MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cfidm Structured version   Unicode version

Theorem cfidm 8157
Description: The cofinality function is idempotent. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
cfidm  |-  ( cf `  ( cf `  A
) )  =  ( cf `  A )

Proof of Theorem cfidm
Dummy variables  f  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cfle 8136 . . . 4  |-  ( cf `  ( cf `  A
) )  C_  ( cf `  A )
21a1i 11 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  ( cf `  ( cf `  A
) )  C_  ( cf `  A ) )
3 cfsmo 8153 . . . 4  |-  ( A  e.  On  ->  E. f
( f : ( cf `  A ) --> A  /\  Smo  f  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  ( cf `  A ) x 
C_  ( f `  y ) ) )
4 cfon 8137 . . . . 5  |-  ( cf `  A )  e.  On
5 cfcoflem 8154 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( cf `  A )  e.  On )  -> 
( E. f ( f : ( cf `  A ) --> A  /\  Smo  f  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  ( cf `  A
) x  C_  (
f `  y )
)  ->  ( cf `  A )  C_  ( cf `  ( cf `  A
) ) ) )
64, 5mpan2 654 . . . 4  |-  ( A  e.  On  ->  ( E. f ( f : ( cf `  A
) --> A  /\  Smo  f  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  ( cf `  A
) x  C_  (
f `  y )
)  ->  ( cf `  A )  C_  ( cf `  ( cf `  A
) ) ) )
73, 6mpd 15 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  ( cf `  A )  C_  ( cf `  ( cf `  A ) ) )
82, 7eqssd 3367 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  ( cf `  ( cf `  A
) )  =  ( cf `  A ) )
9 cf0 8133 . . 3  |-  ( cf `  (/) )  =  (/)
10 cff 8130 . . . . . . 7  |-  cf : On
--> On
1110fdmi 5598 . . . . . 6  |-  dom  cf  =  On
1211eleq2i 2502 . . . . 5  |-  ( A  e.  dom  cf  <->  A  e.  On )
13 ndmfv 5757 . . . . 5  |-  ( -.  A  e.  dom  cf  ->  ( cf `  A
)  =  (/) )
1412, 13sylnbir 300 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  On  ->  ( cf `  A )  =  (/) )
1514fveq2d 5734 . . 3  |-  ( -.  A  e.  On  ->  ( cf `  ( cf `  A ) )  =  ( cf `  (/) ) )
169, 15, 143eqtr4a 2496 . 2  |-  ( -.  A  e.  On  ->  ( cf `  ( cf `  A ) )  =  ( cf `  A
) )
178, 16pm2.61i 159 1  |-  ( cf `  ( cf `  A
) )  =  ( cf `  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ w3a 937   E.wex 1551    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   E.wrex 2708    C_ wss 3322   (/)c0 3630   Oncon0 4583   dom cdm 4880   -->wf 5452   ` cfv 5456   Smo wsmo 6609   cfccf 7826
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-suc 4589  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-smo 6610  df-recs 6635  df-er 6907  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-card 7828  df-cf 7830  df-acn 7831
  Copyright terms: Public domain W3C validator