MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cfilfil Unicode version

Theorem cfilfil 19093
Description: A Cauchy filter is a filter. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
cfilfil  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  D ) )  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )

Proof of Theorem cfilfil
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iscfil 19091 . 2  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( F  e.  (CauFil `  D
)  <->  ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  F  ( D "
( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) ) )
21simprbda 607 1  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  D ) )  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    e. wcel 1717   A.wral 2651   E.wrex 2652    C_ wss 3265    X. cxp 4818   "cima 4823   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   0cc0 8925   RR+crp 10546   [,)cico 10852   * Metcxmt 16614   Filcfil 17800  CauFilccfil 19078
This theorem is referenced by:  cfil3i  19095  iscfil3  19099  cfilfcls  19100  iscmet3  19119  cfilresi  19121  cmetss  19140  relcmpcmet  19142  cfilucfil4  19145  fmcncfil  24123
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-ral 2656  df-rex 2657  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-op 3768  df-uni 3960  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-id 4441  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-map 6958  df-xr 9059  df-xmet 16621  df-cfil 19081
  Copyright terms: Public domain W3C validator