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Theorem cfilresi 19249
Description: A Cauchy filter on a metric subspace extends to a Cauchy filter in the larger space. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
cfilresi  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  ( X filGen F )  e.  (CauFil `  D )
)

Proof of Theorem cfilresi
Dummy variables  u  v  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xmetres 18395 . . . 4  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( * Met `  ( X  i^i  Y ) ) )
2 iscfil2 19220 . . . . 5  |-  ( ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( * Met `  ( X  i^i  Y ) )  ->  ( F  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) )  <->  ( F  e.  ( Fil `  ( X  i^i  Y ) )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  F  A. u  e.  y  A. v  e.  y 
( u ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) v )  <  x ) ) )
32simplbda 609 . . . 4  |-  ( ( ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( * Met `  ( X  i^i  Y
) )  /\  F  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) )  ->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  F  A. u  e.  y  A. v  e.  y  (
u ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) v )  <  x )
41, 3sylan 459 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  F  A. u  e.  y  A. v  e.  y  ( u ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) v )  <  x )
5 cfilfil 19221 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( * Met `  ( X  i^i  Y
) )  /\  F  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) )  ->  F  e.  ( Fil `  ( X  i^i  Y ) ) )
61, 5sylan 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  F  e.  ( Fil `  ( X  i^i  Y ) ) )
7 filelss 17885 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  ( X  i^i  Y
) )  /\  y  e.  F )  ->  y  C_  ( X  i^i  Y
) )
86, 7sylan 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) )  /\  y  e.  F
)  ->  y  C_  ( X  i^i  Y ) )
9 inss2 3563 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  i^i  Y )  C_  Y
108, 9syl6ss 3361 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) )  /\  y  e.  F
)  ->  y  C_  Y )
1110sselda 3349 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) )  /\  y  e.  F
)  /\  u  e.  y )  ->  u  e.  Y )
1210sselda 3349 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) )  /\  y  e.  F
)  /\  v  e.  y )  ->  v  e.  Y )
1311, 12anim12dan 812 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) )  /\  y  e.  F
)  /\  ( u  e.  y  /\  v  e.  y ) )  -> 
( u  e.  Y  /\  v  e.  Y
) )
14 ovres 6214 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  e.  Y  /\  v  e.  Y )  ->  ( u ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) v )  =  ( u D v ) )
1513, 14syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) )  /\  y  e.  F
)  /\  ( u  e.  y  /\  v  e.  y ) )  -> 
( u ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) v )  =  ( u D v ) )
1615breq1d 4223 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) )  /\  y  e.  F
)  /\  ( u  e.  y  /\  v  e.  y ) )  -> 
( ( u ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) v )  <  x  <->  ( u D v )  < 
x ) )
17162ralbidva 2746 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) )  /\  y  e.  F
)  ->  ( A. u  e.  y  A. v  e.  y  (
u ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) v )  <  x  <->  A. u  e.  y  A. v  e.  y  ( u D v )  < 
x ) )
1817rexbidva 2723 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  ( E. y  e.  F  A. u  e.  y  A. v  e.  y 
( u ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) v )  <  x  <->  E. y  e.  F  A. u  e.  y  A. v  e.  y  ( u D v )  < 
x ) )
1918ralbidv 2726 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  F  A. u  e.  y  A. v  e.  y  ( u
( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) v )  <  x  <->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  F  A. u  e.  y  A. v  e.  y  ( u D v )  < 
x ) )
204, 19mpbid 203 . 2  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  F  A. u  e.  y  A. v  e.  y  ( u D v )  <  x
)
21 filfbas 17881 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( Fil `  ( X  i^i  Y ) )  ->  F  e.  (
fBas `  ( X  i^i  Y ) ) )
226, 21syl 16 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  F  e.  ( fBas `  ( X  i^i  Y ) ) )
23 filsspw 17884 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( Fil `  ( X  i^i  Y ) )  ->  F  C_  ~P ( X  i^i  Y ) )
246, 23syl 16 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  F  C_ 
~P ( X  i^i  Y ) )
25 inss1 3562 . . . . . 6  |-  ( X  i^i  Y )  C_  X
26 sspwb 4414 . . . . . 6  |-  ( ( X  i^i  Y ) 
C_  X  <->  ~P ( X  i^i  Y )  C_  ~P X )
2725, 26mpbi 201 . . . . 5  |-  ~P ( X  i^i  Y )  C_  ~P X
2824, 27syl6ss 3361 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  F  C_ 
~P X )
29 elfvdm 5758 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  X  e.  dom  * Met )
3029adantr 453 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  X  e.  dom  * Met )
31 fbasweak 17898 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  ( X  i^i  Y
) )  /\  F  C_ 
~P X  /\  X  e.  dom  * Met )  ->  F  e.  ( fBas `  X ) )
3222, 28, 30, 31syl3anc 1185 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  F  e.  ( fBas `  X
) )
33 fgcfil 19225 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  (
fBas `  X )
)  ->  ( ( X filGen F )  e.  (CauFil `  D )  <->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  F  A. u  e.  y  A. v  e.  y  ( u D v )  < 
x ) )
3432, 33syldan 458 . 2  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  (
( X filGen F )  e.  (CauFil `  D
)  <->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  F  A. u  e.  y  A. v  e.  y  (
u D v )  <  x ) )
3520, 34mpbird 225 1  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  ( X filGen F )  e.  (CauFil `  D )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2706   E.wrex 2707    i^i cin 3320    C_ wss 3321   ~Pcpw 3800   class class class wbr 4213    X. cxp 4877   dom cdm 4879    |` cres 4881   ` cfv 5455  (class class class)co 6082    < clt 9121   RR+crp 10613   * Metcxmt 16687   fBascfbas 16690   filGencfg 16691   Filcfil 17878  CauFilccfil 19206
This theorem is referenced by:  cfilres  19250  cmetss  19268
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-op 3824  df-uni 4017  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-er 6906  df-map 7021  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-div 9679  df-2 10059  df-rp 10614  df-xneg 10711  df-xadd 10712  df-xmul 10713  df-ico 10923  df-xmet 16696  df-fbas 16700  df-fg 16701  df-fil 17879  df-cfil 19209
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