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Theorem cfilres 18738
Description: Cauchy filter on a metric subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
cfilres  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F
)  ->  ( F  e.  (CauFil `  D )  <->  ( Ft  Y )  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) ) )

Proof of Theorem cfilres
Dummy variables  u  s  v  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 956 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F
)  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
2 filfbas 17559 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  F  e.  ( fBas `  X )
)
31, 2syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F
)  ->  F  e.  ( fBas `  X )
)
4 simp3 957 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F
)  ->  Y  e.  F )
5 fbncp 17550 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  Y  e.  F )  ->  -.  ( X  \  Y )  e.  F )
63, 4, 5syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F
)  ->  -.  ( X  \  Y )  e.  F )
7 filelss 17563 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F )  ->  Y  C_  X )
873adant1 973 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F
)  ->  Y  C_  X
)
9 trfil3 17599 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  (
( Ft  Y )  e.  ( Fil `  Y )  <->  -.  ( X  \  Y
)  e.  F ) )
101, 8, 9syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F
)  ->  ( ( Ft  Y )  e.  ( Fil `  Y )  <->  -.  ( X  \  Y
)  e.  F ) )
116, 10mpbird 223 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F
)  ->  ( Ft  Y
)  e.  ( Fil `  Y ) )
1211adantr 451 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F
)  /\  F  e.  (CauFil `  D ) )  ->  ( Ft  Y )  e.  ( Fil `  Y
) )
13 cfili 18710 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. s  e.  F  A. u  e.  s  A. v  e.  s  ( u D v )  < 
x )
1413adantll 694 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F
)  /\  F  e.  (CauFil `  D ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. s  e.  F  A. u  e.  s  A. v  e.  s 
( u D v )  <  x )
15 simpll2 995 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F
)  /\  F  e.  (CauFil `  D ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
16 simpll3 996 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F
)  /\  F  e.  (CauFil `  D ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  Y  e.  F
)
1715, 16jca 518 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F
)  /\  F  e.  (CauFil `  D ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F ) )
18 elrestr 13349 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F  /\  s  e.  F )  ->  (
s  i^i  Y )  e.  ( Ft  Y ) )
19183expa 1151 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F
)  /\  s  e.  F )  ->  (
s  i^i  Y )  e.  ( Ft  Y ) )
2017, 19sylan 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  /\  F  e.  (CauFil `  D )
)  /\  x  e.  RR+ )  /\  s  e.  F )  ->  (
s  i^i  Y )  e.  ( Ft  Y ) )
21 inss1 3402 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  i^i  Y )  C_  s
22 ssralv 3250 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s  i^i  Y ) 
C_  s  ->  ( A. v  e.  s 
( u D v )  <  x  ->  A. v  e.  (
s  i^i  Y )
( u D v )  <  x ) )
2322ralimdv 2635 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( s  i^i  Y ) 
C_  s  ->  ( A. u  e.  s  A. v  e.  s 
( u D v )  <  x  ->  A. u  e.  s  A. v  e.  (
s  i^i  Y )
( u D v )  <  x ) )
24 ssralv 3250 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( s  i^i  Y ) 
C_  s  ->  ( A. u  e.  s  A. v  e.  (
s  i^i  Y )
( u D v )  <  x  ->  A. u  e.  (
s  i^i  Y ) A. v  e.  (
s  i^i  Y )
( u D v )  <  x ) )
2523, 24syld 40 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( s  i^i  Y ) 
C_  s  ->  ( A. u  e.  s  A. v  e.  s 
( u D v )  <  x  ->  A. u  e.  (
s  i^i  Y ) A. v  e.  (
s  i^i  Y )
( u D v )  <  x ) )
2621, 25ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( A. u  e.  s  A. v  e.  s  (
u D v )  <  x  ->  A. u  e.  ( s  i^i  Y
) A. v  e.  ( s  i^i  Y
) ( u D v )  <  x
)
27 inss2 3403 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  i^i  Y )  C_  Y
2827sseli 3189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  ( s  i^i 
Y )  ->  u  e.  Y )
2927sseli 3189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  e.  ( s  i^i 
Y )  ->  v  e.  Y )
30 ovres 6003 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( u  e.  Y  /\  v  e.  Y )  ->  ( u ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) v )  =  ( u D v ) )
3130breq1d 4049 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  e.  Y  /\  v  e.  Y )  ->  ( ( u ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) v )  <  x  <->  ( u D v )  < 
x ) )
3228, 29, 31syl2an 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  e.  ( s  i^i  Y )  /\  v  e.  ( s  i^i  Y ) )  -> 
( ( u ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) v )  <  x  <->  ( u D v )  < 
x ) )
3332ralbidva 2572 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  ( s  i^i 
Y )  ->  ( A. v  e.  (
s  i^i  Y )
( u ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) v )  <  x  <->  A. v  e.  ( s  i^i  Y
) ( u D v )  <  x
) )
3433ralbiia 2588 . . . . . . . . 9  |-  ( A. u  e.  ( s  i^i  Y ) A. v  e.  ( s  i^i  Y
) ( u ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) v )  <  x  <->  A. u  e.  ( s  i^i  Y
) A. v  e.  ( s  i^i  Y
) ( u D v )  <  x
)
3526, 34sylibr 203 . . . . . . . 8  |-  ( A. u  e.  s  A. v  e.  s  (
u D v )  <  x  ->  A. u  e.  ( s  i^i  Y
) A. v  e.  ( s  i^i  Y
) ( u ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) v )  <  x )
36 raleq 2749 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( s  i^i 
Y )  ->  ( A. v  e.  y 
( u ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) v )  <  x  <->  A. v  e.  ( s  i^i  Y
) ( u ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) v )  <  x ) )
3736raleqbi1dv 2757 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( s  i^i 
Y )  ->  ( A. u  e.  y  A. v  e.  y 
( u ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) v )  <  x  <->  A. u  e.  ( s  i^i  Y
) A. v  e.  ( s  i^i  Y
) ( u ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) v )  <  x ) )
3837rspcev 2897 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( s  i^i  Y
)  e.  ( Ft  Y )  /\  A. u  e.  ( s  i^i  Y
) A. v  e.  ( s  i^i  Y
) ( u ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) v )  <  x )  ->  E. y  e.  ( Ft  Y ) A. u  e.  y  A. v  e.  y  ( u
( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) v )  <  x
)
3938ex 423 . . . . . . . 8  |-  ( ( s  i^i  Y )  e.  ( Ft  Y )  ->  ( A. u  e.  ( s  i^i  Y
) A. v  e.  ( s  i^i  Y
) ( u ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) v )  <  x  ->  E. y  e.  ( Ft  Y ) A. u  e.  y  A. v  e.  y  ( u
( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) v )  <  x
) )
4020, 35, 39syl2im 34 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  /\  F  e.  (CauFil `  D )
)  /\  x  e.  RR+ )  /\  s  e.  F )  ->  ( A. u  e.  s  A. v  e.  s 
( u D v )  <  x  ->  E. y  e.  ( Ft  Y ) A. u  e.  y  A. v  e.  y  ( u
( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) v )  <  x
) )
4140rexlimdva 2680 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F
)  /\  F  e.  (CauFil `  D ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( E. s  e.  F  A. u  e.  s  A. v  e.  s  ( u D v )  < 
x  ->  E. y  e.  ( Ft  Y ) A. u  e.  y  A. v  e.  y  ( u
( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) v )  <  x
) )
4214, 41mpd 14 . . . . 5  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F
)  /\  F  e.  (CauFil `  D ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  ( Ft  Y ) A. u  e.  y  A. v  e.  y  ( u
( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) v )  <  x
)
4342ralrimiva 2639 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F
)  /\  F  e.  (CauFil `  D ) )  ->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  ( Ft  Y ) A. u  e.  y  A. v  e.  y  ( u ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) v )  <  x )
44 simp1 955 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F
)  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
45 xmetres2 17941 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  ->  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) )  e.  ( * Met `  Y
) )
4644, 8, 45syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F
)  ->  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) )  e.  ( * Met `  Y
) )
4746adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F
)  /\  F  e.  (CauFil `  D ) )  ->  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) )  e.  ( * Met `  Y
) )
48 iscfil2 18708 . . . . 5  |-  ( ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( * Met `  Y
)  ->  ( ( Ft  Y )  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) )  <->  ( ( Ft  Y )  e.  ( Fil `  Y )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  ( Ft  Y ) A. u  e.  y  A. v  e.  y  ( u
( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) v )  <  x
) ) )
4947, 48syl 15 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F
)  /\  F  e.  (CauFil `  D ) )  ->  ( ( Ft  Y )  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) )  <->  ( ( Ft  Y )  e.  ( Fil `  Y )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  ( Ft  Y ) A. u  e.  y  A. v  e.  y  ( u
( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) v )  <  x
) ) )
5012, 43, 49mpbir2and 888 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F
)  /\  F  e.  (CauFil `  D ) )  ->  ( Ft  Y )  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )
5150ex 423 . 2  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F
)  ->  ( F  e.  (CauFil `  D )  ->  ( Ft  Y )  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) ) )
52 cfilresi 18737 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( Ft  Y )  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  ( X filGen ( Ft  Y ) )  e.  (CauFil `  D )
)
5352ex 423 . . . 4  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  (
( Ft  Y )  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) )  ->  ( X filGen ( Ft  Y ) )  e.  (CauFil `  D )
) )
54533ad2ant1 976 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F
)  ->  ( ( Ft  Y )  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) )  ->  ( X filGen ( Ft  Y ) )  e.  (CauFil `  D )
) )
55 fgtr 17601 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F )  ->  ( X filGen ( Ft  Y ) )  =  F )
56553adant1 973 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F
)  ->  ( X filGen ( Ft  Y ) )  =  F )
5756eleq1d 2362 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F
)  ->  ( ( X filGen ( Ft  Y ) )  e.  (CauFil `  D )  <->  F  e.  (CauFil `  D ) ) )
5854, 57sylibd 205 . 2  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F
)  ->  ( ( Ft  Y )  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) )  ->  F  e.  (CauFil `  D ) ) )
5951, 58impbid 183 1  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F
)  ->  ( F  e.  (CauFil `  D )  <->  ( Ft  Y )  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557    \ cdif 3162    i^i cin 3164    C_ wss 3165   class class class wbr 4039    X. cxp 4703    |` cres 4707   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    < clt 8883   RR+crp 10370   ↾t crest 13341   * Metcxmt 16385   fBascfbas 17534   filGencfg 17535   Filcfil 17556  CauFilccfil 18694
This theorem is referenced by:  cmetss  18756
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-2 9820  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ico 10678  df-rest 13343  df-xmet 16389  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-cfil 18697
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