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Theorem cfilres 18722
Description: Cauchy filter on a metric subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
cfilres  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F
)  ->  ( F  e.  (CauFil `  D )  <->  ( Ft  Y )  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) ) )

Proof of Theorem cfilres
Dummy variables  u  s  v  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 956 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F
)  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
2 filfbas 17543 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  F  e.  ( fBas `  X )
)
31, 2syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F
)  ->  F  e.  ( fBas `  X )
)
4 simp3 957 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F
)  ->  Y  e.  F )
5 fbncp 17534 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  Y  e.  F )  ->  -.  ( X  \  Y )  e.  F )
63, 4, 5syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F
)  ->  -.  ( X  \  Y )  e.  F )
7 filelss 17547 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F )  ->  Y  C_  X )
873adant1 973 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F
)  ->  Y  C_  X
)
9 trfil3 17583 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  (
( Ft  Y )  e.  ( Fil `  Y )  <->  -.  ( X  \  Y
)  e.  F ) )
101, 8, 9syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F
)  ->  ( ( Ft  Y )  e.  ( Fil `  Y )  <->  -.  ( X  \  Y
)  e.  F ) )
116, 10mpbird 223 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F
)  ->  ( Ft  Y
)  e.  ( Fil `  Y ) )
1211adantr 451 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F
)  /\  F  e.  (CauFil `  D ) )  ->  ( Ft  Y )  e.  ( Fil `  Y
) )
13 cfili 18694 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. s  e.  F  A. u  e.  s  A. v  e.  s  ( u D v )  < 
x )
1413adantll 694 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F
)  /\  F  e.  (CauFil `  D ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. s  e.  F  A. u  e.  s  A. v  e.  s 
( u D v )  <  x )
15 simpll2 995 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F
)  /\  F  e.  (CauFil `  D ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
16 simpll3 996 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F
)  /\  F  e.  (CauFil `  D ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  Y  e.  F
)
1715, 16jca 518 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F
)  /\  F  e.  (CauFil `  D ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F ) )
18 elrestr 13333 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F  /\  s  e.  F )  ->  (
s  i^i  Y )  e.  ( Ft  Y ) )
19183expa 1151 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F
)  /\  s  e.  F )  ->  (
s  i^i  Y )  e.  ( Ft  Y ) )
2017, 19sylan 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  /\  F  e.  (CauFil `  D )
)  /\  x  e.  RR+ )  /\  s  e.  F )  ->  (
s  i^i  Y )  e.  ( Ft  Y ) )
21 inss1 3389 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  i^i  Y )  C_  s
22 ssralv 3237 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s  i^i  Y ) 
C_  s  ->  ( A. v  e.  s 
( u D v )  <  x  ->  A. v  e.  (
s  i^i  Y )
( u D v )  <  x ) )
2322ralimdv 2622 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( s  i^i  Y ) 
C_  s  ->  ( A. u  e.  s  A. v  e.  s 
( u D v )  <  x  ->  A. u  e.  s  A. v  e.  (
s  i^i  Y )
( u D v )  <  x ) )
24 ssralv 3237 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( s  i^i  Y ) 
C_  s  ->  ( A. u  e.  s  A. v  e.  (
s  i^i  Y )
( u D v )  <  x  ->  A. u  e.  (
s  i^i  Y ) A. v  e.  (
s  i^i  Y )
( u D v )  <  x ) )
2523, 24syld 40 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( s  i^i  Y ) 
C_  s  ->  ( A. u  e.  s  A. v  e.  s 
( u D v )  <  x  ->  A. u  e.  (
s  i^i  Y ) A. v  e.  (
s  i^i  Y )
( u D v )  <  x ) )
2621, 25ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( A. u  e.  s  A. v  e.  s  (
u D v )  <  x  ->  A. u  e.  ( s  i^i  Y
) A. v  e.  ( s  i^i  Y
) ( u D v )  <  x
)
27 inss2 3390 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  i^i  Y )  C_  Y
2827sseli 3176 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  ( s  i^i 
Y )  ->  u  e.  Y )
2927sseli 3176 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  e.  ( s  i^i 
Y )  ->  v  e.  Y )
30 ovres 5987 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( u  e.  Y  /\  v  e.  Y )  ->  ( u ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) v )  =  ( u D v ) )
3130breq1d 4033 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  e.  Y  /\  v  e.  Y )  ->  ( ( u ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) v )  <  x  <->  ( u D v )  < 
x ) )
3228, 29, 31syl2an 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  e.  ( s  i^i  Y )  /\  v  e.  ( s  i^i  Y ) )  -> 
( ( u ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) v )  <  x  <->  ( u D v )  < 
x ) )
3332ralbidva 2559 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  ( s  i^i 
Y )  ->  ( A. v  e.  (
s  i^i  Y )
( u ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) v )  <  x  <->  A. v  e.  ( s  i^i  Y
) ( u D v )  <  x
) )
3433ralbiia 2575 . . . . . . . . 9  |-  ( A. u  e.  ( s  i^i  Y ) A. v  e.  ( s  i^i  Y
) ( u ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) v )  <  x  <->  A. u  e.  ( s  i^i  Y
) A. v  e.  ( s  i^i  Y
) ( u D v )  <  x
)
3526, 34sylibr 203 . . . . . . . 8  |-  ( A. u  e.  s  A. v  e.  s  (
u D v )  <  x  ->  A. u  e.  ( s  i^i  Y
) A. v  e.  ( s  i^i  Y
) ( u ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) v )  <  x )
36 raleq 2736 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( s  i^i 
Y )  ->  ( A. v  e.  y 
( u ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) v )  <  x  <->  A. v  e.  ( s  i^i  Y
) ( u ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) v )  <  x ) )
3736raleqbi1dv 2744 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( s  i^i 
Y )  ->  ( A. u  e.  y  A. v  e.  y 
( u ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) v )  <  x  <->  A. u  e.  ( s  i^i  Y
) A. v  e.  ( s  i^i  Y
) ( u ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) v )  <  x ) )
3837rspcev 2884 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( s  i^i  Y
)  e.  ( Ft  Y )  /\  A. u  e.  ( s  i^i  Y
) A. v  e.  ( s  i^i  Y
) ( u ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) v )  <  x )  ->  E. y  e.  ( Ft  Y ) A. u  e.  y  A. v  e.  y  ( u
( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) v )  <  x
)
3938ex 423 . . . . . . . 8  |-  ( ( s  i^i  Y )  e.  ( Ft  Y )  ->  ( A. u  e.  ( s  i^i  Y
) A. v  e.  ( s  i^i  Y
) ( u ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) v )  <  x  ->  E. y  e.  ( Ft  Y ) A. u  e.  y  A. v  e.  y  ( u
( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) v )  <  x
) )
4020, 35, 39syl2im 34 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  /\  F  e.  (CauFil `  D )
)  /\  x  e.  RR+ )  /\  s  e.  F )  ->  ( A. u  e.  s  A. v  e.  s 
( u D v )  <  x  ->  E. y  e.  ( Ft  Y ) A. u  e.  y  A. v  e.  y  ( u
( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) v )  <  x
) )
4140rexlimdva 2667 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F
)  /\  F  e.  (CauFil `  D ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( E. s  e.  F  A. u  e.  s  A. v  e.  s  ( u D v )  < 
x  ->  E. y  e.  ( Ft  Y ) A. u  e.  y  A. v  e.  y  ( u
( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) v )  <  x
) )
4214, 41mpd 14 . . . . 5  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F
)  /\  F  e.  (CauFil `  D ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  ( Ft  Y ) A. u  e.  y  A. v  e.  y  ( u
( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) v )  <  x
)
4342ralrimiva 2626 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F
)  /\  F  e.  (CauFil `  D ) )  ->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  ( Ft  Y ) A. u  e.  y  A. v  e.  y  ( u ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) v )  <  x )
44 simp1 955 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F
)  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
45 xmetres2 17925 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  ->  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) )  e.  ( * Met `  Y
) )
4644, 8, 45syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F
)  ->  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) )  e.  ( * Met `  Y
) )
4746adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F
)  /\  F  e.  (CauFil `  D ) )  ->  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) )  e.  ( * Met `  Y
) )
48 iscfil2 18692 . . . . 5  |-  ( ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( * Met `  Y
)  ->  ( ( Ft  Y )  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) )  <->  ( ( Ft  Y )  e.  ( Fil `  Y )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  ( Ft  Y ) A. u  e.  y  A. v  e.  y  ( u
( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) v )  <  x
) ) )
4947, 48syl 15 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F
)  /\  F  e.  (CauFil `  D ) )  ->  ( ( Ft  Y )  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) )  <->  ( ( Ft  Y )  e.  ( Fil `  Y )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  ( Ft  Y ) A. u  e.  y  A. v  e.  y  ( u
( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) v )  <  x
) ) )
5012, 43, 49mpbir2and 888 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F
)  /\  F  e.  (CauFil `  D ) )  ->  ( Ft  Y )  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )
5150ex 423 . 2  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F
)  ->  ( F  e.  (CauFil `  D )  ->  ( Ft  Y )  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) ) )
52 cfilresi 18721 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( Ft  Y )  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  ( X filGen ( Ft  Y ) )  e.  (CauFil `  D )
)
5352ex 423 . . . 4  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  (
( Ft  Y )  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) )  ->  ( X filGen ( Ft  Y ) )  e.  (CauFil `  D )
) )
54533ad2ant1 976 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F
)  ->  ( ( Ft  Y )  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) )  ->  ( X filGen ( Ft  Y ) )  e.  (CauFil `  D )
) )
55 fgtr 17585 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F )  ->  ( X filGen ( Ft  Y ) )  =  F )
56553adant1 973 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F
)  ->  ( X filGen ( Ft  Y ) )  =  F )
5756eleq1d 2349 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F
)  ->  ( ( X filGen ( Ft  Y ) )  e.  (CauFil `  D )  <->  F  e.  (CauFil `  D ) ) )
5854, 57sylibd 205 . 2  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F
)  ->  ( ( Ft  Y )  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) )  ->  F  e.  (CauFil `  D ) ) )
5951, 58impbid 183 1  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F
)  ->  ( F  e.  (CauFil `  D )  <->  ( Ft  Y )  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544    \ cdif 3149    i^i cin 3151    C_ wss 3152   class class class wbr 4023    X. cxp 4687    |` cres 4691   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    < clt 8867   RR+crp 10354   ↾t crest 13325   * Metcxmt 16369   fBascfbas 17518   filGencfg 17519   Filcfil 17540  CauFilccfil 18678
This theorem is referenced by:  cmetss  18740
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-2 9804  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ico 10662  df-rest 13327  df-xmet 16373  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-cfil 18681
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