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Theorem cfilfcls 19227
Description: Similar to ultrafilters (uffclsflim 18063), the cluster points and limit points of a Cauchy filter coincide. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cfilfcls.1  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
cfilfcls.2  |-  X  =  dom  dom  D
Assertion
Ref Expression
cfilfcls  |-  ( F  e.  (CauFil `  D
)  ->  ( J  fClus  F )  =  ( J  fLim  F )
)

Proof of Theorem cfilfcls
Dummy variables  x  y  z  f  r 
d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2436 . . . . . . . 8  |-  U. J  =  U. J
21fclselbas 18048 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( J  fClus  F )  ->  x  e.  U. J )
32adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  ->  x  e.  U. J )
4 df-cfil 19208 . . . . . . . . . . . . 13  |- CauFil  =  ( d  e.  U. ran  * Met  |->  { f  e.  ( Fil `  dom  dom  d )  |  A. x  e.  RR+  E. y  e.  f  ( d " ( y  X.  y ) )  C_  ( 0 [,) x
) } )
54dmmptss 5366 . . . . . . . . . . . 12  |-  dom CauFil  C_  U. ran  * Met
6 elfvdm 5757 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  (CauFil `  D
)  ->  D  e.  dom CauFil )
75, 6sseldi 3346 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  (CauFil `  D
)  ->  D  e.  U.
ran  * Met )
8 xmetunirn 18367 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  e.  U. ran  * Met 
<->  D  e.  ( * Met `  dom  dom  D ) )
97, 8sylib 189 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  (CauFil `  D
)  ->  D  e.  ( * Met `  dom  dom 
D ) )
10 cfilfcls.2 . . . . . . . . . . 11  |-  X  =  dom  dom  D
1110fveq2i 5731 . . . . . . . . . 10  |-  ( * Met `  X )  =  ( * Met ` 
dom  dom  D )
129, 11syl6eleqr 2527 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  (CauFil `  D
)  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
1312adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
14 cfilfcls.1 . . . . . . . . 9  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
1514mopntopon 18469 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
1613, 15syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
17 toponuni 16992 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
1816, 17syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  ->  X  =  U. J )
193, 18eleqtrrd 2513 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  ->  x  e.  X )
2014mopni2 18523 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  y  e.  J  /\  x  e.  y
)  ->  E. r  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
r )  C_  y
)
21203expb 1154 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( y  e.  J  /\  x  e.  y ) )  ->  E. r  e.  RR+  (
x ( ball `  D
) r )  C_  y )
2213, 21sylan 458 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  ( y  e.  J  /\  x  e.  y ) )  ->  E. r  e.  RR+  (
x ( ball `  D
) r )  C_  y )
23 cfilfil 19220 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  D ) )  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
2412, 23mpancom 651 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  (CauFil `  D
)  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
2524adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
2625ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  ( y  e.  J  /\  x  e.  y ) )  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D ) r ) 
C_  y ) )  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
2713adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
28 simpll 731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  F  e.  (CauFil `  D )
)
29 rphalfcl 10636 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  e.  RR+  ->  ( r  /  2 )  e.  RR+ )
3029adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( r  /  2 )  e.  RR+ )
31 rphalfcl 10636 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( r  /  2 )  e.  RR+  ->  ( ( r  /  2 )  /  2 )  e.  RR+ )
3230, 31syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( ( r  /  2 )  /  2 )  e.  RR+ )
33 cfil3i 19222 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  (
( r  /  2
)  /  2 )  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  X  ( y
( ball `  D )
( ( r  / 
2 )  /  2
) )  e.  F
)
3427, 28, 32, 33syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  X  ( y
( ball `  D )
( ( r  / 
2 )  /  2
) )  e.  F
)
3525ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) )  e.  F ) )  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
36 simprr 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) )  e.  F ) )  -> 
( y ( ball `  D ) ( ( r  /  2 )  /  2 ) )  e.  F )
3727adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) )  e.  F ) )  ->  D  e.  ( * Met `  X ) )
3819ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) )  e.  F ) )  ->  x  e.  X )
39 rpxr 10619 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e. 
RR* )
4039ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) )  e.  F ) )  -> 
r  e.  RR* )
41 blssm 18448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  r  e.  RR* )  ->  ( x ( ball `  D ) r ) 
C_  X )
4237, 38, 40, 41syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) )  e.  F ) )  -> 
( x ( ball `  D ) r ) 
C_  X )
43 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) )  e.  F ) )  ->  x  e.  ( J  fClus  F ) )
4430adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) )  e.  F ) )  -> 
( r  /  2
)  e.  RR+ )
45 rpxr 10619 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( r  /  2 )  e.  RR+  ->  ( r  /  2 )  e. 
RR* )
4644, 45syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) )  e.  F ) )  -> 
( r  /  2
)  e.  RR* )
4714blopn 18530 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  ( r  /  2
)  e.  RR* )  ->  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  e.  J )
4837, 38, 46, 47syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) )  e.  F ) )  -> 
( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  e.  J )
49 blcntr 18443 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  ( r  /  2
)  e.  RR+ )  ->  x  e.  ( x ( ball `  D
) ( r  / 
2 ) ) )
5037, 38, 44, 49syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) )  e.  F ) )  ->  x  e.  ( x
( ball `  D )
( r  /  2
) ) )
51 fclsopni 18047 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( J 
fClus  F )  /\  (
( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  e.  J  /\  x  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  /\  ( y (
ball `  D )
( ( r  / 
2 )  /  2
) )  e.  F
) )  ->  (
( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  i^i  ( y (
ball `  D )
( ( r  / 
2 )  /  2
) ) )  =/=  (/) )
5243, 48, 50, 36, 51syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) )  e.  F ) )  -> 
( ( x (
ball `  D )
( r  /  2
) )  i^i  (
y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) )  =/=  (/) )
53 n0 3637 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  i^i  ( y (
ball `  D )
( ( r  / 
2 )  /  2
) ) )  =/=  (/) 
<->  E. z  z  e.  ( ( x (
ball `  D )
( r  /  2
) )  i^i  (
y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) )
5452, 53sylib 189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) )  e.  F ) )  ->  E. z  z  e.  ( ( x (
ball `  D )
( r  /  2
) )  i^i  (
y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) )
55 elin 3530 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  ( ( x ( ball `  D
) ( r  / 
2 ) )  i^i  ( y ( ball `  D ) ( ( r  /  2 )  /  2 ) ) )  <->  ( z  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  /\  z  e.  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) )
5637adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D
)  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D ) ( ( r  /  2 )  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( z  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  /\  z  e.  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) )  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
57 simplrl 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D
)  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D ) ( ( r  /  2 )  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( z  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  /\  z  e.  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) )  ->  y  e.  X )
5844adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D
)  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D ) ( ( r  /  2 )  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( z  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  /\  z  e.  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) )  ->  ( r  /  2 )  e.  RR+ )
5958rpred 10648 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D
)  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D ) ( ( r  /  2 )  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( z  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  /\  z  e.  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) )  ->  ( r  /  2 )  e.  RR )
60 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D
)  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D ) ( ( r  /  2 )  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( z  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  /\  z  e.  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) )  ->  z  e.  ( y ( ball `  D ) ( ( r  /  2 )  /  2 ) ) )
61 blhalf 18435 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  y  e.  X )  /\  (
( r  /  2
)  e.  RR  /\  z  e.  ( y
( ball `  D )
( ( r  / 
2 )  /  2
) ) ) )  ->  ( y (
ball `  D )
( ( r  / 
2 )  /  2
) )  C_  (
z ( ball `  D
) ( r  / 
2 ) ) )
6256, 57, 59, 60, 61syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D
)  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D ) ( ( r  /  2 )  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( z  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  /\  z  e.  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) )  ->  ( y
( ball `  D )
( ( r  / 
2 )  /  2
) )  C_  (
z ( ball `  D
) ( r  / 
2 ) ) )
63 blssm 18448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  ( r  /  2
)  e.  RR* )  ->  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) 
C_  X )
6437, 38, 46, 63syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) )  e.  F ) )  -> 
( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) 
C_  X )
6564sselda 3348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D
)  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D ) ( ( r  /  2 )  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  z  e.  ( x ( ball `  D
) ( r  / 
2 ) ) )  ->  z  e.  X
)
6665adantrr 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D
)  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D ) ( ( r  /  2 )  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( z  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  /\  z  e.  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) )  ->  z  e.  X )
67 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D
)  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D ) ( ( r  /  2 )  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( z  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  /\  z  e.  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) )  ->  r  e.  RR+ )
6867rpred 10648 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D
)  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D ) ( ( r  /  2 )  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( z  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  /\  z  e.  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) )  ->  r  e.  RR )
69 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D
)  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D ) ( ( r  /  2 )  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( z  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  /\  z  e.  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) )  ->  z  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) )
7058, 45syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D
)  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D ) ( ( r  /  2 )  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( z  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  /\  z  e.  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) )  ->  ( r  /  2 )  e. 
RR* )
7138adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D
)  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D ) ( ( r  /  2 )  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( z  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  /\  z  e.  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) )  ->  x  e.  X )
72 blcom 18424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( r  /  2 )  e. 
RR* )  /\  (
x  e.  X  /\  z  e.  X )
)  ->  ( z  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  <-> 
x  e.  ( z ( ball `  D
) ( r  / 
2 ) ) ) )
7356, 70, 71, 66, 72syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D
)  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D ) ( ( r  /  2 )  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( z  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  /\  z  e.  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) )  ->  ( z  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  <-> 
x  e.  ( z ( ball `  D
) ( r  / 
2 ) ) ) )
7469, 73mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D
)  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D ) ( ( r  /  2 )  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( z  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  /\  z  e.  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) )  ->  x  e.  ( z ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) )
75 blhalf 18435 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  z  e.  X )  /\  (
r  e.  RR  /\  x  e.  ( z
( ball `  D )
( r  /  2
) ) ) )  ->  ( z (
ball `  D )
( r  /  2
) )  C_  (
x ( ball `  D
) r ) )
7656, 66, 68, 74, 75syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D
)  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D ) ( ( r  /  2 )  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( z  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  /\  z  e.  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) )  ->  ( z
( ball `  D )
( r  /  2
) )  C_  (
x ( ball `  D
) r ) )
7762, 76sstrd 3358 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D
)  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D ) ( ( r  /  2 )  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( z  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  /\  z  e.  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) )  ->  ( y
( ball `  D )
( ( r  / 
2 )  /  2
) )  C_  (
x ( ball `  D
) r ) )
7877ex 424 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) )  e.  F ) )  -> 
( ( z  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  /\  z  e.  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) )  ->  ( y (
ball `  D )
( ( r  / 
2 )  /  2
) )  C_  (
x ( ball `  D
) r ) ) )
7955, 78syl5bi 209 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) )  e.  F ) )  -> 
( z  e.  ( ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  i^i  ( y (
ball `  D )
( ( r  / 
2 )  /  2
) ) )  -> 
( y ( ball `  D ) ( ( r  /  2 )  /  2 ) ) 
C_  ( x (
ball `  D )
r ) ) )
8079exlimdv 1646 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) )  e.  F ) )  -> 
( E. z  z  e.  ( ( x ( ball `  D
) ( r  / 
2 ) )  i^i  ( y ( ball `  D ) ( ( r  /  2 )  /  2 ) ) )  ->  ( y
( ball `  D )
( ( r  / 
2 )  /  2
) )  C_  (
x ( ball `  D
) r ) ) )
8154, 80mpd 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) )  e.  F ) )  -> 
( y ( ball `  D ) ( ( r  /  2 )  /  2 ) ) 
C_  ( x (
ball `  D )
r ) )
82 filss 17885 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  (
( y ( ball `  D ) ( ( r  /  2 )  /  2 ) )  e.  F  /\  (
x ( ball `  D
) r )  C_  X  /\  ( y (
ball `  D )
( ( r  / 
2 )  /  2
) )  C_  (
x ( ball `  D
) r ) ) )  ->  ( x
( ball `  D )
r )  e.  F
)
8335, 36, 42, 81, 82syl13anc 1186 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) )  e.  F ) )  -> 
( x ( ball `  D ) r )  e.  F )
8434, 83rexlimddv 2834 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( x ( ball `  D
) r )  e.  F )
8584ad2ant2r 728 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  ( y  e.  J  /\  x  e.  y ) )  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D ) r ) 
C_  y ) )  ->  ( x (
ball `  D )
r )  e.  F
)
86 toponss 16994 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J )  ->  y  C_  X )
8786adantrr 698 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
y  e.  J  /\  x  e.  y )
)  ->  y  C_  X )
8816, 87sylan 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  ( y  e.  J  /\  x  e.  y ) )  -> 
y  C_  X )
8988adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  ( y  e.  J  /\  x  e.  y ) )  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D ) r ) 
C_  y ) )  ->  y  C_  X
)
90 simprr 734 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  ( y  e.  J  /\  x  e.  y ) )  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D ) r ) 
C_  y ) )  ->  ( x (
ball `  D )
r )  C_  y
)
91 filss 17885 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  (
( x ( ball `  D ) r )  e.  F  /\  y  C_  X  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  y ) )  -> 
y  e.  F )
9226, 85, 89, 90, 91syl13anc 1186 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  ( y  e.  J  /\  x  e.  y ) )  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D ) r ) 
C_  y ) )  ->  y  e.  F
)
9322, 92rexlimddv 2834 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  ( y  e.  J  /\  x  e.  y ) )  -> 
y  e.  F )
9493expr 599 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  y  e.  J )  ->  (
x  e.  y  -> 
y  e.  F ) )
9594ralrimiva 2789 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  ->  A. y  e.  J  ( x  e.  y  ->  y  e.  F ) )
96 flimopn 18007 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  ->  (
x  e.  ( J 
fLim  F )  <->  ( x  e.  X  /\  A. y  e.  J  ( x  e.  y  ->  y  e.  F ) ) ) )
9716, 25, 96syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  ->  ( x  e.  ( J  fLim  F
)  <->  ( x  e.  X  /\  A. y  e.  J  ( x  e.  y  ->  y  e.  F ) ) ) )
9819, 95, 97mpbir2and 889 . . . 4  |-  ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  ->  x  e.  ( J  fLim  F ) )
9998ex 424 . . 3  |-  ( F  e.  (CauFil `  D
)  ->  ( x  e.  ( J  fClus  F )  ->  x  e.  ( J  fLim  F )
) )
10099ssrdv 3354 . 2  |-  ( F  e.  (CauFil `  D
)  ->  ( J  fClus  F )  C_  ( J  fLim  F ) )
101 flimfcls 18058 . . 3  |-  ( J 
fLim  F )  C_  ( J  fClus  F )
102101a1i 11 . 2  |-  ( F  e.  (CauFil `  D
)  ->  ( J  fLim  F )  C_  ( J  fClus  F ) )
103100, 102eqssd 3365 1  |-  ( F  e.  (CauFil `  D
)  ->  ( J  fClus  F )  =  ( J  fLim  F )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   A.wral 2705   E.wrex 2706   {crab 2709    i^i cin 3319    C_ wss 3320   (/)c0 3628   U.cuni 4015    X. cxp 4876   dom cdm 4878   ran crn 4879   "cima 4881   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   RRcr 8989   0cc0 8990   RR*cxr 9119    / cdiv 9677   2c2 10049   RR+crp 10612   [,)cico 10918   * Metcxmt 16686   ballcbl 16688   MetOpencmopn 16691  TopOnctopon 16959   Filcfil 17877    fLim cflim 17966    fClus cfcls 17968  CauFilccfil 19205
This theorem is referenced by:  relcmpcmet  19269
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-ico 10922  df-topgen 13667  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-fbas 16699  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-cld 17083  df-ntr 17084  df-cls 17085  df-nei 17162  df-fil 17878  df-flim 17971  df-fcls 17973  df-cfil 19208
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