Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cfil3i Structured version   Unicode version

Theorem cfil3i 19212
 Description: A Cauchy filter contains balls of any pre-chosen size. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
cfil3i CauFil
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem cfil3i
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cfili 19211 . . 3 CauFil
3 cfilfil 19210 . . . . . . 7 CauFil
433adant3 977 . . . . . 6 CauFil
5 fileln0 17872 . . . . . 6
64, 5sylan 458 . . . . 5 CauFil
7 r19.2z 3709 . . . . . 6
87ex 424 . . . . 5
96, 8syl 16 . . . 4 CauFil
10 filelss 17874 . . . . . 6
114, 10sylan 458 . . . . 5 CauFil
12 ssrexv 3400 . . . . 5
1311, 12syl 16 . . . 4 CauFil
14 dfss3 3330 . . . . . . 7
15 simpl1 960 . . . . . . . . . 10 CauFil
1615ad2antrr 707 . . . . . . . . 9 CauFil
17 simpll3 998 . . . . . . . . . . 11 CauFil
1817rpxrd 10639 . . . . . . . . . 10 CauFil
1918adantr 452 . . . . . . . . 9 CauFil
20 simplr 732 . . . . . . . . 9 CauFil
2111adantr 452 . . . . . . . . . 10 CauFil
2221sselda 3340 . . . . . . . . 9 CauFil
23 elbl2 18410 . . . . . . . . 9
2416, 19, 20, 22, 23syl22anc 1185 . . . . . . . 8 CauFil
2524ralbidva 2713 . . . . . . 7 CauFil
2614, 25syl5bb 249 . . . . . 6 CauFil
274ad2antrr 707 . . . . . . 7 CauFil
28 simplr 732 . . . . . . 7 CauFil
2915adantr 452 . . . . . . . 8 CauFil
30 simpr 448 . . . . . . . 8 CauFil
31 blssm 18438 . . . . . . . 8
3229, 30, 18, 31syl3anc 1184 . . . . . . 7 CauFil
33 filss 17875 . . . . . . . 8
34333exp2 1171 . . . . . . 7
3527, 28, 32, 34syl3c 59 . . . . . 6 CauFil
3626, 35sylbird 227 . . . . 5 CauFil
3736reximdva 2810 . . . 4 CauFil
389, 13, 373syld 53 . . 3 CauFil
3938rexlimdva 2822 . 2 CauFil
402, 39mpd 15 1 CauFil
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wcel 1725   wne 2598  wral 2697  wrex 2698   wss 3312  c0 3620   class class class wbr 4204  cfv 5446  (class class class)co 6073  cxr 9109   clt 9110  crp 10602  cxmt 16676  cbl 16678  cfil 17867  CauFilccfil 19195 This theorem is referenced by:  iscfil3  19216  cfilfcls  19217  relcmpcmet  19259 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-div 9668  df-2 10048  df-rp 10603  df-xneg 10700  df-xadd 10701  df-xmul 10702  df-ico 10912  df-psmet 16684  df-xmet 16685  df-bl 16687  df-fbas 16689  df-fil 17868  df-cfil 19198
 Copyright terms: Public domain W3C validator