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Theorem cfilfcls 18716
Description: Similar to ultrafilters (uffclsflim 17742), the cluster points and limit points of a Cauchy filter coincide. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cfilfcls.1  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
cfilfcls.2  |-  X  =  dom  dom  D
Assertion
Ref Expression
cfilfcls  |-  ( F  e.  (CauFil `  D
)  ->  ( J  fClus  F )  =  ( J  fLim  F )
)

Proof of Theorem cfilfcls
Dummy variables  x  y  z  f  r 
d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  U. J  =  U. J
21fclselbas 17727 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( J  fClus  F )  ->  x  e.  U. J )
32adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  ->  x  e.  U. J )
4 df-cfil 18697 . . . . . . . . . . . . 13  |- CauFil  =  ( d  e.  U. ran  * Met  |->  { f  e.  ( Fil `  dom  dom  d )  |  A. x  e.  RR+  E. y  e.  f  ( d " ( y  X.  y ) )  C_  ( 0 [,) x
) } )
54dmmptss 5185 . . . . . . . . . . . 12  |-  dom CauFil  C_  U. ran  * Met
6 elfvdm 5570 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  (CauFil `  D
)  ->  D  e.  dom CauFil )
75, 6sseldi 3191 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  (CauFil `  D
)  ->  D  e.  U.
ran  * Met )
8 xmetunirn 17918 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  e.  U. ran  * Met 
<->  D  e.  ( * Met `  dom  dom  D ) )
97, 8sylib 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  (CauFil `  D
)  ->  D  e.  ( * Met `  dom  dom 
D ) )
10 cfilfcls.2 . . . . . . . . . . 11  |-  X  =  dom  dom  D
1110fveq2i 5544 . . . . . . . . . 10  |-  ( * Met `  X )  =  ( * Met ` 
dom  dom  D )
129, 11syl6eleqr 2387 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  (CauFil `  D
)  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
1312adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
14 cfilfcls.1 . . . . . . . . 9  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
1514mopntopon 18001 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
1613, 15syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
17 toponuni 16681 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
1816, 17syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  ->  X  =  U. J )
193, 18eleqtrrd 2373 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  ->  x  e.  X )
2014mopni2 18055 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  y  e.  J  /\  x  e.  y
)  ->  E. r  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
r )  C_  y
)
21203expb 1152 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( y  e.  J  /\  x  e.  y ) )  ->  E. r  e.  RR+  (
x ( ball `  D
) r )  C_  y )
2213, 21sylan 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  ( y  e.  J  /\  x  e.  y ) )  ->  E. r  e.  RR+  (
x ( ball `  D
) r )  C_  y )
23 cfilfil 18709 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  D ) )  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
2412, 23mpancom 650 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  e.  (CauFil `  D
)  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
2524adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
2625ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  ( y  e.  J  /\  x  e.  y ) )  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D ) r ) 
C_  y ) )  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
2713adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
28 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  F  e.  (CauFil `  D )
)
29 rphalfcl 10394 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( r  e.  RR+  ->  ( r  /  2 )  e.  RR+ )
3029adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( r  /  2 )  e.  RR+ )
31 rphalfcl 10394 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( r  /  2 )  e.  RR+  ->  ( ( r  /  2 )  /  2 )  e.  RR+ )
3230, 31syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( ( r  /  2 )  /  2 )  e.  RR+ )
33 cfil3i 18711 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  (
( r  /  2
)  /  2 )  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  X  ( y
( ball `  D )
( ( r  / 
2 )  /  2
) )  e.  F
)
3427, 28, 32, 33syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  X  ( y
( ball `  D )
( ( r  / 
2 )  /  2
) )  e.  F
)
3525ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) )  e.  F ) )  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
36 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) )  e.  F ) )  -> 
( y ( ball `  D ) ( ( r  /  2 )  /  2 ) )  e.  F )
3727adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) )  e.  F ) )  ->  D  e.  ( * Met `  X ) )
3819ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) )  e.  F ) )  ->  x  e.  X )
39 rpxr 10377 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e. 
RR* )
4039ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) )  e.  F ) )  -> 
r  e.  RR* )
41 blssm 17984 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  r  e.  RR* )  ->  ( x ( ball `  D ) r ) 
C_  X )
4237, 38, 40, 41syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) )  e.  F ) )  -> 
( x ( ball `  D ) r ) 
C_  X )
43 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) )  e.  F ) )  ->  x  e.  ( J  fClus  F ) )
4430adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) )  e.  F ) )  -> 
( r  /  2
)  e.  RR+ )
45 rpxr 10377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( r  /  2 )  e.  RR+  ->  ( r  /  2 )  e. 
RR* )
4644, 45syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) )  e.  F ) )  -> 
( r  /  2
)  e.  RR* )
4714blopn 18062 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  ( r  /  2
)  e.  RR* )  ->  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  e.  J )
4837, 38, 46, 47syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) )  e.  F ) )  -> 
( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  e.  J )
49 blcntr 17980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  ( r  /  2
)  e.  RR+ )  ->  x  e.  ( x ( ball `  D
) ( r  / 
2 ) ) )
5037, 38, 44, 49syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) )  e.  F ) )  ->  x  e.  ( x
( ball `  D )
( r  /  2
) ) )
51 fclsopni 17726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( J 
fClus  F )  /\  (
( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  e.  J  /\  x  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  /\  ( y (
ball `  D )
( ( r  / 
2 )  /  2
) )  e.  F
) )  ->  (
( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  i^i  ( y (
ball `  D )
( ( r  / 
2 )  /  2
) ) )  =/=  (/) )
5243, 48, 50, 36, 51syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) )  e.  F ) )  -> 
( ( x (
ball `  D )
( r  /  2
) )  i^i  (
y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) )  =/=  (/) )
53 n0 3477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  i^i  ( y (
ball `  D )
( ( r  / 
2 )  /  2
) ) )  =/=  (/) 
<->  E. z  z  e.  ( ( x (
ball `  D )
( r  /  2
) )  i^i  (
y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) )
5452, 53sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) )  e.  F ) )  ->  E. z  z  e.  ( ( x (
ball `  D )
( r  /  2
) )  i^i  (
y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) )
55 elin 3371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  ( ( x ( ball `  D
) ( r  / 
2 ) )  i^i  ( y ( ball `  D ) ( ( r  /  2 )  /  2 ) ) )  <->  ( z  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  /\  z  e.  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) )
5637adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D
)  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D ) ( ( r  /  2 )  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( z  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  /\  z  e.  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) )  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
57 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D
)  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D ) ( ( r  /  2 )  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( z  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  /\  z  e.  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) )  ->  y  e.  X )
5844adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D
)  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D ) ( ( r  /  2 )  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( z  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  /\  z  e.  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) )  ->  ( r  /  2 )  e.  RR+ )
5958rpred 10406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D
)  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D ) ( ( r  /  2 )  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( z  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  /\  z  e.  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) )  ->  ( r  /  2 )  e.  RR )
60 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D
)  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D ) ( ( r  /  2 )  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( z  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  /\  z  e.  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) )  ->  z  e.  ( y ( ball `  D ) ( ( r  /  2 )  /  2 ) ) )
61 blhalf 17976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  y  e.  X )  /\  (
( r  /  2
)  e.  RR  /\  z  e.  ( y
( ball `  D )
( ( r  / 
2 )  /  2
) ) ) )  ->  ( y (
ball `  D )
( ( r  / 
2 )  /  2
) )  C_  (
z ( ball `  D
) ( r  / 
2 ) ) )
6256, 57, 59, 60, 61syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D
)  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D ) ( ( r  /  2 )  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( z  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  /\  z  e.  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) )  ->  ( y
( ball `  D )
( ( r  / 
2 )  /  2
) )  C_  (
z ( ball `  D
) ( r  / 
2 ) ) )
63 blssm 17984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  ( r  /  2
)  e.  RR* )  ->  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) 
C_  X )
6437, 38, 46, 63syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) )  e.  F ) )  -> 
( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) 
C_  X )
6564sselda 3193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D
)  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D ) ( ( r  /  2 )  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  z  e.  ( x ( ball `  D
) ( r  / 
2 ) ) )  ->  z  e.  X
)
6665adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D
)  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D ) ( ( r  /  2 )  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( z  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  /\  z  e.  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) )  ->  z  e.  X )
67 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D
)  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D ) ( ( r  /  2 )  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( z  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  /\  z  e.  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) )  ->  r  e.  RR+ )
6867rpred 10406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D
)  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D ) ( ( r  /  2 )  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( z  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  /\  z  e.  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) )  ->  r  e.  RR )
69 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D
)  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D ) ( ( r  /  2 )  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( z  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  /\  z  e.  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) )  ->  z  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) )
7058, 45syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D
)  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D ) ( ( r  /  2 )  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( z  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  /\  z  e.  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) )  ->  ( r  /  2 )  e. 
RR* )
7138adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D
)  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D ) ( ( r  /  2 )  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( z  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  /\  z  e.  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) )  ->  x  e.  X )
72 blcom 17968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( r  /  2 )  e. 
RR* )  /\  (
x  e.  X  /\  z  e.  X )
)  ->  ( z  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  <-> 
x  e.  ( z ( ball `  D
) ( r  / 
2 ) ) ) )
7356, 70, 71, 66, 72syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D
)  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D ) ( ( r  /  2 )  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( z  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  /\  z  e.  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) )  ->  ( z  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  <-> 
x  e.  ( z ( ball `  D
) ( r  / 
2 ) ) ) )
7469, 73mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D
)  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D ) ( ( r  /  2 )  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( z  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  /\  z  e.  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) )  ->  x  e.  ( z ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) )
75 blhalf 17976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  z  e.  X )  /\  (
r  e.  RR  /\  x  e.  ( z
( ball `  D )
( r  /  2
) ) ) )  ->  ( z (
ball `  D )
( r  /  2
) )  C_  (
x ( ball `  D
) r ) )
7656, 66, 68, 74, 75syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D
)  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D ) ( ( r  /  2 )  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( z  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  /\  z  e.  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) )  ->  ( z
( ball `  D )
( r  /  2
) )  C_  (
x ( ball `  D
) r ) )
7762, 76sstrd 3202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D
)  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D ) ( ( r  /  2 )  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( z  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  /\  z  e.  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) )  ->  ( y
( ball `  D )
( ( r  / 
2 )  /  2
) )  C_  (
x ( ball `  D
) r ) )
7877ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) )  e.  F ) )  -> 
( ( z  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  /\  z  e.  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) )  ->  ( y (
ball `  D )
( ( r  / 
2 )  /  2
) )  C_  (
x ( ball `  D
) r ) ) )
7955, 78syl5bi 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) )  e.  F ) )  -> 
( z  e.  ( ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  i^i  ( y (
ball `  D )
( ( r  / 
2 )  /  2
) ) )  -> 
( y ( ball `  D ) ( ( r  /  2 )  /  2 ) ) 
C_  ( x (
ball `  D )
r ) ) )
8079exlimdv 1626 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) )  e.  F ) )  -> 
( E. z  z  e.  ( ( x ( ball `  D
) ( r  / 
2 ) )  i^i  ( y ( ball `  D ) ( ( r  /  2 )  /  2 ) ) )  ->  ( y
( ball `  D )
( ( r  / 
2 )  /  2
) )  C_  (
x ( ball `  D
) r ) ) )
8154, 80mpd 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) )  e.  F ) )  -> 
( y ( ball `  D ) ( ( r  /  2 )  /  2 ) ) 
C_  ( x (
ball `  D )
r ) )
82 filss 17564 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  (
( y ( ball `  D ) ( ( r  /  2 )  /  2 ) )  e.  F  /\  (
x ( ball `  D
) r )  C_  X  /\  ( y (
ball `  D )
( ( r  / 
2 )  /  2
) )  C_  (
x ( ball `  D
) r ) ) )  ->  ( x
( ball `  D )
r )  e.  F
)
8335, 36, 42, 81, 82syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) )  e.  F ) )  -> 
( x ( ball `  D ) r )  e.  F )
8483expr 598 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  y  e.  X
)  ->  ( (
y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) )  e.  F  ->  ( x
( ball `  D )
r )  e.  F
) )
8584rexlimdva 2680 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( E. y  e.  X  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) )  e.  F  ->  ( x
( ball `  D )
r )  e.  F
) )
8634, 85mpd 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( x ( ball `  D
) r )  e.  F )
8786ad2ant2r 727 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  ( y  e.  J  /\  x  e.  y ) )  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D ) r ) 
C_  y ) )  ->  ( x (
ball `  D )
r )  e.  F
)
88 toponss 16683 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J )  ->  y  C_  X )
8988adantrr 697 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
y  e.  J  /\  x  e.  y )
)  ->  y  C_  X )
9016, 89sylan 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  ( y  e.  J  /\  x  e.  y ) )  -> 
y  C_  X )
9190adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  ( y  e.  J  /\  x  e.  y ) )  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D ) r ) 
C_  y ) )  ->  y  C_  X
)
92 simprr 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  ( y  e.  J  /\  x  e.  y ) )  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D ) r ) 
C_  y ) )  ->  ( x (
ball `  D )
r )  C_  y
)
93 filss 17564 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  (
( x ( ball `  D ) r )  e.  F  /\  y  C_  X  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  y ) )  -> 
y  e.  F )
9426, 87, 91, 92, 93syl13anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  ( y  e.  J  /\  x  e.  y ) )  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D ) r ) 
C_  y ) )  ->  y  e.  F
)
9594expr 598 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  ( y  e.  J  /\  x  e.  y ) )  /\  r  e.  RR+ )  -> 
( ( x (
ball `  D )
r )  C_  y  ->  y  e.  F ) )
9695rexlimdva 2680 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  ( y  e.  J  /\  x  e.  y ) )  -> 
( E. r  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) r ) 
C_  y  ->  y  e.  F ) )
9722, 96mpd 14 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  ( y  e.  J  /\  x  e.  y ) )  -> 
y  e.  F )
9897expr 598 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  y  e.  J )  ->  (
x  e.  y  -> 
y  e.  F ) )
9998ralrimiva 2639 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  ->  A. y  e.  J  ( x  e.  y  ->  y  e.  F ) )
100 flimopn 17686 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  ->  (
x  e.  ( J 
fLim  F )  <->  ( x  e.  X  /\  A. y  e.  J  ( x  e.  y  ->  y  e.  F ) ) ) )
10116, 25, 100syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  ->  ( x  e.  ( J  fLim  F
)  <->  ( x  e.  X  /\  A. y  e.  J  ( x  e.  y  ->  y  e.  F ) ) ) )
10219, 99, 101mpbir2and 888 . . . 4  |-  ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  ->  x  e.  ( J  fLim  F ) )
103102ex 423 . . 3  |-  ( F  e.  (CauFil `  D
)  ->  ( x  e.  ( J  fClus  F )  ->  x  e.  ( J  fLim  F )
) )
104103ssrdv 3198 . 2  |-  ( F  e.  (CauFil `  D
)  ->  ( J  fClus  F )  C_  ( J  fLim  F ) )
105 flimfcls 17737 . . 3  |-  ( J 
fLim  F )  C_  ( J  fClus  F )
106105a1i 10 . 2  |-  ( F  e.  (CauFil `  D
)  ->  ( J  fLim  F )  C_  ( J  fClus  F ) )
107104, 106eqssd 3209 1  |-  ( F  e.  (CauFil `  D
)  ->  ( J  fClus  F )  =  ( J  fLim  F )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   {crab 2560    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   U.cuni 3843    X. cxp 4703   dom cdm 4705   ran crn 4706   "cima 4708   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   RRcr 8752   0cc0 8753   RR*cxr 8882    / cdiv 9439   2c2 9811   RR+crp 10370   [,)cico 10674   * Metcxmt 16385   ballcbl 16387   MetOpencmopn 16388  TopOnctopon 16648   Filcfil 17556    fLim cflim 17645    fClus cfcls 17647  CauFilccfil 18694
This theorem is referenced by:  relcmpcmet  18758
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ico 10678  df-topgen 13360  df-xmet 16389  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-fbas 17536  df-fil 17557  df-flim 17650  df-fcls 17652  df-cfil 18697
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