Theorem cfeq0 7882

Description: Only the ordinal zero has cofinality zero. (Contributed by NM, 24-Apr-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Feb-2013.)

Assertion

Ref	Expression
cfeq0	|- ( A e. On -> ( ( cf ` A ) = (/) <-> A = (/) ) )

Proof of Theorem cfeq0

Dummy variables v w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cfval 7873	. . . 4 |- ( A e. On -> ( cf ` A ) = |^| { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) } )
2	1	eqeq1d 2291	. . 3 |- ( A e. On -> ( ( cf ` A ) = (/) <-> |^| { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) } = (/) ) )
3		vex 2791	. . . . . . . . 9 |- v e. _V
4		eqeq1 2289	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = v -> ( x = ( card ` y ) <-> v = ( card ` y ) ) )
5	4	anbi1d 685	. . . . . . . . . 10 |- ( x = v -> ( ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) <-> ( v = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) ) )
6	5	exbidv 1612	. . . . . . . . 9 |- ( x = v -> ( E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) <-> E. y ( v = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) ) )
7	3, 6	elab 2914	. . . . . . . 8 |- ( v e. { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) } <-> E. y ( v = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) )
8		fveq2 5525	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v = ( card ` y ) -> ( card ` v ) = ( card ` ( card ` y ) ) )
9		cardidm 7592	. . . . . . . . . . . 12 |- ( card ` ( card ` y ) ) = ( card ` y )
10	8, 9	syl6eq 2331	. . . . . . . . . . 11 |- ( v = ( card ` y ) -> ( card ` v ) = ( card ` y ) )
11		eqeq2 2292	. . . . . . . . . . 11 |- ( v = ( card ` y ) -> ( ( card ` v ) = v <-> ( card ` v ) = ( card ` y ) ) )
12	10, 11	mpbird 223	. . . . . . . . . 10 |- ( v = ( card ` y ) -> ( card ` v ) = v )
13	12	adantr 451	. . . . . . . . 9 |- ( ( v = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) -> ( card ` v ) = v )
14	13	exlimiv 1666	. . . . . . . 8 |- ( E. y ( v = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) -> ( card ` v ) = v )
15	7, 14	sylbi 187	. . . . . . 7 |- ( v e. { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) } -> ( card ` v ) = v )
16		cardon 7577	. . . . . . 7 |- ( card ` v ) e. On
17	15, 16	syl6eqelr 2372	. . . . . 6 |- ( v e. { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) } -> v e. On )
18	17	ssriv 3184	. . . . 5 |- { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) } C_ On
19		onint0 4587	. . . . 5 |- ( { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) } C_ On -> ( |^| { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) } = (/) <-> (/) e. { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) } ) )
20	18, 19	ax-mp 8	. . . 4 |- ( |^| { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) } = (/) <-> (/) e. { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) } )
21		0ex 4150	. . . . . 6 |- (/) e. _V
22		eqeq1 2289	. . . . . . . 8 |- ( x = (/) -> ( x = ( card ` y ) <-> (/) = ( card ` y ) ) )
23	22	anbi1d 685	. . . . . . 7 |- ( x = (/) -> ( ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) <-> ( (/) = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) ) )
24	23	exbidv 1612	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> ( E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) <-> E. y ( (/) = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) ) )
25	21, 24	elab 2914	. . . . 5 |- ( (/) e. { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) } <-> E. y ( (/) = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) )
26		onss 4582	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. On -> A C_ On )
27		sstr 3187	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y C_ A /\ A C_ On ) -> y C_ On )
28	27	ancoms 439	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A C_ On /\ y C_ A ) -> y C_ On )
29	26, 28	sylan 457	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. On /\ y C_ A ) -> y C_ On )
30	29	3adant2 974	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. On /\ (/) = ( card ` y ) /\ y C_ A ) -> y C_ On )
31	30	3adant3r 1179	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. On /\ (/) = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) -> y C_ On )
32		simp2 956	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. On /\ (/) = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) -> (/) = ( card ` y ) )
33		simp3 957	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. On /\ (/) = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) -> ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) )
34		eqcom 2285	. . . . . . . . . . . 12 |- ( (/) = ( card ` y ) <-> ( card ` y ) = (/) )
35		vex 2791	. . . . . . . . . . . . . 14 |- y e. _V
36		onssnum 7667	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. _V /\ y C_ On ) -> y e. dom card )
37	35, 36	mpan 651	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y C_ On -> y e. dom card )
38		cardnueq0 7597	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. dom card -> ( ( card ` y ) = (/) <-> y = (/) ) )
39	37, 38	syl 15	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y C_ On -> ( ( card ` y ) = (/) <-> y = (/) ) )
40	34, 39	syl5bb 248	. . . . . . . . . . 11 |- ( y C_ On -> ( (/) = ( card ` y ) <-> y = (/) ) )
41	40	biimpa 470	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y C_ On /\ (/) = ( card ` y ) ) -> y = (/) )
42		sseq1 3199	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = (/) -> ( y C_ A <-> (/) C_ A ) )
43		rexeq 2737	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = (/) -> ( E. w e. y z C_ w <-> E. w e. (/) z C_ w ) )
44	43	ralbidv 2563	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = (/) -> ( A. z e. A E. w e. y z C_ w <-> A. z e. A E. w e. (/) z C_ w ) )
45	42, 44	anbi12d 691	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = (/) -> ( ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) <-> ( (/) C_ A /\ A. z e. A E. w e. (/) z C_ w ) ) )
46	45	biimpa 470	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y = (/) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) -> ( (/) C_ A /\ A. z e. A E. w e. (/) z C_ w ) )
47	41, 46	sylan 457	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y C_ On /\ (/) = ( card ` y ) ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) -> ( (/) C_ A /\ A. z e. A E. w e. (/) z C_ w ) )
48		rex0 3468	. . . . . . . . . . . . . 14 |- -. E. w e. (/) z C_ w
49	48	rgenw 2610	. . . . . . . . . . . . 13 |- A. z e. A -. E. w e. (/) z C_ w
50		r19.2z 3543	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A =/= (/) /\ A. z e. A -. E. w e. (/) z C_ w ) -> E. z e. A -. E. w e. (/) z C_ w )
51	49, 50	mpan2 652	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A =/= (/) -> E. z e. A -. E. w e. (/) z C_ w )
52		rexnal 2554	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. z e. A -. E. w e. (/) z C_ w <-> -. A. z e. A E. w e. (/) z C_ w )
53	51, 52	sylib 188	. . . . . . . . . . 11 |- ( A =/= (/) -> -. A. z e. A E. w e. (/) z C_ w )
54	53	necon4ai 2505	. . . . . . . . . 10 |- ( A. z e. A E. w e. (/) z C_ w -> A = (/) )
55	54	adantl 452	. . . . . . . . 9 |- ( ( (/) C_ A /\ A. z e. A E. w e. (/) z C_ w ) -> A = (/) )
56	47, 55	syl 15	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y C_ On /\ (/) = ( card ` y ) ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) -> A = (/) )
57	31, 32, 33, 56	syl21anc 1181	. . . . . . 7 |- ( ( A e. On /\ (/) = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) -> A = (/) )
58	57	3expib 1154	. . . . . 6 |- ( A e. On -> ( ( (/) = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) -> A = (/) ) )
59	58	exlimdv 1664	. . . . 5 |- ( A e. On -> ( E. y ( (/) = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) -> A = (/) ) )
60	25, 59	syl5bi 208	. . . 4 |- ( A e. On -> ( (/) e. { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) } -> A = (/) ) )
61	20, 60	syl5bi 208	. . 3 |- ( A e. On -> ( |^| { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) } = (/) -> A = (/) ) )
62	2, 61	sylbid 206	. 2 |- ( A e. On -> ( ( cf ` A ) = (/) -> A = (/) ) )
63		fveq2 5525	. . 3 |- ( A = (/) -> ( cf ` A ) = ( cf ` (/) ) )
64		cf0 7877	. . 3 |- ( cf ` (/) ) = (/)
65	63, 64	syl6eq 2331	. 2 |- ( A = (/) -> ( cf ` A ) = (/) )
66	62, 65	impbid1 194	1 |- ( A e. On -> ( ( cf ` A ) = (/) <-> A = (/) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 176   /\ wa 358   /\ w3a 934   E.wex 1528   = wceq 1623   e. wcel 1684   {cab 2269   =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788   C_ wss 3152   (/)c0 3455   |^|cint 3862   Oncon0 4392   dom cdm 4689   ` cfv 5255   cardccrd 7568   cfccf 7570

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-suc 4398  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-riota 6304  df-recs 6388  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-card 7572  df-cf 7574