 1641 . . . . . . . 8  |-  ( E. y ( v  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) )  -> 
( card `  v )  =  v )
157, 14sylbi 188 . . . . . . 7  |-  ( v  e.  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) ) }  ->  ( card `  v
)  =  v )
16 cardon 7795 . . . . . . 7  |-  ( card `  v )  e.  On
1715, 16syl6eqelr 2501 . . . . . 6  |-  ( v  e.  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) ) }  ->  v  e.  On )
1817ssriv 3320 . . . . 5  |-  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) ) } 
C_  On
19 onint0 4743 . . . . 5  |-  ( { x  |  E. y
( x  =  (
card `  y )  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y 
z  C_  w )
) }  C_  On  ->  ( |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) ) }  =  (/)  <->  (/)  e.  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) ) } ) )
2018, 19ax-mp 8 . . . 4  |-  ( |^| { x  |  E. y
( x  =  (
card `  y )  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y 
z  C_  w )
) }  =  (/)  <->  (/)  e.  {
x  |  E. y
( x  =  (
card `  y )  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y 
z  C_  w )
) } )
21 0ex 4307 . . . . . 6  |-  (/)  e.  _V
22 eqeq1 2418 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x  =  ( card `  y
)  <->  (/)  =  ( card `  y ) ) )
2322anbi1d 686 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( x  =  ( card `  y )  /\  (
y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) )  <->  ( (/)  =  (
card `  y )  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y 
z  C_  w )
) ) )
2423exbidv 1633 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) )  <->  E. y
( (/)  =  ( card `  y )  /\  (
y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) ) ) )
2521, 24elab 3050 . . . . 5  |-  ( (/)  e.  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) ) }  <->  E. y ( (/)  =  (
card `  y )  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y 
z  C_  w )
) )
26 onss 4738 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  On  ->  A  C_  On )
27 sstr 3324 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  C_  A  /\  A  C_  On )  -> 
y  C_  On )
2827ancoms 440 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  C_  On  /\  y  C_  A )  ->  y  C_  On )
2926, 28sylan 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  C_  A )  -> 
y  C_  On )
30293adant2 976 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  On  /\  (/)  =  ( card `  y
)  /\  y  C_  A )  ->  y  C_  On )
31303adant3r 1181 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  On  /\  (/)  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) )  -> 
y  C_  On )
32 simp2 958 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  On  /\  (/)  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) )  ->  (/)  =  ( card `  y
) )
33 simp3 959 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  On  /\  (/)  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) )  -> 
( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y 
z  C_  w )
)
34 eqcom 2414 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (/)  =  ( card `  y
)  <->  ( card `  y
)  =  (/) )
35 vex 2927 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  y  e. 
_V
36 onssnum 7885 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  _V  /\  y  C_  On )  -> 
y  e.  dom  card )
3735, 36mpan 652 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y 
C_  On  ->  y  e. 
dom  card )
38 cardnueq0 7815 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  dom  card  ->  ( ( card `  y
)  =  (/)  <->  y  =  (/) ) )
3937, 38syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y 
C_  On  ->  ( (
card `  y )  =  (/)  <->  y  =  (/) ) )
4034, 39syl5bb 249 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y 
C_  On  ->  ( (/)  =  ( card `  y
)  <->  y  =  (/) ) )
4140biimpa 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  C_  On  /\  (/)  =  (
card `  y )
)  ->  y  =  (/) )
42 sseq1 3337 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  (/)  ->  ( y 
C_  A  <->  (/)  C_  A
) )
43 rexeq 2873 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  (/)  ->  ( E. w  e.  y  z 
C_  w  <->  E. w  e.  (/)  z  C_  w
) )
4443ralbidv 2694 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  (/)  ->  ( A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w  <->  A. z  e.  A  E. w  e.  (/)  z  C_  w ) )
4542, 44anbi12d 692 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  (/)  ->  ( ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w )  <->  ( (/)  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  (/)  z  C_  w ) ) )
4645biimpa 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  =  (/)  /\  (
y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) )  -> 
( (/)  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  (/)  z  C_  w ) )
4741, 46sylan 458 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  C_  On  /\  (/)  =  ( card `  y
) )  /\  (
y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) )  -> 
( (/)  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  (/)  z  C_  w ) )
48 rex0 3609 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -.  E. w  e.  (/)  z  C_  w
4948rgenw 2741 . . . . . . . . . . . . 13  |-  A. z  e.  A  -.  E. w  e.  (/)  z  C_  w
50 r19.2z 3685 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. z  e.  A  -.  E. w  e.  (/)  z  C_  w )  ->  E. z  e.  A  -.  E. w  e.  (/)  z  C_  w
)
5149, 50mpan2 653 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  =/=  (/)  ->  E. z  e.  A  -.  E. w  e.  (/)  z  C_  w
)
52 rexnal 2685 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. z  e.  A  -.  E. w  e.  (/)  z  C_  w 
<->  -.  A. z  e.  A  E. w  e.  (/)  z  C_  w )
5351, 52sylib 189 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  =/=  (/)  ->  -.  A. z  e.  A  E. w  e.  (/)  z  C_  w
)
5453necon4ai 2634 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. z  e.  A  E. w  e.  (/)  z  C_  w  ->  A  =  (/) )
5554adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
(/)  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  (/)  z  C_  w )  ->  A  =  (/) )
5647, 55syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  C_  On  /\  (/)  =  ( card `  y
) )  /\  (
y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) )  ->  A  =  (/) )
5731, 32, 33, 56syl21anc 1183 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  On  /\  (/)  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) )  ->  A  =  (/) )
58573expib 1156 . . . . . 6  |-  ( A  e.  On  ->  (
( (/)  =  ( card `  y )  /\  (
y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) )  ->  A  =  (/) ) )
5958exlimdv 1643 . . . . 5  |-  ( A  e.  On  ->  ( E. y ( (/)  =  (
card `  y )  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y 
z  C_  w )
)  ->  A  =  (/) ) )
6025, 59syl5bi 209 . . . 4  |-  ( A  e.  On  ->  ( (/) 
e.  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) ) }  ->  A  =  (/) ) )
6120, 60syl5bi 209 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  ( |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) ) }  =  (/)  ->  A  =  (/) ) )
622, 61sylbid 207 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  (
( cf `  A
)  =  (/)  ->  A  =  (/) ) )
63 fveq2 5695 . . 3  |-  ( A  =  (/)  ->  ( cf `  A )  =  ( cf `  (/) ) )
64 cf0 8095 . . 3  |-  ( cf `  (/) )  =  (/)
6563, 64syl6eq 2460 . 2  |-  ( A  =  (/)  ->  ( cf `  A )  =  (/) )
6662, 65impbid1 195 1  |-  ( A  e.  On  ->  (
( cf `  A
)  =  (/)  <->  A  =  (/) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721   {cab 2398    =/= wne 2575   A.wral 2674   E.wrex 2675   _Vcvv 2924    C_ wss 3288   (/)c0 3596   |^|cint 4018   Oncon0 4549   dom cdm 4845   ` cfv 5421   cardccrd 7786   cfccf 7788
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-se 4510  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-suc 4555  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-riota 6516  df-recs 6600  df-er 6872  df-en 7077  df-dom 7078  df-card 7790  df-cf 7792
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