MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cfidm Unicode version

Theorem cfidm 7901
Description: The cofinality function is idempotent. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
cfidm  |-  ( cf `  ( cf `  A
) )  =  ( cf `  A )

Proof of Theorem cfidm
Dummy variables  f  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cfle 7880 . . . 4  |-  ( cf `  ( cf `  A
) )  C_  ( cf `  A )
21a1i 10 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  ( cf `  ( cf `  A
) )  C_  ( cf `  A ) )
3 cfsmo 7897 . . . 4  |-  ( A  e.  On  ->  E. f
( f : ( cf `  A ) --> A  /\  Smo  f  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  ( cf `  A ) x 
C_  ( f `  y ) ) )
4 cfon 7881 . . . . 5  |-  ( cf `  A )  e.  On
5 cfcoflem 7898 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( cf `  A )  e.  On )  -> 
( E. f ( f : ( cf `  A ) --> A  /\  Smo  f  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  ( cf `  A
) x  C_  (
f `  y )
)  ->  ( cf `  A )  C_  ( cf `  ( cf `  A
) ) ) )
64, 5mpan2 652 . . . 4  |-  ( A  e.  On  ->  ( E. f ( f : ( cf `  A
) --> A  /\  Smo  f  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  ( cf `  A
) x  C_  (
f `  y )
)  ->  ( cf `  A )  C_  ( cf `  ( cf `  A
) ) ) )
73, 6mpd 14 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  ( cf `  A )  C_  ( cf `  ( cf `  A ) ) )
82, 7eqssd 3196 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  ( cf `  ( cf `  A
) )  =  ( cf `  A ) )
9 cf0 7877 . . 3  |-  ( cf `  (/) )  =  (/)
10 cff 7874 . . . . . . 7  |-  cf : On
--> On
1110fdmi 5394 . . . . . 6  |-  dom  cf  =  On
1211eleq2i 2347 . . . . 5  |-  ( A  e.  dom  cf  <->  A  e.  On )
13 ndmfv 5552 . . . . 5  |-  ( -.  A  e.  dom  cf  ->  ( cf `  A
)  =  (/) )
1412, 13sylnbir 298 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  On  ->  ( cf `  A )  =  (/) )
1514fveq2d 5529 . . 3  |-  ( -.  A  e.  On  ->  ( cf `  ( cf `  A ) )  =  ( cf `  (/) ) )
169, 15, 143eqtr4a 2341 . 2  |-  ( -.  A  e.  On  ->  ( cf `  ( cf `  A ) )  =  ( cf `  A
) )
178, 16pm2.61i 156 1  |-  ( cf `  ( cf `  A
) )  =  ( cf `  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ w3a 934   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544    C_ wss 3152   (/)c0 3455   Oncon0 4392   dom cdm 4689   -->wf 5251   ` cfv 5255   Smo wsmo 6362   cfccf 7570
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-suc 4398  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-smo 6363  df-recs 6388  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-card 7572  df-cf 7574  df-acn 7575
  Copyright terms: Public domain W3C validator