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Theorem cfeq0 7972
Description: Only the ordinal zero has cofinality zero. (Contributed by NM, 24-Apr-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
cfeq0  |-  ( A  e.  On  ->  (
( cf `  A
)  =  (/)  <->  A  =  (/) ) )

Proof of Theorem cfeq0
Dummy variables  v  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cfval 7963 . . . 4  |-  ( A  e.  On  ->  ( cf `  A )  = 
|^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) ) } )
21eqeq1d 2366 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  (
( cf `  A
)  =  (/)  <->  |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) ) }  =  (/) ) )
3 vex 2867 . . . . . . . . 9  |-  v  e. 
_V
4 eqeq1 2364 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  v  ->  (
x  =  ( card `  y )  <->  v  =  ( card `  y )
) )
54anbi1d 685 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  v  ->  (
( x  =  (
card `  y )  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y 
z  C_  w )
)  <->  ( v  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) ) ) )
65exbidv 1626 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  v  ->  ( E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) )  <->  E. y
( v  =  (
card `  y )  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y 
z  C_  w )
) ) )
73, 6elab 2990 . . . . . . . 8  |-  ( v  e.  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) ) }  <->  E. y ( v  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) ) )
8 fveq2 5608 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  ( card `  y
)  ->  ( card `  v )  =  (
card `  ( card `  y ) ) )
9 cardidm 7682 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( card `  ( card `  y
) )  =  (
card `  y )
108, 9syl6eq 2406 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  ( card `  y
)  ->  ( card `  v )  =  (
card `  y )
)
11 eqeq2 2367 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  ( card `  y
)  ->  ( ( card `  v )  =  v  <->  ( card `  v
)  =  ( card `  y ) ) )
1210, 11mpbird 223 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  ( card `  y
)  ->  ( card `  v )  =  v )
1312adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  =  ( card `  y )  /\  (
y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) )  -> 
( card `  v )  =  v )
1413exlimiv 1634 . . . . . . . 8  |-  ( E. y ( v  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) )  -> 
( card `  v )  =  v )
157, 14sylbi 187 . . . . . . 7  |-  ( v  e.  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) ) }  ->  ( card `  v
)  =  v )
16 cardon 7667 . . . . . . 7  |-  ( card `  v )  e.  On
1715, 16syl6eqelr 2447 . . . . . 6  |-  ( v  e.  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) ) }  ->  v  e.  On )
1817ssriv 3260 . . . . 5  |-  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) ) } 
C_  On
19 onint0 4669 . . . . 5  |-  ( { x  |  E. y
( x  =  (
card `  y )  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y 
z  C_  w )
) }  C_  On  ->  ( |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) ) }  =  (/)  <->  (/)  e.  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) ) } ) )
2018, 19ax-mp 8 . . . 4  |-  ( |^| { x  |  E. y
( x  =  (
card `  y )  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y 
z  C_  w )
) }  =  (/)  <->  (/)  e.  {
x  |  E. y
( x  =  (
card `  y )  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y 
z  C_  w )
) } )
21 0ex 4231 . . . . . 6  |-  (/)  e.  _V
22 eqeq1 2364 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x  =  ( card `  y
)  <->  (/)  =  ( card `  y ) ) )
2322anbi1d 685 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( x  =  ( card `  y )  /\  (
y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) )  <->  ( (/)  =  (
card `  y )  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y 
z  C_  w )
) ) )
2423exbidv 1626 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) )  <->  E. y
( (/)  =  ( card `  y )  /\  (
y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) ) ) )
2521, 24elab 2990 . . . . 5  |-  ( (/)  e.  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) ) }  <->  E. y ( (/)  =  (
card `  y )  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y 
z  C_  w )
) )
26 onss 4664 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  On  ->  A  C_  On )
27 sstr 3263 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  C_  A  /\  A  C_  On )  -> 
y  C_  On )
2827ancoms 439 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  C_  On  /\  y  C_  A )  ->  y  C_  On )
2926, 28sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  C_  A )  -> 
y  C_  On )
30293adant2 974 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  On  /\  (/)  =  ( card `  y
)  /\  y  C_  A )  ->  y  C_  On )
31303adant3r 1179 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  On  /\  (/)  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) )  -> 
y  C_  On )
32 simp2 956 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  On  /\  (/)  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) )  ->  (/)  =  ( card `  y
) )
33 simp3 957 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  On  /\  (/)  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) )  -> 
( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y 
z  C_  w )
)
34 eqcom 2360 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (/)  =  ( card `  y
)  <->  ( card `  y
)  =  (/) )
35 vex 2867 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  y  e. 
_V
36 onssnum 7757 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  _V  /\  y  C_  On )  -> 
y  e.  dom  card )
3735, 36mpan 651 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y 
C_  On  ->  y  e. 
dom  card )
38 cardnueq0 7687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  dom  card  ->  ( ( card `  y
)  =  (/)  <->  y  =  (/) ) )
3937, 38syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y 
C_  On  ->  ( (
card `  y )  =  (/)  <->  y  =  (/) ) )
4034, 39syl5bb 248 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y 
C_  On  ->  ( (/)  =  ( card `  y
)  <->  y  =  (/) ) )
4140biimpa 470 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  C_  On  /\  (/)  =  (
card `  y )
)  ->  y  =  (/) )
42 sseq1 3275 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  (/)  ->  ( y 
C_  A  <->  (/)  C_  A
) )
43 rexeq 2813 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  (/)  ->  ( E. w  e.  y  z 
C_  w  <->  E. w  e.  (/)  z  C_  w
) )
4443ralbidv 2639 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  (/)  ->  ( A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w  <->  A. z  e.  A  E. w  e.  (/)  z  C_  w ) )
4542, 44anbi12d 691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  (/)  ->  ( ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w )  <->  ( (/)  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  (/)  z  C_  w ) ) )
4645biimpa 470 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  =  (/)  /\  (
y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) )  -> 
( (/)  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  (/)  z  C_  w ) )
4741, 46sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  C_  On  /\  (/)  =  ( card `  y
) )  /\  (
y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) )  -> 
( (/)  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  (/)  z  C_  w ) )
48 rex0 3544 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -.  E. w  e.  (/)  z  C_  w
4948rgenw 2686 . . . . . . . . . . . . 13  |-  A. z  e.  A  -.  E. w  e.  (/)  z  C_  w
50 r19.2z 3619 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. z  e.  A  -.  E. w  e.  (/)  z  C_  w )  ->  E. z  e.  A  -.  E. w  e.  (/)  z  C_  w
)
5149, 50mpan2 652 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  =/=  (/)  ->  E. z  e.  A  -.  E. w  e.  (/)  z  C_  w
)
52 rexnal 2630 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. z  e.  A  -.  E. w  e.  (/)  z  C_  w 
<->  -.  A. z  e.  A  E. w  e.  (/)  z  C_  w )
5351, 52sylib 188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  =/=  (/)  ->  -.  A. z  e.  A  E. w  e.  (/)  z  C_  w
)
5453necon4ai 2580 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. z  e.  A  E. w  e.  (/)  z  C_  w  ->  A  =  (/) )
5554adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
(/)  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  (/)  z  C_  w )  ->  A  =  (/) )
5647, 55syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  C_  On  /\  (/)  =  ( card `  y
) )  /\  (
y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) )  ->  A  =  (/) )
5731, 32, 33, 56syl21anc 1181 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  On  /\  (/)  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) )  ->  A  =  (/) )
58573expib 1154 . . . . . 6  |-  ( A  e.  On  ->  (
( (/)  =  ( card `  y )  /\  (
y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) )  ->  A  =  (/) ) )
5958exlimdv 1636 . . . . 5  |-  ( A  e.  On  ->  ( E. y ( (/)  =  (
card `  y )  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y 
z  C_  w )
)  ->  A  =  (/) ) )
6025, 59syl5bi 208 . . . 4  |-  ( A  e.  On  ->  ( (/) 
e.  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) ) }  ->  A  =  (/) ) )
6120, 60syl5bi 208 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  ( |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) ) }  =  (/)  ->  A  =  (/) ) )
622, 61sylbid 206 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  (
( cf `  A
)  =  (/)  ->  A  =  (/) ) )
63 fveq2 5608 . . 3  |-  ( A  =  (/)  ->  ( cf `  A )  =  ( cf `  (/) ) )
64 cf0 7967 . . 3  |-  ( cf `  (/) )  =  (/)
6563, 64syl6eq 2406 . 2  |-  ( A  =  (/)  ->  ( cf `  A )  =  (/) )
6662, 65impbid1 194 1  |-  ( A  e.  On  ->  (
( cf `  A
)  =  (/)  <->  A  =  (/) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1541    = wceq 1642    e. wcel 1710   {cab 2344    =/= wne 2521   A.wral 2619   E.wrex 2620   _Vcvv 2864    C_ wss 3228   (/)c0 3531   |^|cint 3943   Oncon0 4474   dom cdm 4771   ` cfv 5337   cardccrd 7658   cfccf 7660
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-int 3944  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-se 4435  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-suc 4480  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-isom 5346  df-riota 6391  df-recs 6475  df-er 6747  df-en 6952  df-dom 6953  df-card 7662  df-cf 7664
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