MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cfilresi Unicode version

Theorem cfilresi 18737
Description: A Cauchy filter on a metric subspace extends to a Cauchy filter in the larger space. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
cfilresi  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  ( X filGen F )  e.  (CauFil `  D )
)

Proof of Theorem cfilresi
Dummy variables  u  v  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xmetres 17944 . . . 4  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( * Met `  ( X  i^i  Y ) ) )
2 iscfil2 18708 . . . . 5  |-  ( ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( * Met `  ( X  i^i  Y ) )  ->  ( F  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) )  <->  ( F  e.  ( Fil `  ( X  i^i  Y ) )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  F  A. u  e.  y  A. v  e.  y 
( u ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) v )  <  x ) ) )
32simplbda 607 . . . 4  |-  ( ( ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( * Met `  ( X  i^i  Y
) )  /\  F  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) )  ->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  F  A. u  e.  y  A. v  e.  y  (
u ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) v )  <  x )
41, 3sylan 457 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  F  A. u  e.  y  A. v  e.  y  ( u ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) v )  <  x )
5 cfilfil 18709 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( * Met `  ( X  i^i  Y
) )  /\  F  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) )  ->  F  e.  ( Fil `  ( X  i^i  Y ) ) )
61, 5sylan 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  F  e.  ( Fil `  ( X  i^i  Y ) ) )
7 filelss 17563 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  ( X  i^i  Y
) )  /\  y  e.  F )  ->  y  C_  ( X  i^i  Y
) )
86, 7sylan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) )  /\  y  e.  F
)  ->  y  C_  ( X  i^i  Y ) )
9 inss2 3403 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  i^i  Y )  C_  Y
108, 9syl6ss 3204 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) )  /\  y  e.  F
)  ->  y  C_  Y )
1110sselda 3193 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) )  /\  y  e.  F
)  /\  u  e.  y )  ->  u  e.  Y )
1210sselda 3193 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) )  /\  y  e.  F
)  /\  v  e.  y )  ->  v  e.  Y )
1311, 12anim12dan 810 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) )  /\  y  e.  F
)  /\  ( u  e.  y  /\  v  e.  y ) )  -> 
( u  e.  Y  /\  v  e.  Y
) )
14 ovres 6003 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  e.  Y  /\  v  e.  Y )  ->  ( u ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) v )  =  ( u D v ) )
1513, 14syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) )  /\  y  e.  F
)  /\  ( u  e.  y  /\  v  e.  y ) )  -> 
( u ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) v )  =  ( u D v ) )
1615breq1d 4049 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) )  /\  y  e.  F
)  /\  ( u  e.  y  /\  v  e.  y ) )  -> 
( ( u ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) v )  <  x  <->  ( u D v )  < 
x ) )
17162ralbidva 2596 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) )  /\  y  e.  F
)  ->  ( A. u  e.  y  A. v  e.  y  (
u ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) v )  <  x  <->  A. u  e.  y  A. v  e.  y  ( u D v )  < 
x ) )
1817rexbidva 2573 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  ( E. y  e.  F  A. u  e.  y  A. v  e.  y 
( u ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) v )  <  x  <->  E. y  e.  F  A. u  e.  y  A. v  e.  y  ( u D v )  < 
x ) )
1918ralbidv 2576 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  F  A. u  e.  y  A. v  e.  y  ( u
( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) v )  <  x  <->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  F  A. u  e.  y  A. v  e.  y  ( u D v )  < 
x ) )
204, 19mpbid 201 . 2  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  F  A. u  e.  y  A. v  e.  y  ( u D v )  <  x
)
21 filfbas 17559 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( Fil `  ( X  i^i  Y ) )  ->  F  e.  (
fBas `  ( X  i^i  Y ) ) )
226, 21syl 15 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  F  e.  ( fBas `  ( X  i^i  Y ) ) )
23 filsspw 17562 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( Fil `  ( X  i^i  Y ) )  ->  F  C_  ~P ( X  i^i  Y ) )
246, 23syl 15 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  F  C_ 
~P ( X  i^i  Y ) )
25 inss1 3402 . . . . . 6  |-  ( X  i^i  Y )  C_  X
26 sspwb 4239 . . . . . 6  |-  ( ( X  i^i  Y ) 
C_  X  <->  ~P ( X  i^i  Y )  C_  ~P X )
2725, 26mpbi 199 . . . . 5  |-  ~P ( X  i^i  Y )  C_  ~P X
2824, 27syl6ss 3204 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  F  C_ 
~P X )
29 elfvdm 5570 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  X  e.  dom  * Met )
3029adantr 451 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  X  e.  dom  * Met )
31 fbasweak 17576 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  ( X  i^i  Y
) )  /\  F  C_ 
~P X  /\  X  e.  dom  * Met )  ->  F  e.  ( fBas `  X ) )
3222, 28, 30, 31syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  F  e.  ( fBas `  X
) )
33 fgcfil 18713 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  (
fBas `  X )
)  ->  ( ( X filGen F )  e.  (CauFil `  D )  <->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  F  A. u  e.  y  A. v  e.  y  ( u D v )  < 
x ) )
3432, 33syldan 456 . 2  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  (
( X filGen F )  e.  (CauFil `  D
)  <->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  F  A. u  e.  y  A. v  e.  y  (
u D v )  <  x ) )
3520, 34mpbird 223 1  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  ( X filGen F )  e.  (CauFil `  D )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557    i^i cin 3164    C_ wss 3165   ~Pcpw 3638   class class class wbr 4039    X. cxp 4703   dom cdm 4705    |` cres 4707   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    < clt 8883   RR+crp 10370   * Metcxmt 16385   fBascfbas 17534   filGencfg 17535   Filcfil 17556  CauFilccfil 18694
This theorem is referenced by:  cfilres  18738  cmetss  18756
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-2 9820  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ico 10678  df-xmet 16389  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-cfil 18697
  Copyright terms: Public domain W3C validator