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Theorem cfil3i 19212
Description: A Cauchy filter contains balls of any pre-chosen size. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
cfil3i  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  ->  E. x  e.  X  ( x
( ball `  D ) R )  e.  F
)
Distinct variable groups:    x, F    x, X    x, R    x, D

Proof of Theorem cfil3i
Dummy variables  s 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cfili 19211 . . 3  |-  ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  ->  E. s  e.  F  A. x  e.  s  A. y  e.  s  ( x D y )  < 
R )
213adant1 975 . 2  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  ->  E. s  e.  F  A. x  e.  s  A. y  e.  s  ( x D y )  < 
R )
3 cfilfil 19210 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  D ) )  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
433adant3 977 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  ->  F  e.  ( Fil `  X
) )
5 fileln0 17872 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  s  e.  F )  ->  s  =/=  (/) )
64, 5sylan 458 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F )  ->  s  =/=  (/) )
7 r19.2z 3709 . . . . . 6  |-  ( ( s  =/=  (/)  /\  A. x  e.  s  A. y  e.  s  (
x D y )  <  R )  ->  E. x  e.  s  A. y  e.  s 
( x D y )  <  R )
87ex 424 . . . . 5  |-  ( s  =/=  (/)  ->  ( A. x  e.  s  A. y  e.  s  (
x D y )  <  R  ->  E. x  e.  s  A. y  e.  s  ( x D y )  < 
R ) )
96, 8syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F )  ->  ( A. x  e.  s  A. y  e.  s  ( x D y )  <  R  ->  E. x  e.  s 
A. y  e.  s  ( x D y )  <  R ) )
10 filelss 17874 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  s  e.  F )  ->  s  C_  X )
114, 10sylan 458 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F )  ->  s  C_  X )
12 ssrexv 3400 . . . . 5  |-  ( s 
C_  X  ->  ( E. x  e.  s  A. y  e.  s 
( x D y )  <  R  ->  E. x  e.  X  A. y  e.  s 
( x D y )  <  R ) )
1311, 12syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F )  ->  ( E. x  e.  s  A. y  e.  s  ( x D y )  <  R  ->  E. x  e.  X  A. y  e.  s 
( x D y )  <  R ) )
14 dfss3 3330 . . . . . . 7  |-  ( s 
C_  ( x (
ball `  D ) R )  <->  A. y  e.  s  y  e.  ( x ( ball `  D ) R ) )
15 simpl1 960 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F )  ->  D  e.  ( * Met `  X ) )
1615ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F
)  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  s )  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
17 simpll3 998 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F )  /\  x  e.  X
)  ->  R  e.  RR+ )
1817rpxrd 10639 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F )  /\  x  e.  X
)  ->  R  e.  RR* )
1918adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F
)  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  s )  ->  R  e.  RR* )
20 simplr 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F
)  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  s )  ->  x  e.  X )
2111adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F )  /\  x  e.  X
)  ->  s  C_  X )
2221sselda 3340 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F
)  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  s )  ->  y  e.  X )
23 elbl2 18410 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( y  e.  ( x ( ball `  D
) R )  <->  ( x D y )  < 
R ) )
2416, 19, 20, 22, 23syl22anc 1185 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F
)  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  s )  ->  (
y  e.  ( x ( ball `  D
) R )  <->  ( x D y )  < 
R ) )
2524ralbidva 2713 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F )  /\  x  e.  X
)  ->  ( A. y  e.  s  y  e.  ( x ( ball `  D ) R )  <->  A. y  e.  s 
( x D y )  <  R ) )
2614, 25syl5bb 249 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F )  /\  x  e.  X
)  ->  ( s  C_  ( x ( ball `  D ) R )  <->  A. y  e.  s 
( x D y )  <  R ) )
274ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F )  /\  x  e.  X
)  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
28 simplr 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F )  /\  x  e.  X
)  ->  s  e.  F )
2915adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F )  /\  x  e.  X
)  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
30 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F )  /\  x  e.  X
)  ->  x  e.  X )
31 blssm 18438 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( x ( ball `  D ) R ) 
C_  X )
3229, 30, 18, 31syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F )  /\  x  e.  X
)  ->  ( x
( ball `  D ) R )  C_  X
)
33 filss 17875 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  (
s  e.  F  /\  ( x ( ball `  D ) R ) 
C_  X  /\  s  C_  ( x ( ball `  D ) R ) ) )  ->  (
x ( ball `  D
) R )  e.  F )
34333exp2 1171 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( s  e.  F  ->  ( ( x ( ball `  D
) R )  C_  X  ->  ( s  C_  ( x ( ball `  D ) R )  ->  ( x (
ball `  D ) R )  e.  F
) ) ) )
3527, 28, 32, 34syl3c 59 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F )  /\  x  e.  X
)  ->  ( s  C_  ( x ( ball `  D ) R )  ->  ( x (
ball `  D ) R )  e.  F
) )
3626, 35sylbird 227 . . . . 5  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F )  /\  x  e.  X
)  ->  ( A. y  e.  s  (
x D y )  <  R  ->  (
x ( ball `  D
) R )  e.  F ) )
3736reximdva 2810 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F )  ->  ( E. x  e.  X  A. y  e.  s  ( x D y )  <  R  ->  E. x  e.  X  ( x ( ball `  D ) R )  e.  F ) )
389, 13, 373syld 53 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F )  ->  ( A. x  e.  s  A. y  e.  s  ( x D y )  <  R  ->  E. x  e.  X  ( x ( ball `  D ) R )  e.  F ) )
3938rexlimdva 2822 . 2  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  ->  ( E. s  e.  F  A. x  e.  s  A. y  e.  s 
( x D y )  <  R  ->  E. x  e.  X  ( x ( ball `  D ) R )  e.  F ) )
402, 39mpd 15 1  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  ->  E. x  e.  X  ( x
( ball `  D ) R )  e.  F
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697   E.wrex 2698    C_ wss 3312   (/)c0 3620   class class class wbr 4204   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   RR*cxr 9109    < clt 9110   RR+crp 10602   * Metcxmt 16676   ballcbl 16678   Filcfil 17867  CauFilccfil 19195
This theorem is referenced by:  iscfil3  19216  cfilfcls  19217  relcmpcmet  19259
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-div 9668  df-2 10048  df-rp 10603  df-xneg 10700  df-xadd 10701  df-xmul 10702  df-ico 10912  df-psmet 16684  df-xmet 16685  df-bl 16687  df-fbas 16689  df-fil 17868  df-cfil 19198
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