Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cfilresi Structured version   Unicode version

Theorem cfilresi 19249
 Description: A Cauchy filter on a metric subspace extends to a Cauchy filter in the larger space. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
cfilresi CauFil CauFil

Proof of Theorem cfilresi
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xmetres 18395 . . . 4
2 iscfil2 19220 . . . . 5 CauFil
32simplbda 609 . . . 4 CauFil
41, 3sylan 459 . . 3 CauFil
5 cfilfil 19221 . . . . . . . . . . . . 13 CauFil
61, 5sylan 459 . . . . . . . . . . . 12 CauFil
7 filelss 17885 . . . . . . . . . . . 12
86, 7sylan 459 . . . . . . . . . . 11 CauFil
9 inss2 3563 . . . . . . . . . . 11
108, 9syl6ss 3361 . . . . . . . . . 10 CauFil
1110sselda 3349 . . . . . . . . 9 CauFil
1210sselda 3349 . . . . . . . . 9 CauFil
1311, 12anim12dan 812 . . . . . . . 8 CauFil
14 ovres 6214 . . . . . . . 8
1513, 14syl 16 . . . . . . 7 CauFil
1615breq1d 4223 . . . . . 6 CauFil
17162ralbidva 2746 . . . . 5 CauFil
1817rexbidva 2723 . . . 4 CauFil
1918ralbidv 2726 . . 3 CauFil
204, 19mpbid 203 . 2 CauFil
21 filfbas 17881 . . . . 5
226, 21syl 16 . . . 4 CauFil
23 filsspw 17884 . . . . . 6
246, 23syl 16 . . . . 5 CauFil
25 inss1 3562 . . . . . 6
26 sspwb 4414 . . . . . 6
2725, 26mpbi 201 . . . . 5
2824, 27syl6ss 3361 . . . 4 CauFil
29 elfvdm 5758 . . . . 5
3029adantr 453 . . . 4 CauFil
31 fbasweak 17898 . . . 4
3222, 28, 30, 31syl3anc 1185 . . 3 CauFil
33 fgcfil 19225 . . 3 CauFil
3432, 33syldan 458 . 2 CauFil CauFil
3520, 34mpbird 225 1 CauFil CauFil
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   wceq 1653   wcel 1726  wral 2706  wrex 2707   cin 3320   wss 3321  cpw 3800   class class class wbr 4213   cxp 4877   cdm 4879   cres 4881  cfv 5455  (class class class)co 6082   clt 9121  crp 10613  cxmt 16687  cfbas 16690  cfg 16691  cfil 17878  CauFilccfil 19206 This theorem is referenced by:  cfilres  19250  cmetss  19268 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-op 3824  df-uni 4017  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-er 6906  df-map 7021  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-div 9679  df-2 10059  df-rp 10614  df-xneg 10711  df-xadd 10712  df-xmul 10713  df-ico 10923  df-xmet 16696  df-fbas 16700  df-fg 16701  df-fil 17879  df-cfil 19209
 Copyright terms: Public domain W3C validator