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Theorem cfeq0 8141
Description: Only the ordinal zero has cofinality zero. (Contributed by NM, 24-Apr-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
cfeq0  |-  ( A  e.  On  ->  (
( cf `  A
)  =  (/)  <->  A  =  (/) ) )

Proof of Theorem cfeq0
Dummy variables  v  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cfval 8132 . . . 4  |-  ( A  e.  On  ->  ( cf `  A )  = 
|^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) ) } )
21eqeq1d 2446 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  (
( cf `  A
)  =  (/)  <->  |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) ) }  =  (/) ) )
3 vex 2961 . . . . . . . . 9  |-  v  e. 
_V
4 eqeq1 2444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  v  ->  (
x  =  ( card `  y )  <->  v  =  ( card `  y )
) )
54anbi1d 687 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  v  ->  (
( x  =  (
card `  y )  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y 
z  C_  w )
)  <->  ( v  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) ) ) )
65exbidv 1637 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  v  ->  ( E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) )  <->  E. y
( v  =  (
card `  y )  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y 
z  C_  w )
) ) )
73, 6elab 3084 . . . . . . . 8  |-  ( v  e.  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) ) }  <->  E. y ( v  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) ) )
8 fveq2 5731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  ( card `  y
)  ->  ( card `  v )  =  (
card `  ( card `  y ) ) )
9 cardidm 7851 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( card `  ( card `  y
) )  =  (
card `  y )
108, 9syl6eq 2486 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  ( card `  y
)  ->  ( card `  v )  =  (
card `  y )
)
11 eqeq2 2447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  ( card `  y
)  ->  ( ( card `  v )  =  v  <->  ( card `  v
)  =  ( card `  y ) ) )
1210, 11mpbird 225 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  ( card `  y
)  ->  ( card `  v )  =  v )
1312adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  =  ( card `  y )  /\  (
y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) )  -> 
( card `  v )  =  v )
1413exlimiv 1645 . . . . . . . 8  |-  ( E. y ( v  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) )  -> 
( card `  v )  =  v )
157, 14sylbi 189 . . . . . . 7  |-  ( v  e.  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) ) }  ->  ( card `  v
)  =  v )
16 cardon 7836 . . . . . . 7  |-  ( card `  v )  e.  On
1715, 16syl6eqelr 2527 . . . . . 6  |-  ( v  e.  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) ) }  ->  v  e.  On )
1817ssriv 3354 . . . . 5  |-  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) ) } 
C_  On
19 onint0 4779 . . . . 5  |-  ( { x  |  E. y
( x  =  (
card `  y )  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y 
z  C_  w )
) }  C_  On  ->  ( |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) ) }  =  (/)  <->  (/)  e.  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) ) } ) )
2018, 19ax-mp 5 . . . 4  |-  ( |^| { x  |  E. y
( x  =  (
card `  y )  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y 
z  C_  w )
) }  =  (/)  <->  (/)  e.  {
x  |  E. y
( x  =  (
card `  y )  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y 
z  C_  w )
) } )
21 0ex 4342 . . . . . 6  |-  (/)  e.  _V
22 eqeq1 2444 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x  =  ( card `  y
)  <->  (/)  =  ( card `  y ) ) )
2322anbi1d 687 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( x  =  ( card `  y )  /\  (
y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) )  <->  ( (/)  =  (
card `  y )  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y 
z  C_  w )
) ) )
2423exbidv 1637 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) )  <->  E. y
( (/)  =  ( card `  y )  /\  (
y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) ) ) )
2521, 24elab 3084 . . . . 5  |-  ( (/)  e.  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) ) }  <->  E. y ( (/)  =  (
card `  y )  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y 
z  C_  w )
) )
26 onss 4774 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  On  ->  A  C_  On )
27 sstr 3358 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  C_  A  /\  A  C_  On )  -> 
y  C_  On )
2827ancoms 441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  C_  On  /\  y  C_  A )  ->  y  C_  On )
2926, 28sylan 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  C_  A )  -> 
y  C_  On )
30293adant2 977 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  On  /\  (/)  =  ( card `  y
)  /\  y  C_  A )  ->  y  C_  On )
31303adant3r 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  On  /\  (/)  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) )  -> 
y  C_  On )
32 simp2 959 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  On  /\  (/)  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) )  ->  (/)  =  ( card `  y
) )
33 simp3 960 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  On  /\  (/)  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) )  -> 
( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y 
z  C_  w )
)
34 eqcom 2440 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (/)  =  ( card `  y
)  <->  ( card `  y
)  =  (/) )
35 vex 2961 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  y  e. 
_V
36 onssnum 7926 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  _V  /\  y  C_  On )  -> 
y  e.  dom  card )
3735, 36mpan 653 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y 
C_  On  ->  y  e. 
dom  card )
38 cardnueq0 7856 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  dom  card  ->  ( ( card `  y
)  =  (/)  <->  y  =  (/) ) )
3937, 38syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y 
C_  On  ->  ( (
card `  y )  =  (/)  <->  y  =  (/) ) )
4034, 39syl5bb 250 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y 
C_  On  ->  ( (/)  =  ( card `  y
)  <->  y  =  (/) ) )
4140biimpa 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  C_  On  /\  (/)  =  (
card `  y )
)  ->  y  =  (/) )
42 sseq1 3371 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  (/)  ->  ( y 
C_  A  <->  (/)  C_  A
) )
43 rexeq 2907 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  (/)  ->  ( E. w  e.  y  z 
C_  w  <->  E. w  e.  (/)  z  C_  w
) )
4443ralbidv 2727 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  (/)  ->  ( A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w  <->  A. z  e.  A  E. w  e.  (/)  z  C_  w ) )
4542, 44anbi12d 693 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  (/)  ->  ( ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w )  <->  ( (/)  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  (/)  z  C_  w ) ) )
4645biimpa 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  =  (/)  /\  (
y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) )  -> 
( (/)  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  (/)  z  C_  w ) )
4741, 46sylan 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  C_  On  /\  (/)  =  ( card `  y
) )  /\  (
y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) )  -> 
( (/)  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  (/)  z  C_  w ) )
48 rex0 3643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -.  E. w  e.  (/)  z  C_  w
4948rgenw 2775 . . . . . . . . . . . . 13  |-  A. z  e.  A  -.  E. w  e.  (/)  z  C_  w
50 r19.2z 3719 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. z  e.  A  -.  E. w  e.  (/)  z  C_  w )  ->  E. z  e.  A  -.  E. w  e.  (/)  z  C_  w
)
5149, 50mpan2 654 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  =/=  (/)  ->  E. z  e.  A  -.  E. w  e.  (/)  z  C_  w
)
52 rexnal 2718 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. z  e.  A  -.  E. w  e.  (/)  z  C_  w 
<->  -.  A. z  e.  A  E. w  e.  (/)  z  C_  w )
5351, 52sylib 190 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  =/=  (/)  ->  -.  A. z  e.  A  E. w  e.  (/)  z  C_  w
)
5453necon4ai 2665 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. z  e.  A  E. w  e.  (/)  z  C_  w  ->  A  =  (/) )
5554adantl 454 . . . . . . . . 9  |-  ( (
(/)  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  (/)  z  C_  w )  ->  A  =  (/) )
5647, 55syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  C_  On  /\  (/)  =  ( card `  y
) )  /\  (
y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) )  ->  A  =  (/) )
5731, 32, 33, 56syl21anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  On  /\  (/)  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) )  ->  A  =  (/) )
58573expib 1157 . . . . . 6  |-  ( A  e.  On  ->  (
( (/)  =  ( card `  y )  /\  (
y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) )  ->  A  =  (/) ) )
5958exlimdv 1647 . . . . 5  |-  ( A  e.  On  ->  ( E. y ( (/)  =  (
card `  y )  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y 
z  C_  w )
)  ->  A  =  (/) ) )
6025, 59syl5bi 210 . . . 4  |-  ( A  e.  On  ->  ( (/) 
e.  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) ) }  ->  A  =  (/) ) )
6120, 60syl5bi 210 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  ( |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) ) }  =  (/)  ->  A  =  (/) ) )
622, 61sylbid 208 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  (
( cf `  A
)  =  (/)  ->  A  =  (/) ) )
63 fveq2 5731 . . 3  |-  ( A  =  (/)  ->  ( cf `  A )  =  ( cf `  (/) ) )
64 cf0 8136 . . 3  |-  ( cf `  (/) )  =  (/)
6563, 64syl6eq 2486 . 2  |-  ( A  =  (/)  ->  ( cf `  A )  =  (/) )
6662, 65impbid1 196 1  |-  ( A  e.  On  ->  (
( cf `  A
)  =  (/)  <->  A  =  (/) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937   E.wex 1551    = wceq 1653    e. wcel 1726   {cab 2424    =/= wne 2601   A.wral 2707   E.wrex 2708   _Vcvv 2958    C_ wss 3322   (/)c0 3630   |^|cint 4052   Oncon0 4584   dom cdm 4881   ` cfv 5457   cardccrd 7827   cfccf 7829
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-suc 4590  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-riota 6552  df-recs 6636  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-card 7831  df-cf 7833
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