MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cff1 Unicode version

Theorem cff1 7884
Description: There is always a map from  ( cf `  A
) to  A (this is a stronger condition than the definition, which only presupposes a map from some  y  ~~  ( cf `  A ). (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
cff1  |-  ( A  e.  On  ->  E. f
( f : ( cf `  A )
-1-1-> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  ( cf `  A
) z  C_  (
f `  w )
) )
Distinct variable group:    A, f, w, z

Proof of Theorem cff1
Dummy variables  s 
y  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cfval 7873 . . . 4  |-  ( A  e.  On  ->  ( cf `  A )  = 
|^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y  z  C_  s ) ) } )
2 cardon 7577 . . . . . . . . 9  |-  ( card `  y )  e.  On
3 eleq1 2343 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( card `  y
)  ->  ( x  e.  On  <->  ( card `  y
)  e.  On ) )
42, 3mpbiri 224 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( card `  y
)  ->  x  e.  On )
54adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  ( card `  y )  /\  (
y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y  z  C_  s ) )  ->  x  e.  On )
65exlimiv 1666 . . . . . 6  |-  ( E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y  z  C_  s ) )  ->  x  e.  On )
76abssi 3248 . . . . 5  |-  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y  z  C_  s ) ) } 
C_  On
8 cflem 7872 . . . . . 6  |-  ( A  e.  On  ->  E. x E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y  z  C_  s ) ) )
9 abn0 3473 . . . . . 6  |-  ( { x  |  E. y
( x  =  (
card `  y )  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y 
z  C_  s )
) }  =/=  (/)  <->  E. x E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y  z  C_  s ) ) )
108, 9sylibr 203 . . . . 5  |-  ( A  e.  On  ->  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y  z  C_  s ) ) }  =/=  (/) )
11 onint 4586 . . . . 5  |-  ( ( { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y  z  C_  s ) ) } 
C_  On  /\  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y  z  C_  s ) ) }  =/=  (/) )  ->  |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y  z  C_  s ) ) }  e.  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y  z  C_  s ) ) } )
127, 10, 11sylancr 644 . . . 4  |-  ( A  e.  On  ->  |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y  z  C_  s ) ) }  e.  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y  z  C_  s ) ) } )
131, 12eqeltrd 2357 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  ( cf `  A )  e. 
{ x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y  z  C_  s ) ) } )
14 fvex 5539 . . . 4  |-  ( cf `  A )  e.  _V
15 eqeq1 2289 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( cf `  A
)  ->  ( x  =  ( card `  y
)  <->  ( cf `  A
)  =  ( card `  y ) ) )
1615anbi1d 685 . . . . 5  |-  ( x  =  ( cf `  A
)  ->  ( (
x  =  ( card `  y )  /\  (
y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y  z  C_  s ) )  <->  ( ( cf `  A )  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y  z  C_  s ) ) ) )
1716exbidv 1612 . . . 4  |-  ( x  =  ( cf `  A
)  ->  ( E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y  z  C_  s ) )  <->  E. y
( ( cf `  A
)  =  ( card `  y )  /\  (
y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y  z  C_  s ) ) ) )
1814, 17elab 2914 . . 3  |-  ( ( cf `  A )  e.  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y  z  C_  s ) ) }  <->  E. y ( ( cf `  A )  =  (
card `  y )  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y 
z  C_  s )
) )
1913, 18sylib 188 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  E. y
( ( cf `  A
)  =  ( card `  y )  /\  (
y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y  z  C_  s ) ) )
20 simplr 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( cf `  A
)  =  ( card `  y ) )  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y 
z  C_  s )
)  ->  ( cf `  A )  =  (
card `  y )
)
21 onss 4582 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  On  ->  A  C_  On )
22 sstr 3187 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  C_  A  /\  A  C_  On )  -> 
y  C_  On )
2321, 22sylan2 460 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  C_  A  /\  A  e.  On )  ->  y  C_  On )
2423ancoms 439 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  C_  A )  -> 
y  C_  On )
2524ad2ant2r 727 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( cf `  A
)  =  ( card `  y ) )  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y 
z  C_  s )
)  ->  y  C_  On )
26 vex 2791 . . . . . . . . . . 11  |-  y  e. 
_V
27 onssnum 7667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  _V  /\  y  C_  On )  -> 
y  e.  dom  card )
2826, 27mpan 651 . . . . . . . . . 10  |-  ( y 
C_  On  ->  y  e. 
dom  card )
29 cardid2 7586 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  dom  card  ->  (
card `  y )  ~~  y )
3028, 29syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( y 
C_  On  ->  ( card `  y )  ~~  y
)
3130adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( cf `  A
)  =  ( card `  y )  /\  y  C_  On )  ->  ( card `  y )  ~~  y )
32 breq1 4026 . . . . . . . . 9  |-  ( ( cf `  A )  =  ( card `  y
)  ->  ( ( cf `  A )  ~~  y 
<->  ( card `  y
)  ~~  y )
)
3332adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( cf `  A
)  =  ( card `  y )  /\  y  C_  On )  ->  (
( cf `  A
)  ~~  y  <->  ( card `  y )  ~~  y
) )
3431, 33mpbird 223 . . . . . . 7  |-  ( ( ( cf `  A
)  =  ( card `  y )  /\  y  C_  On )  ->  ( cf `  A )  ~~  y )
35 bren 6871 . . . . . . 7  |-  ( ( cf `  A ) 
~~  y  <->  E. f 
f : ( cf `  A ) -1-1-onto-> y )
3634, 35sylib 188 . . . . . 6  |-  ( ( ( cf `  A
)  =  ( card `  y )  /\  y  C_  On )  ->  E. f 
f : ( cf `  A ) -1-1-onto-> y )
3720, 25, 36syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( cf `  A
)  =  ( card `  y ) )  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y 
z  C_  s )
)  ->  E. f 
f : ( cf `  A ) -1-1-onto-> y )
38 f1of1 5471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : ( cf `  A
)
-1-1-onto-> y  ->  f : ( cf `  A )
-1-1-> y )
39 f1ss 5442 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : ( cf `  A ) -1-1-> y  /\  y  C_  A )  -> 
f : ( cf `  A ) -1-1-> A )
4039ancoms 439 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  C_  A  /\  f : ( cf `  A
) -1-1-> y )  -> 
f : ( cf `  A ) -1-1-> A )
4138, 40sylan2 460 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  C_  A  /\  f : ( cf `  A
)
-1-1-onto-> y )  ->  f : ( cf `  A
) -1-1-> A )
4241adantlr 695 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y 
z  C_  s )  /\  f : ( cf `  A ) -1-1-onto-> y )  ->  f : ( cf `  A
) -1-1-> A )
43423adant1 973 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( cf `  A
)  =  ( card `  y ) )  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y 
z  C_  s )  /\  f : ( cf `  A ) -1-1-onto-> y )  ->  f : ( cf `  A
) -1-1-> A )
44 f1ofo 5479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : ( cf `  A
)
-1-1-onto-> y  ->  f : ( cf `  A )
-onto-> y )
45 foelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f : ( cf `  A ) -onto-> y  /\  s  e.  y )  ->  E. w  e.  ( cf `  A ) s  =  ( f `
 w ) )
46 sseq2 3200 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s  =  ( f `  w )  ->  (
z  C_  s  <->  z  C_  ( f `  w
) ) )
4746biimpcd 215 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z 
C_  s  ->  (
s  =  ( f `
 w )  -> 
z  C_  ( f `  w ) ) )
4847reximdv 2654 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z 
C_  s  ->  ( E. w  e.  ( cf `  A ) s  =  ( f `  w )  ->  E. w  e.  ( cf `  A
) z  C_  (
f `  w )
) )
4945, 48syl5com 26 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : ( cf `  A ) -onto-> y  /\  s  e.  y )  ->  ( z  C_  s  ->  E. w  e.  ( cf `  A ) z  C_  ( f `  w ) ) )
5049rexlimdva 2667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : ( cf `  A
) -onto-> y  ->  ( E. s  e.  y 
z  C_  s  ->  E. w  e.  ( cf `  A ) z  C_  ( f `  w
) ) )
5150ralimdv 2622 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : ( cf `  A
) -onto-> y  ->  ( A. z  e.  A  E. s  e.  y 
z  C_  s  ->  A. z  e.  A  E. w  e.  ( cf `  A ) z  C_  ( f `  w
) ) )
5244, 51syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : ( cf `  A
)
-1-1-onto-> y  ->  ( A. z  e.  A  E. s  e.  y  z  C_  s  ->  A. z  e.  A  E. w  e.  ( cf `  A ) z 
C_  ( f `  w ) ) )
5352impcom 419 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. z  e.  A  E. s  e.  y 
z  C_  s  /\  f : ( cf `  A
)
-1-1-onto-> y )  ->  A. z  e.  A  E. w  e.  ( cf `  A
) z  C_  (
f `  w )
)
5453adantll 694 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y 
z  C_  s )  /\  f : ( cf `  A ) -1-1-onto-> y )  ->  A. z  e.  A  E. w  e.  ( cf `  A
) z  C_  (
f `  w )
)
55543adant1 973 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( cf `  A
)  =  ( card `  y ) )  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y 
z  C_  s )  /\  f : ( cf `  A ) -1-1-onto-> y )  ->  A. z  e.  A  E. w  e.  ( cf `  A
) z  C_  (
f `  w )
)
5643, 55jca 518 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( cf `  A
)  =  ( card `  y ) )  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y 
z  C_  s )  /\  f : ( cf `  A ) -1-1-onto-> y )  ->  (
f : ( cf `  A ) -1-1-> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  ( cf `  A ) z  C_  ( f `  w
) ) )
57563expia 1153 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( cf `  A
)  =  ( card `  y ) )  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y 
z  C_  s )
)  ->  ( f : ( cf `  A
)
-1-1-onto-> y  ->  ( f : ( cf `  A
) -1-1-> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  ( cf `  A
) z  C_  (
f `  w )
) ) )
5857eximdv 1608 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( cf `  A
)  =  ( card `  y ) )  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y 
z  C_  s )
)  ->  ( E. f  f : ( cf `  A ) -1-1-onto-> y  ->  E. f ( f : ( cf `  A
) -1-1-> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  ( cf `  A
) z  C_  (
f `  w )
) ) )
5937, 58mpd 14 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( cf `  A
)  =  ( card `  y ) )  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y 
z  C_  s )
)  ->  E. f
( f : ( cf `  A )
-1-1-> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  ( cf `  A
) z  C_  (
f `  w )
) )
6059expl 601 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  (
( ( cf `  A
)  =  ( card `  y )  /\  (
y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y  z  C_  s ) )  ->  E. f ( f : ( cf `  A
) -1-1-> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  ( cf `  A
) z  C_  (
f `  w )
) ) )
6160exlimdv 1664 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  ( E. y ( ( cf `  A )  =  (
card `  y )  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y 
z  C_  s )
)  ->  E. f
( f : ( cf `  A )
-1-1-> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  ( cf `  A
) z  C_  (
f `  w )
) ) )
6219, 61mpd 14 1  |-  ( A  e.  On  ->  E. f
( f : ( cf `  A )
-1-1-> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  ( cf `  A
) z  C_  (
f `  w )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   (/)c0 3455   |^|cint 3862   class class class wbr 4023   Oncon0 4392   dom cdm 4689   -1-1->wf1 5252   -onto->wfo 5253   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255    ~~ cen 6860   cardccrd 7568   cfccf 7570
This theorem is referenced by:  cfsmolem  7896  cfcoflem  7898  cfcof  7900  alephreg  8204
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-suc 4398  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-riota 6304  df-recs 6388  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-card 7572  df-cf 7574
  Copyright terms: Public domain W3C validator