MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cfili Unicode version

Theorem cfili 18694
Description: Property of a Cauchy filter. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
cfili  |-  ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  ->  E. x  e.  F  A. y  e.  x  A. z  e.  x  ( y D z )  < 
R )
Distinct variable groups:    x, y,
z, F    x, R, y, z    x, D, y, z

Proof of Theorem cfili
Dummy variables  f 
r  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-cfil 18681 . . . . . . . 8  |- CauFil  =  ( d  e.  U. ran  * Met  |->  { f  e.  ( Fil `  dom  dom  d )  |  A. x  e.  RR+  E. y  e.  f  ( d " ( y  X.  y ) )  C_  ( 0 [,) x
) } )
21dmmptss 5169 . . . . . . 7  |-  dom CauFil  C_  U. ran  * Met
3 elfvdm 5554 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  (CauFil `  D
)  ->  D  e.  dom CauFil )
42, 3sseldi 3178 . . . . . 6  |-  ( F  e.  (CauFil `  D
)  ->  D  e.  U.
ran  * Met )
5 xmetunirn 17902 . . . . . 6  |-  ( D  e.  U. ran  * Met 
<->  D  e.  ( * Met `  dom  dom  D ) )
64, 5sylib 188 . . . . 5  |-  ( F  e.  (CauFil `  D
)  ->  D  e.  ( * Met `  dom  dom 
D ) )
7 iscfil2 18692 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( * Met ` 
dom  dom  D )  -> 
( F  e.  (CauFil `  D )  <->  ( F  e.  ( Fil `  dom  dom 
D )  /\  A. r  e.  RR+  E. x  e.  F  A. y  e.  x  A. z  e.  x  ( y D z )  < 
r ) ) )
86, 7syl 15 . . . 4  |-  ( F  e.  (CauFil `  D
)  ->  ( F  e.  (CauFil `  D )  <->  ( F  e.  ( Fil `  dom  dom  D )  /\  A. r  e.  RR+  E. x  e.  F  A. y  e.  x  A. z  e.  x  (
y D z )  <  r ) ) )
98ibi 232 . . 3  |-  ( F  e.  (CauFil `  D
)  ->  ( F  e.  ( Fil `  dom  dom 
D )  /\  A. r  e.  RR+  E. x  e.  F  A. y  e.  x  A. z  e.  x  ( y D z )  < 
r ) )
109simprd 449 . 2  |-  ( F  e.  (CauFil `  D
)  ->  A. r  e.  RR+  E. x  e.  F  A. y  e.  x  A. z  e.  x  ( y D z )  <  r
)
11 breq2 4027 . . . . 5  |-  ( r  =  R  ->  (
( y D z )  <  r  <->  ( y D z )  < 
R ) )
12112ralbidv 2585 . . . 4  |-  ( r  =  R  ->  ( A. y  e.  x  A. z  e.  x  ( y D z )  <  r  <->  A. y  e.  x  A. z  e.  x  ( y D z )  < 
R ) )
1312rexbidv 2564 . . 3  |-  ( r  =  R  ->  ( E. x  e.  F  A. y  e.  x  A. z  e.  x  ( y D z )  <  r  <->  E. x  e.  F  A. y  e.  x  A. z  e.  x  ( y D z )  < 
R ) )
1413rspccva 2883 . 2  |-  ( ( A. r  e.  RR+  E. x  e.  F  A. y  e.  x  A. z  e.  x  (
y D z )  <  r  /\  R  e.  RR+ )  ->  E. x  e.  F  A. y  e.  x  A. z  e.  x  ( y D z )  < 
R )
1510, 14sylan 457 1  |-  ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  ->  E. x  e.  F  A. y  e.  x  A. z  e.  x  ( y D z )  < 
R )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547    C_ wss 3152   U.cuni 3827   class class class wbr 4023    X. cxp 4687   dom cdm 4689   ran crn 4690   "cima 4692   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   0cc0 8737    < clt 8867   RR+crp 10354   [,)cico 10658   * Metcxmt 16369   Filcfil 17540  CauFilccfil 18678
This theorem is referenced by:  cfil3i  18695  fgcfil  18697  iscmet3  18719  cfilres  18722
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-2 9804  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ico 10662  df-xmet 16373  df-fbas 17520  df-fil 17541  df-cfil 18681
  Copyright terms: Public domain W3C validator