MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cfili Structured version   Unicode version

Theorem cfili 19223
Description: Property of a Cauchy filter. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
cfili  |-  ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  ->  E. x  e.  F  A. y  e.  x  A. z  e.  x  ( y D z )  < 
R )
Distinct variable groups:    x, y,
z, F    x, R, y, z    x, D, y, z

Proof of Theorem cfili
Dummy variables  f 
r  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-cfil 19210 . . . . . . . 8  |- CauFil  =  ( d  e.  U. ran  * Met  |->  { f  e.  ( Fil `  dom  dom  d )  |  A. x  e.  RR+  E. y  e.  f  ( d " ( y  X.  y ) )  C_  ( 0 [,) x
) } )
21dmmptss 5368 . . . . . . 7  |-  dom CauFil  C_  U. ran  * Met
3 elfvdm 5759 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  (CauFil `  D
)  ->  D  e.  dom CauFil )
42, 3sseldi 3348 . . . . . 6  |-  ( F  e.  (CauFil `  D
)  ->  D  e.  U.
ran  * Met )
5 xmetunirn 18369 . . . . . 6  |-  ( D  e.  U. ran  * Met 
<->  D  e.  ( * Met `  dom  dom  D ) )
64, 5sylib 190 . . . . 5  |-  ( F  e.  (CauFil `  D
)  ->  D  e.  ( * Met `  dom  dom 
D ) )
7 iscfil2 19221 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( * Met ` 
dom  dom  D )  -> 
( F  e.  (CauFil `  D )  <->  ( F  e.  ( Fil `  dom  dom 
D )  /\  A. r  e.  RR+  E. x  e.  F  A. y  e.  x  A. z  e.  x  ( y D z )  < 
r ) ) )
86, 7syl 16 . . . 4  |-  ( F  e.  (CauFil `  D
)  ->  ( F  e.  (CauFil `  D )  <->  ( F  e.  ( Fil `  dom  dom  D )  /\  A. r  e.  RR+  E. x  e.  F  A. y  e.  x  A. z  e.  x  (
y D z )  <  r ) ) )
98ibi 234 . . 3  |-  ( F  e.  (CauFil `  D
)  ->  ( F  e.  ( Fil `  dom  dom 
D )  /\  A. r  e.  RR+  E. x  e.  F  A. y  e.  x  A. z  e.  x  ( y D z )  < 
r ) )
109simprd 451 . 2  |-  ( F  e.  (CauFil `  D
)  ->  A. r  e.  RR+  E. x  e.  F  A. y  e.  x  A. z  e.  x  ( y D z )  <  r
)
11 breq2 4218 . . . . 5  |-  ( r  =  R  ->  (
( y D z )  <  r  <->  ( y D z )  < 
R ) )
12112ralbidv 2749 . . . 4  |-  ( r  =  R  ->  ( A. y  e.  x  A. z  e.  x  ( y D z )  <  r  <->  A. y  e.  x  A. z  e.  x  ( y D z )  < 
R ) )
1312rexbidv 2728 . . 3  |-  ( r  =  R  ->  ( E. x  e.  F  A. y  e.  x  A. z  e.  x  ( y D z )  <  r  <->  E. x  e.  F  A. y  e.  x  A. z  e.  x  ( y D z )  < 
R ) )
1413rspccva 3053 . 2  |-  ( ( A. r  e.  RR+  E. x  e.  F  A. y  e.  x  A. z  e.  x  (
y D z )  <  r  /\  R  e.  RR+ )  ->  E. x  e.  F  A. y  e.  x  A. z  e.  x  ( y D z )  < 
R )
1510, 14sylan 459 1  |-  ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  ->  E. x  e.  F  A. y  e.  x  A. z  e.  x  ( y D z )  < 
R )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   E.wrex 2708   {crab 2711    C_ wss 3322   U.cuni 4017   class class class wbr 4214    X. cxp 4878   dom cdm 4880   ran crn 4881   "cima 4883   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   0cc0 8992    < clt 9122   RR+crp 10614   [,)cico 10920   * Metcxmt 16688   Filcfil 17879  CauFilccfil 19207
This theorem is referenced by:  cfil3i  19224  fgcfil  19226  iscmet3  19248  cfilres  19251
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-er 6907  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-2 10060  df-rp 10615  df-xneg 10712  df-xadd 10713  df-xmul 10714  df-ico 10924  df-xmet 16697  df-fbas 16701  df-fil 17880  df-cfil 19210
  Copyright terms: Public domain W3C validator