Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cfilucfilOLD Structured version   Unicode version

Theorem cfilucfilOLD 18601
 Description: Given a metric and a uniform structure generated by that metric, Cauchy filter bases on that uniform structure are exactly the filter bases which contain balls of any pre-chosen size. See iscfil 19220. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Nov-2017.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
metust.1
Assertion
Ref Expression
cfilucfilOLD CauFilu
Distinct variable groups:   ,   ,   ,,   ,,   ,,   ,,,   ,   ,,,

Proof of Theorem cfilucfilOLD
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metust.1 . . . . 5
21metustOLD 18599 . . . 4 UnifOn
3 cfilufbas 18321 . . . 4 UnifOn CauFilu
42, 3sylan 459 . . 3 CauFilu
5 simpllr 737 . . . . . 6 CauFilu
6 xmetf 18361 . . . . . 6
7 ffun 5595 . . . . . 6
85, 6, 73syl 19 . . . . 5 CauFilu
92ad2antrr 708 . . . . . 6 CauFilu UnifOn
10 simplr 733 . . . . . 6 CauFilu CauFilu
111metustfbasOLD 18597 . . . . . . . 8
1211ad2antrr 708 . . . . . . 7 CauFilu
13 cnvimass 5226 . . . . . . . 8
14 fdm 5597 . . . . . . . . 9
155, 6, 143syl 19 . . . . . . . 8 CauFilu
1613, 15syl5sseq 3398 . . . . . . 7 CauFilu
17 simpr 449 . . . . . . . . . . 11 CauFilu
1817rphalfcld 10662 . . . . . . . . . 10 CauFilu
19 eqidd 2439 . . . . . . . . . 10 CauFilu
20 oveq2 6091 . . . . . . . . . . . . 13
2120imaeq2d 5205 . . . . . . . . . . . 12
2221eqeq2d 2449 . . . . . . . . . . 11
2322rspcev 3054 . . . . . . . . . 10
2418, 19, 23syl2anc 644 . . . . . . . . 9 CauFilu
251metustelOLD 18583 . . . . . . . . . 10
2625biimpar 473 . . . . . . . . 9
275, 24, 26syl2anc 644 . . . . . . . 8 CauFilu
28 0xr 9133 . . . . . . . . . . 11
2928a1i 11 . . . . . . . . . 10
30 rpxr 10621 . . . . . . . . . 10
31 0le0 10083 . . . . . . . . . . 11
3231a1i 11 . . . . . . . . . 10
33 rpre 10620 . . . . . . . . . . . 12
3433rehalfcld 10216 . . . . . . . . . . 11
35 rphalflt 10640 . . . . . . . . . . 11
3634, 33, 35ltled 9223 . . . . . . . . . 10
37 icossico 10982 . . . . . . . . . 10
3829, 30, 32, 36, 37syl22anc 1186 . . . . . . . . 9
39 imass2 5242 . . . . . . . . 9
4017, 38, 393syl 19 . . . . . . . 8 CauFilu
41 sseq1 3371 . . . . . . . . 9
4241rspcev 3054 . . . . . . . 8
4327, 40, 42syl2anc 644 . . . . . . 7 CauFilu
44 elfg 17905 . . . . . . . 8
4544biimpar 473 . . . . . . 7
4612, 16, 43, 45syl12anc 1183 . . . . . 6 CauFilu
47 cfiluexsm 18322 . . . . . 6 UnifOn CauFilu
489, 10, 46, 47syl3anc 1185 . . . . 5 CauFilu
49 funimass2 5529 . . . . . . 7
5049ex 425 . . . . . 6
5150reximdv 2819 . . . . 5
528, 48, 51sylc 59 . . . 4 CauFilu
5352ralrimiva 2791 . . 3 CauFilu
544, 53jca 520 . 2 CauFilu
55 simprl 734 . . 3
56 simp-4r 745 . . . . . . . . 9
5756simprd 451 . . . . . . . 8
58 simplr 733 . . . . . . . 8
59 oveq2 6091 . . . . . . . . . . 11
6059sseq2d 3378 . . . . . . . . . 10
6160rexbidv 2728 . . . . . . . . 9
6261rspccv 3051 . . . . . . . 8
6357, 58, 62sylc 59 . . . . . . 7
64 nfv 1630 . . . . . . . . . . . 12
65 nfv 1630 . . . . . . . . . . . . 13
66 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . . . 14
67 nfre1 2764 . . . . . . . . . . . . . 14
6866, 67nfral 2761 . . . . . . . . . . . . 13
6965, 68nfan 1847 . . . . . . . . . . . 12
7064, 69nfan 1847 . . . . . . . . . . 11
71 nfv 1630 . . . . . . . . . . 11
7270, 71nfan 1847 . . . . . . . . . 10
73 nfv 1630 . . . . . . . . . 10
7472, 73nfan 1847 . . . . . . . . 9
75 nfv 1630 . . . . . . . . 9
7674, 75nfan 1847 . . . . . . . 8
7755ad4antr 714 . . . . . . . . . . . 12
78 fbelss 17867 . . . . . . . . . . . 12
7977, 78sylancom 650 . . . . . . . . . . 11
80 xpss12 4983 . . . . . . . . . . 11
8179, 79, 80syl2anc 644 . . . . . . . . . 10
82 simp-6r 749 . . . . . . . . . . 11
8382, 6, 143syl 19 . . . . . . . . . 10
8481, 83sseqtr4d 3387 . . . . . . . . 9
8584ex 425 . . . . . . . 8
8676, 85ralrimi 2789 . . . . . . 7
87 r19.29r 2849 . . . . . . . 8
88 dfss1 3547 . . . . . . . . . . . . 13
8988biimpi 188 . . . . . . . . . . . 12
9089adantl 454 . . . . . . . . . . 11
91 dminss 5288 . . . . . . . . . . 11
9290, 91syl6eqssr 3401 . . . . . . . . . 10
93 imass2 5242 . . . . . . . . . . 11
9493adantr 453 . . . . . . . . . 10
9592, 94sstrd 3360 . . . . . . . . 9
9695reximi 2815 . . . . . . . 8
9787, 96syl 16 . . . . . . 7
9863, 86, 97syl2anc 644 . . . . . 6
99 r19.41v 2863 . . . . . . 7
100 sstr 3358 . . . . . . . 8
101100reximi 2815 . . . . . . 7
10299, 101sylbir 206 . . . . . 6
10398, 102sylancom 650 . . . . 5
104 simp-5r 747 . . . . . . . 8
105 simplr 733 . . . . . . . 8
1061metustelOLD 18583 . . . . . . . . 9
107106biimpa 472 . . . . . . . 8
108104, 105, 107syl2anc 644 . . . . . . 7
109 r19.41v 2863 . . . . . . . 8
110 sseq1 3371 . . . . . . . . . 10
111110biimpa 472 . . . . . . . . 9
112111reximi 2815 . . . . . . . 8
113109, 112sylbir 206 . . . . . . 7
114108, 113sylancom 650 . . . . . 6
11511ad2antrr 708 . . . . . . . 8
116 elfg 17905 . . . . . . . . 9
117116biimpa 472 . . . . . . . 8
118115, 117sylancom 650 . . . . . . 7
119118simprd 451 . . . . . 6
120114, 119r19.29a 2852 . . . . 5
121103, 120r19.29a 2852 . . . 4
122121ralrimiva 2791 . . 3
1232adantr 453 . . . 4 UnifOn
124 iscfilu 18320 . . . 4 UnifOn CauFilu
125123, 124syl 16 . . 3 CauFilu
12655, 122, 125mpbir2and 890 . 2 CauFilu
12754, 126impbida 807 1 CauFilu
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   wceq 1653   wcel 1726   wne 2601  wral 2707  wrex 2708   cin 3321   wss 3322  c0 3630   class class class wbr 4214   cmpt 4268   cxp 4878  ccnv 4879   cdm 4880   crn 4881  cima 4883   wfun 5450  wf 5452  cfv 5456  (class class class)co 6083  cc0 8992  cxr 9121   cle 9123   cdiv 9679  c2 10051  crp 10614  cico 10920  cxmt 16688  cfbas 16691  cfg 16692  UnifOncust 18231  CauFiluccfilu 18318 This theorem is referenced by:  cfilucfil2OLD  18605 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-er 6907  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-2 10060  df-rp 10615  df-xneg 10712  df-xadd 10713  df-xmul 10714  df-ico 10924  df-xmet 16697  df-fbas 16701  df-fg 16702  df-fil 17880  df-ust 18232  df-cfilu 18319
 Copyright terms: Public domain W3C validator