Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cfilucfil Structured version   Unicode version

Theorem cfilucfil 18605
 Description: Given a metric and a uniform structure generated by that metric, Cauchy filter bases on that uniform structure are exactly the filter bases which contain balls of any pre-chosen size. See iscfil 19223. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Nov-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
metust.1
Assertion
Ref Expression
cfilucfil PsMet CauFilu
Distinct variable groups:   ,   ,   ,,   ,,   ,,   ,,,   ,   ,,,

Proof of Theorem cfilucfil
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metust.1 . . . . 5
21metust 18603 . . . 4 PsMet UnifOn
3 cfilufbas 18324 . . . 4 UnifOn CauFilu
42, 3sylan 459 . . 3 PsMet CauFilu
5 simpllr 737 . . . . . 6 PsMet CauFilu PsMet
6 psmetf 18342 . . . . . 6 PsMet
7 ffun 5596 . . . . . 6
85, 6, 73syl 19 . . . . 5 PsMet CauFilu
92ad2antrr 708 . . . . . 6 PsMet CauFilu UnifOn
10 simplr 733 . . . . . 6 PsMet CauFilu CauFilu
111metustfbas 18601 . . . . . . . 8 PsMet
1211ad2antrr 708 . . . . . . 7 PsMet CauFilu
13 cnvimass 5227 . . . . . . . 8
14 fdm 5598 . . . . . . . . 9
155, 6, 143syl 19 . . . . . . . 8 PsMet CauFilu
1613, 15syl5sseq 3398 . . . . . . 7 PsMet CauFilu
17 simpr 449 . . . . . . . . . . 11 PsMet CauFilu
1817rphalfcld 10665 . . . . . . . . . 10 PsMet CauFilu
19 eqidd 2439 . . . . . . . . . 10 PsMet CauFilu
20 oveq2 6092 . . . . . . . . . . . . 13
2120imaeq2d 5206 . . . . . . . . . . . 12
2221eqeq2d 2449 . . . . . . . . . . 11
2322rspcev 3054 . . . . . . . . . 10
2418, 19, 23syl2anc 644 . . . . . . . . 9 PsMet CauFilu
251metustel 18587 . . . . . . . . . 10 PsMet
2625biimpar 473 . . . . . . . . 9 PsMet
275, 24, 26syl2anc 644 . . . . . . . 8 PsMet CauFilu
28 0xr 9136 . . . . . . . . . . 11
2928a1i 11 . . . . . . . . . 10
30 rpxr 10624 . . . . . . . . . 10
31 0le0 10086 . . . . . . . . . . 11
3231a1i 11 . . . . . . . . . 10
33 rpre 10623 . . . . . . . . . . . 12
3433rehalfcld 10219 . . . . . . . . . . 11
35 rphalflt 10643 . . . . . . . . . . 11
3634, 33, 35ltled 9226 . . . . . . . . . 10
37 icossico 10985 . . . . . . . . . 10
3829, 30, 32, 36, 37syl22anc 1186 . . . . . . . . 9
39 imass2 5243 . . . . . . . . 9
4017, 38, 393syl 19 . . . . . . . 8 PsMet CauFilu
41 sseq1 3371 . . . . . . . . 9
4241rspcev 3054 . . . . . . . 8
4327, 40, 42syl2anc 644 . . . . . . 7 PsMet CauFilu
44 elfg 17908 . . . . . . . 8
4544biimpar 473 . . . . . . 7
4612, 16, 43, 45syl12anc 1183 . . . . . 6 PsMet CauFilu
47 cfiluexsm 18325 . . . . . 6 UnifOn CauFilu
489, 10, 46, 47syl3anc 1185 . . . . 5 PsMet CauFilu
49 funimass2 5530 . . . . . . 7
5049ex 425 . . . . . 6
5150reximdv 2819 . . . . 5
528, 48, 51sylc 59 . . . 4 PsMet CauFilu
5352ralrimiva 2791 . . 3 PsMet CauFilu
544, 53jca 520 . 2 PsMet CauFilu
55 simprl 734 . . 3 PsMet
56 simp-4r 745 . . . . . . . . 9 PsMet
5756simprd 451 . . . . . . . 8 PsMet
58 simplr 733 . . . . . . . 8 PsMet
59 oveq2 6092 . . . . . . . . . . 11
6059sseq2d 3378 . . . . . . . . . 10
6160rexbidv 2728 . . . . . . . . 9
6261rspccv 3051 . . . . . . . 8
6357, 58, 62sylc 59 . . . . . . 7 PsMet
64 nfv 1630 . . . . . . . . . . . 12 PsMet
65 nfv 1630 . . . . . . . . . . . . 13
66 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . . . 14
67 nfre1 2764 . . . . . . . . . . . . . 14
6866, 67nfral 2761 . . . . . . . . . . . . 13
6965, 68nfan 1847 . . . . . . . . . . . 12
7064, 69nfan 1847 . . . . . . . . . . 11 PsMet
71 nfv 1630 . . . . . . . . . . 11
7270, 71nfan 1847 . . . . . . . . . 10 PsMet
73 nfv 1630 . . . . . . . . . 10
7472, 73nfan 1847 . . . . . . . . 9 PsMet
75 nfv 1630 . . . . . . . . 9
7674, 75nfan 1847 . . . . . . . 8 PsMet
7755ad4antr 714 . . . . . . . . . . . 12 PsMet
78 fbelss 17870 . . . . . . . . . . . 12
7977, 78sylancom 650 . . . . . . . . . . 11 PsMet
80 xpss12 4984 . . . . . . . . . . 11
8179, 79, 80syl2anc 644 . . . . . . . . . 10 PsMet
82 simp-6r 749 . . . . . . . . . . 11 PsMet PsMet
8382, 6, 143syl 19 . . . . . . . . . 10 PsMet
8481, 83sseqtr4d 3387 . . . . . . . . 9 PsMet
8584ex 425 . . . . . . . 8 PsMet
8676, 85ralrimi 2789 . . . . . . 7 PsMet
87 r19.29r 2849 . . . . . . . 8
88 dfss1 3547 . . . . . . . . . . . . 13
8988biimpi 188 . . . . . . . . . . . 12
9089adantl 454 . . . . . . . . . . 11
91 dminss 5289 . . . . . . . . . . 11
9290, 91syl6eqssr 3401 . . . . . . . . . 10
93 imass2 5243 . . . . . . . . . . 11
9493adantr 453 . . . . . . . . . 10
9592, 94sstrd 3360 . . . . . . . . 9
9695reximi 2815 . . . . . . . 8
9787, 96syl 16 . . . . . . 7
9863, 86, 97syl2anc 644 . . . . . 6 PsMet
99 r19.41v 2863 . . . . . . 7
100 sstr 3358 . . . . . . . 8
101100reximi 2815 . . . . . . 7
10299, 101sylbir 206 . . . . . 6
10398, 102sylancom 650 . . . . 5 PsMet
104 simp-5r 747 . . . . . . . 8 PsMet PsMet
105 simplr 733 . . . . . . . 8 PsMet
1061metustel 18587 . . . . . . . . 9 PsMet
107106biimpa 472 . . . . . . . 8 PsMet
108104, 105, 107syl2anc 644 . . . . . . 7 PsMet
109 r19.41v 2863 . . . . . . . 8
110 sseq1 3371 . . . . . . . . . 10
111110biimpa 472 . . . . . . . . 9
112111reximi 2815 . . . . . . . 8
113109, 112sylbir 206 . . . . . . 7
114108, 113sylancom 650 . . . . . 6 PsMet
11511ad2antrr 708 . . . . . . . 8 PsMet
116 elfg 17908 . . . . . . . . 9
117116biimpa 472 . . . . . . . 8
118115, 117sylancom 650 . . . . . . 7 PsMet
119118simprd 451 . . . . . 6 PsMet
120114, 119r19.29a 2852 . . . . 5 PsMet
121103, 120r19.29a 2852 . . . 4 PsMet
122121ralrimiva 2791 . . 3 PsMet
1232adantr 453 . . . 4 PsMet UnifOn
124 iscfilu 18323 . . . 4 UnifOn CauFilu
125123, 124syl 16 . . 3 PsMet CauFilu
12655, 122, 125mpbir2and 890 . 2 PsMet CauFilu
12754, 126impbida 807 1 PsMet CauFilu
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   wceq 1653   wcel 1726   wne 2601  wral 2707  wrex 2708   cin 3321   wss 3322  c0 3630   class class class wbr 4215   cmpt 4269   cxp 4879  ccnv 4880   cdm 4881   crn 4882  cima 4884   wfun 5451  wf 5453  cfv 5457  (class class class)co 6084  cc0 8995  cxr 9124   cle 9126   cdiv 9682  c2 10054  crp 10617  cico 10923  PsMetcpsmet 16690  cfbas 16694  cfg 16695  UnifOncust 18234  CauFiluccfilu 18321 This theorem is referenced by:  cfilucfil2  18609 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-er 6908  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-2 10063  df-rp 10618  df-xneg 10715  df-xadd 10716  df-xmul 10717  df-ico 10927  df-psmet 16699  df-fbas 16704  df-fg 16705  df-fil 17883  df-ust 18235  df-cfilu 18322
 Copyright terms: Public domain W3C validator