Theorem cfeq0 8100

Description: Only the ordinal zero has cofinality zero. (Contributed by NM, 24-Apr-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Feb-2013.)

Assertion

Ref	Expression
cfeq0	|- ( A e. On -> ( ( cf ` A ) = (/) <-> A = (/) ) )

Proof of Theorem cfeq0

Dummy variables v w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cfval 8091	. . . 4 |- ( A e. On -> ( cf ` A ) = |^| { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) } )
2	1	eqeq1d 2420	. . 3 |- ( A e. On -> ( ( cf ` A ) = (/) <-> |^| { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) } = (/) ) )
3		vex 2927	. . . . . . . . 9 |- v e. _V
4		eqeq1 2418	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = v -> ( x = ( card ` y ) <-> v = ( card ` y ) ) )
5	4	anbi1d 686	. . . . . . . . . 10 |- ( x = v -> ( ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) <-> ( v = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) ) )
6	5	exbidv 1633	. . . . . . . . 9 |- ( x = v -> ( E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) <-> E. y ( v = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) ) )
7	3, 6	elab 3050	. . . . . . . 8 |- ( v e. { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) } <-> E. y ( v = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) )
8		fveq2 5695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v = ( card ` y ) -> ( card ` v ) = ( card ` ( card ` y ) ) )
9		cardidm 7810	. . . . . . . . . . . 12 |- ( card ` ( card ` y ) ) = ( card ` y )
10	8, 9	syl6eq 2460	. . . . . . . . . . 11 |- ( v = ( card ` y ) -> ( card ` v ) = ( card ` y ) )
11		eqeq2 2421	. . . . . . . . . . 11 |- ( v = ( card ` y ) -> ( ( card ` v ) = v <-> ( card ` v ) = ( card ` y ) ) )
12	10, 11	mpbird 224	. . . . . . . . . 10 |- ( v = ( card ` y ) -> ( card ` v ) = v )
13	12	adantr 452	. . . . . . . . 9 |- ( ( v = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) -> ( card ` v ) = v )
14	13	exlimiv 1641	. . . . . . . 8 |- ( E. y ( v = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) -> ( card ` v ) = v )
15	7, 14	sylbi 188	. . . . . . 7 |- ( v e. { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) } -> ( card ` v ) = v )
16		cardon 7795	. . . . . . 7 |- ( card ` v ) e. On
17	15, 16	syl6eqelr 2501	. . . . . 6 |- ( v e. { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) } -> v e. On )
18	17	ssriv 3320	. . . . 5 |- { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) } C_ On
19		onint0 4743	. . . . 5 |- ( { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) } C_ On -> ( |^| { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) } = (/) <-> (/) e. { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) } ) )
20	18, 19	ax-mp 8	. . . 4 |- ( |^| { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) } = (/) <-> (/) e. { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) } )
21		0ex 4307	. . . . . 6 |- (/) e. _V
22		eqeq1 2418	. . . . . . . 8 |- ( x = (/) -> ( x = ( card ` y ) <-> (/) = ( card ` y ) ) )
23	22	anbi1d 686	. . . . . . 7 |- ( x = (/) -> ( ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) <-> ( (/) = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) ) )
24	23	exbidv 1633	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> ( E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) <-> E. y ( (/) = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) ) )
25	21, 24	elab 3050	. . . . 5 |- ( (/) e. { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) } <-> E. y ( (/) = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) )
26		onss 4738	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. On -> A C_ On )
27		sstr 3324	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y C_ A /\ A C_ On ) -> y C_ On )
28	27	ancoms 440	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A C_ On /\ y C_ A ) -> y C_ On )
29	26, 28	sylan 458	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. On /\ y C_ A ) -> y C_ On )
30	29	3adant2 976	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. On /\ (/) = ( card ` y ) /\ y C_ A ) -> y C_ On )
31	30	3adant3r 1181	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. On /\ (/) = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) -> y C_ On )
32		simp2 958	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. On /\ (/) = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) -> (/) = ( card ` y ) )
33		simp3 959	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. On /\ (/) = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) -> ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) )
34		eqcom 2414	. . . . . . . . . . . 12 |- ( (/) = ( card ` y ) <-> ( card ` y ) = (/) )
35		vex 2927	. . . . . . . . . . . . . 14 |- y e. _V
36		onssnum 7885	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. _V /\ y C_ On ) -> y e. dom card )
37	35, 36	mpan 652	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y C_ On -> y e. dom card )
38		cardnueq0 7815	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. dom card -> ( ( card ` y ) = (/) <-> y = (/) ) )
39	37, 38	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y C_ On -> ( ( card ` y ) = (/) <-> y = (/) ) )
40	34, 39	syl5bb 249	. . . . . . . . . . 11 |- ( y C_ On -> ( (/) = ( card ` y ) <-> y = (/) ) )
41	40	biimpa 471	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y C_ On /\ (/) = ( card ` y ) ) -> y = (/) )
42		sseq1 3337	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = (/) -> ( y C_ A <-> (/) C_ A ) )
43		rexeq 2873	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = (/) -> ( E. w e. y z C_ w <-> E. w e. (/) z C_ w ) )
44	43	ralbidv 2694	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = (/) -> ( A. z e. A E. w e. y z C_ w <-> A. z e. A E. w e. (/) z C_ w ) )
45	42, 44	anbi12d 692	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = (/) -> ( ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) <-> ( (/) C_ A /\ A. z e. A E. w e. (/) z C_ w ) ) )
46	45	biimpa 471	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y = (/) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) -> ( (/) C_ A /\ A. z e. A E. w e. (/) z C_ w ) )
47	41, 46	sylan 458	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y C_ On /\ (/) = ( card ` y ) ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) -> ( (/) C_ A /\ A. z e. A E. w e. (/) z C_ w ) )
48		rex0 3609	. . . . . . . . . . . . . 14 |- -. E. w e. (/) z C_ w
49	48	rgenw 2741	. . . . . . . . . . . . 13 |- A. z e. A -. E. w e. (/) z C_ w
50		r19.2z 3685	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A =/= (/) /\ A. z e. A -. E. w e. (/) z C_ w ) -> E. z e. A -. E. w e. (/) z C_ w )
51	49, 50	mpan2 653	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A =/= (/) -> E. z e. A -. E. w e. (/) z C_ w )
52		rexnal 2685	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. z e. A -. E. w e. (/) z C_ w <-> -. A. z e. A E. w e. (/) z C_ w )
53	51, 52	sylib 189	. . . . . . . . . . 11 |- ( A =/= (/) -> -. A. z e. A E. w e. (/) z C_ w )
54	53	necon4ai 2634	. . . . . . . . . 10 |- ( A. z e. A E. w e. (/) z C_ w -> A = (/) )
55	54	adantl 453	. . . . . . . . 9 |- ( ( (/) C_ A /\ A. z e. A E. w e. (/) z C_ w ) -> A = (/) )
56	47, 55	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y C_ On /\ (/) = ( card ` y ) ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) -> A = (/) )
57	31, 32, 33, 56	syl21anc 1183	. . . . . . 7 |- ( ( A e. On /\ (/) = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) -> A = (/) )
58	57	3expib 1156	. . . . . 6 |- ( A e. On -> ( ( (/) = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) -> A = (/) ) )
59	58	exlimdv 1643	. . . . 5 |- ( A e. On -> ( E. y ( (/) = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) -> A = (/) ) )
60	25, 59	syl5bi 209	. . . 4 |- ( A e. On -> ( (/) e. { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) } -> A = (/) ) )
61	20, 60	syl5bi 209	. . 3 |- ( A e. On -> ( |^| { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) } = (/) -> A = (/) ) )
62	2, 61	sylbid 207	. 2 |- ( A e. On -> ( ( cf ` A ) = (/) -> A = (/) ) )
63		fveq2 5695	. . 3 |- ( A = (/) -> ( cf ` A ) = ( cf ` (/) ) )
64		cf0 8095	. . 3 |- ( cf ` (/) ) = (/)
65	63, 64	syl6eq 2460	. 2 |- ( A = (/) -> ( cf ` A ) = (/) )
66	62, 65	impbid1 195	1 |- ( A e. On -> ( ( cf ` A ) = (/) <-> A = (/) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   /\ w3a 936   E.wex 1547   = wceq 1649   e. wcel 1721   {cab 2398   =/= wne 2575   A.wral 2674   E.wrex 2675   _Vcvv 2924   C_ wss 3288   (/)c0 3596   |^|cint 4018   Oncon0 4549   dom cdm 4845   ` cfv 5421   cardccrd 7786   cfccf 7788

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-se 4510  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-suc 4555  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-riota 6516  df-recs 6600  df-er 6872  df-en 7077  df-dom 7078  df-card 7790  df-cf 7792