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Theorem cfeq0 7882
Description: Only the ordinal zero has cofinality zero. (Contributed by NM, 24-Apr-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
cfeq0  |-  ( A  e.  On  ->  (
( cf `  A
)  =  (/)  <->  A  =  (/) ) )

Proof of Theorem cfeq0
Dummy variables  v  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cfval 7873 . . . 4  |-  ( A  e.  On  ->  ( cf `  A )  = 
|^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) ) } )
21eqeq1d 2291 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  (
( cf `  A
)  =  (/)  <->  |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) ) }  =  (/) ) )
3 vex 2791 . . . . . . . . 9  |-  v  e. 
_V
4 eqeq1 2289 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  v  ->  (
x  =  ( card `  y )  <->  v  =  ( card `  y )
) )
54anbi1d 685 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  v  ->  (
( x  =  (
card `  y )  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y 
z  C_  w )
)  <->  ( v  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) ) ) )
65exbidv 1612 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  v  ->  ( E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) )  <->  E. y
( v  =  (
card `  y )  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y 
z  C_  w )
) ) )
73, 6elab 2914 . . . . . . . 8  |-  ( v  e.  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) ) }  <->  E. y ( v  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) ) )
8 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  ( card `  y
)  ->  ( card `  v )  =  (
card `  ( card `  y ) ) )
9 cardidm 7592 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( card `  ( card `  y
) )  =  (
card `  y )
108, 9syl6eq 2331 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  ( card `  y
)  ->  ( card `  v )  =  (
card `  y )
)
11 eqeq2 2292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  ( card `  y
)  ->  ( ( card `  v )  =  v  <->  ( card `  v
)  =  ( card `  y ) ) )
1210, 11mpbird 223 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  ( card `  y
)  ->  ( card `  v )  =  v )
1312adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  =  ( card `  y )  /\  (
y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) )  -> 
( card `  v )  =  v )
1413exlimiv 1666 . . . . . . . 8  |-  ( E. y ( v  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) )  -> 
( card `  v )  =  v )
157, 14sylbi 187 . . . . . . 7  |-  ( v  e.  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) ) }  ->  ( card `  v
)  =  v )
16 cardon 7577 . . . . . . 7  |-  ( card `  v )  e.  On
1715, 16syl6eqelr 2372 . . . . . 6  |-  ( v  e.  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) ) }  ->  v  e.  On )
1817ssriv 3184 . . . . 5  |-  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) ) } 
C_  On
19 onint0 4587 . . . . 5  |-  ( { x  |  E. y
( x  =  (
card `  y )  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y 
z  C_  w )
) }  C_  On  ->  ( |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) ) }  =  (/)  <->  (/)  e.  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) ) } ) )
2018, 19ax-mp 8 . . . 4  |-  ( |^| { x  |  E. y
( x  =  (
card `  y )  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y 
z  C_  w )
) }  =  (/)  <->  (/)  e.  {
x  |  E. y
( x  =  (
card `  y )  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y 
z  C_  w )
) } )
21 0ex 4150 . . . . . 6  |-  (/)  e.  _V
22 eqeq1 2289 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x  =  ( card `  y
)  <->  (/)  =  ( card `  y ) ) )
2322anbi1d 685 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( x  =  ( card `  y )  /\  (
y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) )  <->  ( (/)  =  (
card `  y )  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y 
z  C_  w )
) ) )
2423exbidv 1612 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) )  <->  E. y
( (/)  =  ( card `  y )  /\  (
y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) ) ) )
2521, 24elab 2914 . . . . 5  |-  ( (/)  e.  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) ) }  <->  E. y ( (/)  =  (
card `  y )  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y 
z  C_  w )
) )
26 onss 4582 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  On  ->  A  C_  On )
27 sstr 3187 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  C_  A  /\  A  C_  On )  -> 
y  C_  On )
2827ancoms 439 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  C_  On  /\  y  C_  A )  ->  y  C_  On )
2926, 28sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  C_  A )  -> 
y  C_  On )
30293adant2 974 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  On  /\  (/)  =  ( card `  y
)  /\  y  C_  A )  ->  y  C_  On )
31303adant3r 1179 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  On  /\  (/)  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) )  -> 
y  C_  On )
32 simp2 956 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  On  /\  (/)  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) )  ->  (/)  =  ( card `  y
) )
33 simp3 957 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  On  /\  (/)  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) )  -> 
( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y 
z  C_  w )
)
34 eqcom 2285 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (/)  =  ( card `  y
)  <->  ( card `  y
)  =  (/) )
35 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  y  e. 
_V
36 onssnum 7667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  _V  /\  y  C_  On )  -> 
y  e.  dom  card )
3735, 36mpan 651 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y 
C_  On  ->  y  e. 
dom  card )
38 cardnueq0 7597 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  dom  card  ->  ( ( card `  y
)  =  (/)  <->  y  =  (/) ) )
3937, 38syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y 
C_  On  ->  ( (
card `  y )  =  (/)  <->  y  =  (/) ) )
4034, 39syl5bb 248 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y 
C_  On  ->  ( (/)  =  ( card `  y
)  <->  y  =  (/) ) )
4140biimpa 470 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  C_  On  /\  (/)  =  (
card `  y )
)  ->  y  =  (/) )
42 sseq1 3199 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  (/)  ->  ( y 
C_  A  <->  (/)  C_  A
) )
43 rexeq 2737 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  (/)  ->  ( E. w  e.  y  z 
C_  w  <->  E. w  e.  (/)  z  C_  w
) )
4443ralbidv 2563 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  (/)  ->  ( A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w  <->  A. z  e.  A  E. w  e.  (/)  z  C_  w ) )
4542, 44anbi12d 691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  (/)  ->  ( ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w )  <->  ( (/)  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  (/)  z  C_  w ) ) )
4645biimpa 470 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  =  (/)  /\  (
y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) )  -> 
( (/)  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  (/)  z  C_  w ) )
4741, 46sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  C_  On  /\  (/)  =  ( card `  y
) )  /\  (
y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) )  -> 
( (/)  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  (/)  z  C_  w ) )
48 rex0 3468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -.  E. w  e.  (/)  z  C_  w
4948rgenw 2610 . . . . . . . . . . . . 13  |-  A. z  e.  A  -.  E. w  e.  (/)  z  C_  w
50 r19.2z 3543 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. z  e.  A  -.  E. w  e.  (/)  z  C_  w )  ->  E. z  e.  A  -.  E. w  e.  (/)  z  C_  w
)
5149, 50mpan2 652 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  =/=  (/)  ->  E. z  e.  A  -.  E. w  e.  (/)  z  C_  w
)
52 rexnal 2554 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. z  e.  A  -.  E. w  e.  (/)  z  C_  w 
<->  -.  A. z  e.  A  E. w  e.  (/)  z  C_  w )
5351, 52sylib 188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  =/=  (/)  ->  -.  A. z  e.  A  E. w  e.  (/)  z  C_  w
)
5453necon4ai 2505 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. z  e.  A  E. w  e.  (/)  z  C_  w  ->  A  =  (/) )
5554adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
(/)  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  (/)  z  C_  w )  ->  A  =  (/) )
5647, 55syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  C_  On  /\  (/)  =  ( card `  y
) )  /\  (
y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) )  ->  A  =  (/) )
5731, 32, 33, 56syl21anc 1181 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  On  /\  (/)  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) )  ->  A  =  (/) )
58573expib 1154 . . . . . 6  |-  ( A  e.  On  ->  (
( (/)  =  ( card `  y )  /\  (
y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) )  ->  A  =  (/) ) )
5958exlimdv 1664 . . . . 5  |-  ( A  e.  On  ->  ( E. y ( (/)  =  (
card `  y )  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y 
z  C_  w )
)  ->  A  =  (/) ) )
6025, 59syl5bi 208 . . . 4  |-  ( A  e.  On  ->  ( (/) 
e.  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) ) }  ->  A  =  (/) ) )
6120, 60syl5bi 208 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  ( |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) ) }  =  (/)  ->  A  =  (/) ) )
622, 61sylbid 206 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  (
( cf `  A
)  =  (/)  ->  A  =  (/) ) )
63 fveq2 5525 . . 3  |-  ( A  =  (/)  ->  ( cf `  A )  =  ( cf `  (/) ) )
64 cf0 7877 . . 3  |-  ( cf `  (/) )  =  (/)
6563, 64syl6eq 2331 . 2  |-  ( A  =  (/)  ->  ( cf `  A )  =  (/) )
6662, 65impbid1 194 1  |-  ( A  e.  On  ->  (
( cf `  A
)  =  (/)  <->  A  =  (/) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   (/)c0 3455   |^|cint 3862   Oncon0 4392   dom cdm 4689   ` cfv 5255   cardccrd 7568   cfccf 7570
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-suc 4398  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-riota 6304  df-recs 6388  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-card 7572  df-cf 7574
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