MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cfidm Unicode version

Theorem cfidm 7917
Description: The cofinality function is idempotent. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
cfidm  |-  ( cf `  ( cf `  A
) )  =  ( cf `  A )

Proof of Theorem cfidm
Dummy variables  f  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cfle 7896 . . . 4  |-  ( cf `  ( cf `  A
) )  C_  ( cf `  A )
21a1i 10 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  ( cf `  ( cf `  A
) )  C_  ( cf `  A ) )
3 cfsmo 7913 . . . 4  |-  ( A  e.  On  ->  E. f
( f : ( cf `  A ) --> A  /\  Smo  f  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  ( cf `  A ) x 
C_  ( f `  y ) ) )
4 cfon 7897 . . . . 5  |-  ( cf `  A )  e.  On
5 cfcoflem 7914 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( cf `  A )  e.  On )  -> 
( E. f ( f : ( cf `  A ) --> A  /\  Smo  f  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  ( cf `  A
) x  C_  (
f `  y )
)  ->  ( cf `  A )  C_  ( cf `  ( cf `  A
) ) ) )
64, 5mpan2 652 . . . 4  |-  ( A  e.  On  ->  ( E. f ( f : ( cf `  A
) --> A  /\  Smo  f  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  ( cf `  A
) x  C_  (
f `  y )
)  ->  ( cf `  A )  C_  ( cf `  ( cf `  A
) ) ) )
73, 6mpd 14 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  ( cf `  A )  C_  ( cf `  ( cf `  A ) ) )
82, 7eqssd 3209 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  ( cf `  ( cf `  A
) )  =  ( cf `  A ) )
9 cf0 7893 . . 3  |-  ( cf `  (/) )  =  (/)
10 cff 7890 . . . . . . 7  |-  cf : On
--> On
1110fdmi 5410 . . . . . 6  |-  dom  cf  =  On
1211eleq2i 2360 . . . . 5  |-  ( A  e.  dom  cf  <->  A  e.  On )
13 ndmfv 5568 . . . . 5  |-  ( -.  A  e.  dom  cf  ->  ( cf `  A
)  =  (/) )
1412, 13sylnbir 298 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  On  ->  ( cf `  A )  =  (/) )
1514fveq2d 5545 . . 3  |-  ( -.  A  e.  On  ->  ( cf `  ( cf `  A ) )  =  ( cf `  (/) ) )
169, 15, 143eqtr4a 2354 . 2  |-  ( -.  A  e.  On  ->  ( cf `  ( cf `  A ) )  =  ( cf `  A
) )
178, 16pm2.61i 156 1  |-  ( cf `  ( cf `  A
) )  =  ( cf `  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ w3a 934   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557    C_ wss 3165   (/)c0 3468   Oncon0 4408   dom cdm 4705   -->wf 5267   ` cfv 5271   Smo wsmo 6378   cfccf 7586
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-suc 4414  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-smo 6379  df-recs 6404  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-card 7588  df-cf 7590  df-acn 7591
  Copyright terms: Public domain W3C validator