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Theorem cfil3i 19095
Description: A Cauchy filter contains balls of any pre-chosen size. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
cfil3i  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  ->  E. x  e.  X  ( x
( ball `  D ) R )  e.  F
)
Distinct variable groups:    x, F    x, X    x, R    x, D

Proof of Theorem cfil3i
Dummy variables  s 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cfili 19094 . . 3  |-  ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  ->  E. s  e.  F  A. x  e.  s  A. y  e.  s  ( x D y )  < 
R )
213adant1 975 . 2  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  ->  E. s  e.  F  A. x  e.  s  A. y  e.  s  ( x D y )  < 
R )
3 cfilfil 19093 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  D ) )  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
433adant3 977 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  ->  F  e.  ( Fil `  X
) )
5 fileln0 17805 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  s  e.  F )  ->  s  =/=  (/) )
64, 5sylan 458 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F )  ->  s  =/=  (/) )
7 r19.2z 3662 . . . . . 6  |-  ( ( s  =/=  (/)  /\  A. x  e.  s  A. y  e.  s  (
x D y )  <  R )  ->  E. x  e.  s  A. y  e.  s 
( x D y )  <  R )
87ex 424 . . . . 5  |-  ( s  =/=  (/)  ->  ( A. x  e.  s  A. y  e.  s  (
x D y )  <  R  ->  E. x  e.  s  A. y  e.  s  ( x D y )  < 
R ) )
96, 8syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F )  ->  ( A. x  e.  s  A. y  e.  s  ( x D y )  <  R  ->  E. x  e.  s 
A. y  e.  s  ( x D y )  <  R ) )
10 filelss 17807 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  s  e.  F )  ->  s  C_  X )
114, 10sylan 458 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F )  ->  s  C_  X )
12 ssrexv 3353 . . . . 5  |-  ( s 
C_  X  ->  ( E. x  e.  s  A. y  e.  s 
( x D y )  <  R  ->  E. x  e.  X  A. y  e.  s 
( x D y )  <  R ) )
1311, 12syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F )  ->  ( E. x  e.  s  A. y  e.  s  ( x D y )  <  R  ->  E. x  e.  X  A. y  e.  s 
( x D y )  <  R ) )
14 dfss3 3283 . . . . . . 7  |-  ( s 
C_  ( x (
ball `  D ) R )  <->  A. y  e.  s  y  e.  ( x ( ball `  D ) R ) )
15 simpl1 960 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F )  ->  D  e.  ( * Met `  X ) )
1615ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F
)  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  s )  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
17 simpll3 998 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F )  /\  x  e.  X
)  ->  R  e.  RR+ )
1817rpxrd 10583 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F )  /\  x  e.  X
)  ->  R  e.  RR* )
1918adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F
)  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  s )  ->  R  e.  RR* )
20 simplr 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F
)  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  s )  ->  x  e.  X )
2111adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F )  /\  x  e.  X
)  ->  s  C_  X )
2221sselda 3293 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F
)  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  s )  ->  y  e.  X )
23 elbl2 18326 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( y  e.  ( x ( ball `  D
) R )  <->  ( x D y )  < 
R ) )
2416, 19, 20, 22, 23syl22anc 1185 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F
)  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  s )  ->  (
y  e.  ( x ( ball `  D
) R )  <->  ( x D y )  < 
R ) )
2524ralbidva 2667 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F )  /\  x  e.  X
)  ->  ( A. y  e.  s  y  e.  ( x ( ball `  D ) R )  <->  A. y  e.  s 
( x D y )  <  R ) )
2614, 25syl5bb 249 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F )  /\  x  e.  X
)  ->  ( s  C_  ( x ( ball `  D ) R )  <->  A. y  e.  s 
( x D y )  <  R ) )
274ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F )  /\  x  e.  X
)  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
28 simplr 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F )  /\  x  e.  X
)  ->  s  e.  F )
2915adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F )  /\  x  e.  X
)  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
30 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F )  /\  x  e.  X
)  ->  x  e.  X )
31 blssm 18344 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( x ( ball `  D ) R ) 
C_  X )
3229, 30, 18, 31syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F )  /\  x  e.  X
)  ->  ( x
( ball `  D ) R )  C_  X
)
33 filss 17808 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  (
s  e.  F  /\  ( x ( ball `  D ) R ) 
C_  X  /\  s  C_  ( x ( ball `  D ) R ) ) )  ->  (
x ( ball `  D
) R )  e.  F )
34333exp2 1171 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( s  e.  F  ->  ( ( x ( ball `  D
) R )  C_  X  ->  ( s  C_  ( x ( ball `  D ) R )  ->  ( x (
ball `  D ) R )  e.  F
) ) ) )
3527, 28, 32, 34syl3c 59 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F )  /\  x  e.  X
)  ->  ( s  C_  ( x ( ball `  D ) R )  ->  ( x (
ball `  D ) R )  e.  F
) )
3626, 35sylbird 227 . . . . 5  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F )  /\  x  e.  X
)  ->  ( A. y  e.  s  (
x D y )  <  R  ->  (
x ( ball `  D
) R )  e.  F ) )
3736reximdva 2763 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F )  ->  ( E. x  e.  X  A. y  e.  s  ( x D y )  <  R  ->  E. x  e.  X  ( x ( ball `  D ) R )  e.  F ) )
389, 13, 373syld 53 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F )  ->  ( A. x  e.  s  A. y  e.  s  ( x D y )  <  R  ->  E. x  e.  X  ( x ( ball `  D ) R )  e.  F ) )
3938rexlimdva 2775 . 2  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  ->  ( E. s  e.  F  A. x  e.  s  A. y  e.  s 
( x D y )  <  R  ->  E. x  e.  X  ( x ( ball `  D ) R )  e.  F ) )
402, 39mpd 15 1  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  ->  E. x  e.  X  ( x
( ball `  D ) R )  e.  F
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    e. wcel 1717    =/= wne 2552   A.wral 2651   E.wrex 2652    C_ wss 3265   (/)c0 3573   class class class wbr 4155   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   RR*cxr 9054    < clt 9055   RR+crp 10546   * Metcxmt 16614   ballcbl 16616   Filcfil 17800  CauFilccfil 19078
This theorem is referenced by:  iscfil3  19099  cfilfcls  19100  relcmpcmet  19142
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-op 3768  df-uni 3960  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-riota 6487  df-er 6843  df-map 6958  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-div 9612  df-2 9992  df-rp 10547  df-xneg 10644  df-xadd 10645  df-xmul 10646  df-ico 10856  df-xmet 16621  df-bl 16623  df-fbas 16625  df-fil 17801  df-cfil 19081
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