MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cfili Unicode version

Theorem cfili 18710
Description: Property of a Cauchy filter. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
cfili  |-  ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  ->  E. x  e.  F  A. y  e.  x  A. z  e.  x  ( y D z )  < 
R )
Distinct variable groups:    x, y,
z, F    x, R, y, z    x, D, y, z

Proof of Theorem cfili
Dummy variables  f 
r  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-cfil 18697 . . . . . . . 8  |- CauFil  =  ( d  e.  U. ran  * Met  |->  { f  e.  ( Fil `  dom  dom  d )  |  A. x  e.  RR+  E. y  e.  f  ( d " ( y  X.  y ) )  C_  ( 0 [,) x
) } )
21dmmptss 5185 . . . . . . 7  |-  dom CauFil  C_  U. ran  * Met
3 elfvdm 5570 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  (CauFil `  D
)  ->  D  e.  dom CauFil )
42, 3sseldi 3191 . . . . . 6  |-  ( F  e.  (CauFil `  D
)  ->  D  e.  U.
ran  * Met )
5 xmetunirn 17918 . . . . . 6  |-  ( D  e.  U. ran  * Met 
<->  D  e.  ( * Met `  dom  dom  D ) )
64, 5sylib 188 . . . . 5  |-  ( F  e.  (CauFil `  D
)  ->  D  e.  ( * Met `  dom  dom 
D ) )
7 iscfil2 18708 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( * Met ` 
dom  dom  D )  -> 
( F  e.  (CauFil `  D )  <->  ( F  e.  ( Fil `  dom  dom 
D )  /\  A. r  e.  RR+  E. x  e.  F  A. y  e.  x  A. z  e.  x  ( y D z )  < 
r ) ) )
86, 7syl 15 . . . 4  |-  ( F  e.  (CauFil `  D
)  ->  ( F  e.  (CauFil `  D )  <->  ( F  e.  ( Fil `  dom  dom  D )  /\  A. r  e.  RR+  E. x  e.  F  A. y  e.  x  A. z  e.  x  (
y D z )  <  r ) ) )
98ibi 232 . . 3  |-  ( F  e.  (CauFil `  D
)  ->  ( F  e.  ( Fil `  dom  dom 
D )  /\  A. r  e.  RR+  E. x  e.  F  A. y  e.  x  A. z  e.  x  ( y D z )  < 
r ) )
109simprd 449 . 2  |-  ( F  e.  (CauFil `  D
)  ->  A. r  e.  RR+  E. x  e.  F  A. y  e.  x  A. z  e.  x  ( y D z )  <  r
)
11 breq2 4043 . . . . 5  |-  ( r  =  R  ->  (
( y D z )  <  r  <->  ( y D z )  < 
R ) )
12112ralbidv 2598 . . . 4  |-  ( r  =  R  ->  ( A. y  e.  x  A. z  e.  x  ( y D z )  <  r  <->  A. y  e.  x  A. z  e.  x  ( y D z )  < 
R ) )
1312rexbidv 2577 . . 3  |-  ( r  =  R  ->  ( E. x  e.  F  A. y  e.  x  A. z  e.  x  ( y D z )  <  r  <->  E. x  e.  F  A. y  e.  x  A. z  e.  x  ( y D z )  < 
R ) )
1413rspccva 2896 . 2  |-  ( ( A. r  e.  RR+  E. x  e.  F  A. y  e.  x  A. z  e.  x  (
y D z )  <  r  /\  R  e.  RR+ )  ->  E. x  e.  F  A. y  e.  x  A. z  e.  x  ( y D z )  < 
R )
1510, 14sylan 457 1  |-  ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  ->  E. x  e.  F  A. y  e.  x  A. z  e.  x  ( y D z )  < 
R )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557   {crab 2560    C_ wss 3165   U.cuni 3843   class class class wbr 4039    X. cxp 4703   dom cdm 4705   ran crn 4706   "cima 4708   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   0cc0 8753    < clt 8883   RR+crp 10370   [,)cico 10674   * Metcxmt 16385   Filcfil 17556  CauFilccfil 18694
This theorem is referenced by:  cfil3i  18711  fgcfil  18713  iscmet3  18735  cfilres  18738
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-2 9820  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ico 10678  df-xmet 16389  df-fbas 17536  df-fil 17557  df-cfil 18697
  Copyright terms: Public domain W3C validator