MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cfil3i Unicode version

Theorem cfil3i 18695
Description: A Cauchy filter contains balls of any pre-chosen size. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
cfil3i  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  ->  E. x  e.  X  ( x
( ball `  D ) R )  e.  F
)
Distinct variable groups:    x, F    x, X    x, R    x, D

Proof of Theorem cfil3i
Dummy variables  s 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cfili 18694 . . 3  |-  ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  ->  E. s  e.  F  A. x  e.  s  A. y  e.  s  ( x D y )  < 
R )
213adant1 973 . 2  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  ->  E. s  e.  F  A. x  e.  s  A. y  e.  s  ( x D y )  < 
R )
3 cfilfil 18693 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  D ) )  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
433adant3 975 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  ->  F  e.  ( Fil `  X
) )
5 fileln0 17545 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  s  e.  F )  ->  s  =/=  (/) )
64, 5sylan 457 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F )  ->  s  =/=  (/) )
7 r19.2z 3543 . . . . . 6  |-  ( ( s  =/=  (/)  /\  A. x  e.  s  A. y  e.  s  (
x D y )  <  R )  ->  E. x  e.  s  A. y  e.  s 
( x D y )  <  R )
87ex 423 . . . . 5  |-  ( s  =/=  (/)  ->  ( A. x  e.  s  A. y  e.  s  (
x D y )  <  R  ->  E. x  e.  s  A. y  e.  s  ( x D y )  < 
R ) )
96, 8syl 15 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F )  ->  ( A. x  e.  s  A. y  e.  s  ( x D y )  <  R  ->  E. x  e.  s 
A. y  e.  s  ( x D y )  <  R ) )
10 filelss 17547 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  s  e.  F )  ->  s  C_  X )
114, 10sylan 457 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F )  ->  s  C_  X )
12 ssrexv 3238 . . . . 5  |-  ( s 
C_  X  ->  ( E. x  e.  s  A. y  e.  s 
( x D y )  <  R  ->  E. x  e.  X  A. y  e.  s 
( x D y )  <  R ) )
1311, 12syl 15 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F )  ->  ( E. x  e.  s  A. y  e.  s  ( x D y )  <  R  ->  E. x  e.  X  A. y  e.  s 
( x D y )  <  R ) )
14 dfss3 3170 . . . . . . 7  |-  ( s 
C_  ( x (
ball `  D ) R )  <->  A. y  e.  s  y  e.  ( x ( ball `  D ) R ) )
15 simpl1 958 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F )  ->  D  e.  ( * Met `  X ) )
1615ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F
)  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  s )  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
17 simpll3 996 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F )  /\  x  e.  X
)  ->  R  e.  RR+ )
1817rpxrd 10391 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F )  /\  x  e.  X
)  ->  R  e.  RR* )
1918adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F
)  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  s )  ->  R  e.  RR* )
20 simplr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F
)  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  s )  ->  x  e.  X )
2111adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F )  /\  x  e.  X
)  ->  s  C_  X )
2221sselda 3180 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F
)  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  s )  ->  y  e.  X )
23 elbl2 17950 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( y  e.  ( x ( ball `  D
) R )  <->  ( x D y )  < 
R ) )
2416, 19, 20, 22, 23syl22anc 1183 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F
)  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  s )  ->  (
y  e.  ( x ( ball `  D
) R )  <->  ( x D y )  < 
R ) )
2524ralbidva 2559 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F )  /\  x  e.  X
)  ->  ( A. y  e.  s  y  e.  ( x ( ball `  D ) R )  <->  A. y  e.  s 
( x D y )  <  R ) )
2614, 25syl5bb 248 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F )  /\  x  e.  X
)  ->  ( s  C_  ( x ( ball `  D ) R )  <->  A. y  e.  s 
( x D y )  <  R ) )
274ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F )  /\  x  e.  X
)  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
28 simplr 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F )  /\  x  e.  X
)  ->  s  e.  F )
2915adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F )  /\  x  e.  X
)  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
30 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F )  /\  x  e.  X
)  ->  x  e.  X )
31 blssm 17968 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( x ( ball `  D ) R ) 
C_  X )
3229, 30, 18, 31syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F )  /\  x  e.  X
)  ->  ( x
( ball `  D ) R )  C_  X
)
33 filss 17548 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  (
s  e.  F  /\  ( x ( ball `  D ) R ) 
C_  X  /\  s  C_  ( x ( ball `  D ) R ) ) )  ->  (
x ( ball `  D
) R )  e.  F )
34333exp2 1169 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( s  e.  F  ->  ( ( x ( ball `  D
) R )  C_  X  ->  ( s  C_  ( x ( ball `  D ) R )  ->  ( x (
ball `  D ) R )  e.  F
) ) ) )
3527, 28, 32, 34syl3c 57 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F )  /\  x  e.  X
)  ->  ( s  C_  ( x ( ball `  D ) R )  ->  ( x (
ball `  D ) R )  e.  F
) )
3626, 35sylbird 226 . . . . 5  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F )  /\  x  e.  X
)  ->  ( A. y  e.  s  (
x D y )  <  R  ->  (
x ( ball `  D
) R )  e.  F ) )
3736reximdva 2655 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F )  ->  ( E. x  e.  X  A. y  e.  s  ( x D y )  <  R  ->  E. x  e.  X  ( x ( ball `  D ) R )  e.  F ) )
389, 13, 373syld 51 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F )  ->  ( A. x  e.  s  A. y  e.  s  ( x D y )  <  R  ->  E. x  e.  X  ( x ( ball `  D ) R )  e.  F ) )
3938rexlimdva 2667 . 2  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  ->  ( E. s  e.  F  A. x  e.  s  A. y  e.  s 
( x D y )  <  R  ->  E. x  e.  X  ( x ( ball `  D ) R )  e.  F ) )
402, 39mpd 14 1  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  ->  E. x  e.  X  ( x
( ball `  D ) R )  e.  F
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544    C_ wss 3152   (/)c0 3455   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   RR*cxr 8866    < clt 8867   RR+crp 10354   * Metcxmt 16369   ballcbl 16371   Filcfil 17540  CauFilccfil 18678
This theorem is referenced by:  iscfil3  18699  cfilfcls  18700  relcmpcmet  18742
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-2 9804  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ico 10662  df-xmet 16373  df-bl 16375  df-fbas 17520  df-fil 17541  df-cfil 18681
  Copyright terms: Public domain W3C validator