Theorem cfeq0 8141

Description: Only the ordinal zero has cofinality zero. (Contributed by NM, 24-Apr-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Feb-2013.)

Assertion

Ref	Expression
cfeq0	|- ( A e. On -> ( ( cf ` A ) = (/) <-> A = (/) ) )

Proof of Theorem cfeq0

Dummy variables v w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cfval 8132	. . . 4 |- ( A e. On -> ( cf ` A ) = |^| { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) } )
2	1	eqeq1d 2446	. . 3 |- ( A e. On -> ( ( cf ` A ) = (/) <-> |^| { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) } = (/) ) )
3		vex 2961	. . . . . . . . 9 |- v e. _V
4		eqeq1 2444	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = v -> ( x = ( card ` y ) <-> v = ( card ` y ) ) )
5	4	anbi1d 687	. . . . . . . . . 10 |- ( x = v -> ( ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) <-> ( v = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) ) )
6	5	exbidv 1637	. . . . . . . . 9 |- ( x = v -> ( E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) <-> E. y ( v = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) ) )
7	3, 6	elab 3084	. . . . . . . 8 |- ( v e. { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) } <-> E. y ( v = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) )
8		fveq2 5731	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v = ( card ` y ) -> ( card ` v ) = ( card ` ( card ` y ) ) )
9		cardidm 7851	. . . . . . . . . . . 12 |- ( card ` ( card ` y ) ) = ( card ` y )
10	8, 9	syl6eq 2486	. . . . . . . . . . 11 |- ( v = ( card ` y ) -> ( card ` v ) = ( card ` y ) )
11		eqeq2 2447	. . . . . . . . . . 11 |- ( v = ( card ` y ) -> ( ( card ` v ) = v <-> ( card ` v ) = ( card ` y ) ) )
12	10, 11	mpbird 225	. . . . . . . . . 10 |- ( v = ( card ` y ) -> ( card ` v ) = v )
13	12	adantr 453	. . . . . . . . 9 |- ( ( v = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) -> ( card ` v ) = v )
14	13	exlimiv 1645	. . . . . . . 8 |- ( E. y ( v = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) -> ( card ` v ) = v )
15	7, 14	sylbi 189	. . . . . . 7 |- ( v e. { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) } -> ( card ` v ) = v )
16		cardon 7836	. . . . . . 7 |- ( card ` v ) e. On
17	15, 16	syl6eqelr 2527	. . . . . 6 |- ( v e. { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) } -> v e. On )
18	17	ssriv 3354	. . . . 5 |- { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) } C_ On
19		onint0 4779	. . . . 5 |- ( { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) } C_ On -> ( |^| { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) } = (/) <-> (/) e. { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) } ) )
20	18, 19	ax-mp 5	. . . 4 |- ( |^| { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) } = (/) <-> (/) e. { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) } )
21		0ex 4342	. . . . . 6 |- (/) e. _V
22		eqeq1 2444	. . . . . . . 8 |- ( x = (/) -> ( x = ( card ` y ) <-> (/) = ( card ` y ) ) )
23	22	anbi1d 687	. . . . . . 7 |- ( x = (/) -> ( ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) <-> ( (/) = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) ) )
24	23	exbidv 1637	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> ( E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) <-> E. y ( (/) = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) ) )
25	21, 24	elab 3084	. . . . 5 |- ( (/) e. { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) } <-> E. y ( (/) = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) )
26		onss 4774	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. On -> A C_ On )
27		sstr 3358	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y C_ A /\ A C_ On ) -> y C_ On )
28	27	ancoms 441	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A C_ On /\ y C_ A ) -> y C_ On )
29	26, 28	sylan 459	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. On /\ y C_ A ) -> y C_ On )
30	29	3adant2 977	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. On /\ (/) = ( card ` y ) /\ y C_ A ) -> y C_ On )
31	30	3adant3r 1182	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. On /\ (/) = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) -> y C_ On )
32		simp2 959	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. On /\ (/) = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) -> (/) = ( card ` y ) )
33		simp3 960	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. On /\ (/) = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) -> ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) )
34		eqcom 2440	. . . . . . . . . . . 12 |- ( (/) = ( card ` y ) <-> ( card ` y ) = (/) )
35		vex 2961	. . . . . . . . . . . . . 14 |- y e. _V
36		onssnum 7926	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. _V /\ y C_ On ) -> y e. dom card )
37	35, 36	mpan 653	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y C_ On -> y e. dom card )
38		cardnueq0 7856	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. dom card -> ( ( card ` y ) = (/) <-> y = (/) ) )
39	37, 38	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y C_ On -> ( ( card ` y ) = (/) <-> y = (/) ) )
40	34, 39	syl5bb 250	. . . . . . . . . . 11 |- ( y C_ On -> ( (/) = ( card ` y ) <-> y = (/) ) )
41	40	biimpa 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y C_ On /\ (/) = ( card ` y ) ) -> y = (/) )
42		sseq1 3371	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = (/) -> ( y C_ A <-> (/) C_ A ) )
43		rexeq 2907	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = (/) -> ( E. w e. y z C_ w <-> E. w e. (/) z C_ w ) )
44	43	ralbidv 2727	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = (/) -> ( A. z e. A E. w e. y z C_ w <-> A. z e. A E. w e. (/) z C_ w ) )
45	42, 44	anbi12d 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = (/) -> ( ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) <-> ( (/) C_ A /\ A. z e. A E. w e. (/) z C_ w ) ) )
46	45	biimpa 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y = (/) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) -> ( (/) C_ A /\ A. z e. A E. w e. (/) z C_ w ) )
47	41, 46	sylan 459	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y C_ On /\ (/) = ( card ` y ) ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) -> ( (/) C_ A /\ A. z e. A E. w e. (/) z C_ w ) )
48		rex0 3643	. . . . . . . . . . . . . 14 |- -. E. w e. (/) z C_ w
49	48	rgenw 2775	. . . . . . . . . . . . 13 |- A. z e. A -. E. w e. (/) z C_ w
50		r19.2z 3719	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A =/= (/) /\ A. z e. A -. E. w e. (/) z C_ w ) -> E. z e. A -. E. w e. (/) z C_ w )
51	49, 50	mpan2 654	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A =/= (/) -> E. z e. A -. E. w e. (/) z C_ w )
52		rexnal 2718	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. z e. A -. E. w e. (/) z C_ w <-> -. A. z e. A E. w e. (/) z C_ w )
53	51, 52	sylib 190	. . . . . . . . . . 11 |- ( A =/= (/) -> -. A. z e. A E. w e. (/) z C_ w )
54	53	necon4ai 2665	. . . . . . . . . 10 |- ( A. z e. A E. w e. (/) z C_ w -> A = (/) )
55	54	adantl 454	. . . . . . . . 9 |- ( ( (/) C_ A /\ A. z e. A E. w e. (/) z C_ w ) -> A = (/) )
56	47, 55	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y C_ On /\ (/) = ( card ` y ) ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) -> A = (/) )
57	31, 32, 33, 56	syl21anc 1184	. . . . . . 7 |- ( ( A e. On /\ (/) = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) -> A = (/) )
58	57	3expib 1157	. . . . . 6 |- ( A e. On -> ( ( (/) = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) -> A = (/) ) )
59	58	exlimdv 1647	. . . . 5 |- ( A e. On -> ( E. y ( (/) = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) -> A = (/) ) )
60	25, 59	syl5bi 210	. . . 4 |- ( A e. On -> ( (/) e. { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) } -> A = (/) ) )
61	20, 60	syl5bi 210	. . 3 |- ( A e. On -> ( |^| { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) } = (/) -> A = (/) ) )
62	2, 61	sylbid 208	. 2 |- ( A e. On -> ( ( cf ` A ) = (/) -> A = (/) ) )
63		fveq2 5731	. . 3 |- ( A = (/) -> ( cf ` A ) = ( cf ` (/) ) )
64		cf0 8136	. . 3 |- ( cf ` (/) ) = (/)
65	63, 64	syl6eq 2486	. 2 |- ( A = (/) -> ( cf ` A ) = (/) )
66	62, 65	impbid1 196	1 |- ( A e. On -> ( ( cf ` A ) = (/) <-> A = (/) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 178   /\ wa 360   /\ w3a 937   E.wex 1551   = wceq 1653   e. wcel 1726   {cab 2424   =/= wne 2601   A.wral 2707   E.wrex 2708   _Vcvv 2958   C_ wss 3322   (/)c0 3630   |^|cint 4052   Oncon0 4584   dom cdm 4881   ` cfv 5457   cardccrd 7827   cfccf 7829

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704

This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-suc 4590  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-riota 6552  df-recs 6636  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-card 7831  df-cf 7833