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Theorem cfinufil 17960
Description: An ultrafilter is free iff it contains the Fréchet filter cfinfil 17925 as a subset. (Contributed by NM, 14-Jul-2008.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cfinufil  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  ( |^| F  =  (/)  <->  { x  e.  ~P X  |  ( X  \  x )  e.  Fin }  C_  F ) )
Distinct variable groups:    x, F    x, X

Proof of Theorem cfinufil
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpwi 3807 . . . . 5  |-  ( x  e.  ~P X  ->  x  C_  X )
2 ufilb 17938 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  x  C_  X )  ->  ( -.  x  e.  F  <->  ( X  \  x )  e.  F ) )
32adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  (
UFil `  X )  /\  x  C_  X )  /\  ( X  \  x )  e.  Fin )  ->  ( -.  x  e.  F  <->  ( X  \  x )  e.  F
) )
4 ufilfil 17936 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
54adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  x  C_  X )  ->  F  e.  ( Fil `  X
) )
6 filfinnfr 17909 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( X  \  x )  e.  F  /\  ( X 
\  x )  e. 
Fin )  ->  |^| F  =/=  (/) )
763exp 1152 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( ( X  \  x )  e.  F  ->  ( ( X  \  x )  e. 
Fin  ->  |^| F  =/=  (/) ) ) )
87com23 74 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( ( X  \  x )  e. 
Fin  ->  ( ( X 
\  x )  e.  F  ->  |^| F  =/=  (/) ) ) )
95, 8syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  x  C_  X )  ->  (
( X  \  x
)  e.  Fin  ->  ( ( X  \  x
)  e.  F  ->  |^| F  =/=  (/) ) ) )
109imp 419 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  (
UFil `  X )  /\  x  C_  X )  /\  ( X  \  x )  e.  Fin )  ->  ( ( X 
\  x )  e.  F  ->  |^| F  =/=  (/) ) )
113, 10sylbid 207 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  (
UFil `  X )  /\  x  C_  X )  /\  ( X  \  x )  e.  Fin )  ->  ( -.  x  e.  F  ->  |^| F  =/=  (/) ) )
1211necon4bd 2666 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  (
UFil `  X )  /\  x  C_  X )  /\  ( X  \  x )  e.  Fin )  ->  ( |^| F  =  (/)  ->  x  e.  F ) )
1312ex 424 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  x  C_  X )  ->  (
( X  \  x
)  e.  Fin  ->  (
|^| F  =  (/)  ->  x  e.  F ) ) )
1413com23 74 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  x  C_  X )  ->  ( |^| F  =  (/)  ->  (
( X  \  x
)  e.  Fin  ->  x  e.  F ) ) )
151, 14sylan2 461 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  x  e.  ~P X )  -> 
( |^| F  =  (/)  ->  ( ( X  \  x )  e.  Fin  ->  x  e.  F ) ) )
1615ralrimdva 2796 . . 3  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  ( |^| F  =  (/)  ->  A. x  e.  ~P  X ( ( X  \  x )  e.  Fin  ->  x  e.  F ) ) )
174adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  y  e.  |^| F )  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
18 uffixsn 17957 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  y  e.  |^| F )  ->  { y }  e.  F )
19 filelss 17884 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  {
y }  e.  F
)  ->  { y }  C_  X )
2017, 18, 19syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  y  e.  |^| F )  ->  { y }  C_  X )
21 dfss4 3575 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { y }  C_  X  <->  ( X  \  ( X 
\  { y } ) )  =  {
y } )
2220, 21sylib 189 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  y  e.  |^| F )  -> 
( X  \  ( X  \  { y } ) )  =  {
y } )
23 snfi 7187 . . . . . . . . . 10  |-  { y }  e.  Fin
2422, 23syl6eqel 2524 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  y  e.  |^| F )  -> 
( X  \  ( X  \  { y } ) )  e.  Fin )
25 difss 3474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X 
\  { y } )  C_  X
26 filtop 17887 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  X  e.  F )
27 elpw2g 4363 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  F  ->  (
( X  \  {
y } )  e. 
~P X  <->  ( X  \  { y } ) 
C_  X ) )
2817, 26, 273syl 19 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  y  e.  |^| F )  -> 
( ( X  \  { y } )  e.  ~P X  <->  ( X  \  { y } ) 
C_  X ) )
2925, 28mpbiri 225 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  y  e.  |^| F )  -> 
( X  \  {
y } )  e. 
~P X )
30 difeq2 3459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( X  \  { y } )  ->  ( X  \  x )  =  ( X  \  ( X 
\  { y } ) ) )
3130eleq1d 2502 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( X  \  { y } )  ->  ( ( X 
\  x )  e. 
Fin 
<->  ( X  \  ( X  \  { y } ) )  e.  Fin ) )
32 eleq1 2496 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( X  \  { y } )  ->  ( x  e.  F  <->  ( X  \  { y } )  e.  F ) )
3331, 32imbi12d 312 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( X  \  { y } )  ->  ( ( ( X  \  x )  e.  Fin  ->  x  e.  F )  <->  ( ( X  \  ( X  \  { y } ) )  e.  Fin  ->  ( X  \  { y } )  e.  F
) ) )
3433rspcv 3048 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  \  { y } )  e.  ~P X  ->  ( A. x  e.  ~P  X ( ( X  \  x )  e.  Fin  ->  x  e.  F )  ->  (
( X  \  ( X  \  { y } ) )  e.  Fin  ->  ( X  \  {
y } )  e.  F ) ) )
3529, 34syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  y  e.  |^| F )  -> 
( A. x  e. 
~P  X ( ( X  \  x )  e.  Fin  ->  x  e.  F )  ->  (
( X  \  ( X  \  { y } ) )  e.  Fin  ->  ( X  \  {
y } )  e.  F ) ) )
3624, 35mpid 39 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  y  e.  |^| F )  -> 
( A. x  e. 
~P  X ( ( X  \  x )  e.  Fin  ->  x  e.  F )  ->  ( X  \  { y } )  e.  F ) )
37 ufilb 17938 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  {
y }  C_  X
)  ->  ( -.  { y }  e.  F  <->  ( X  \  { y } )  e.  F
) )
3820, 37syldan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  y  e.  |^| F )  -> 
( -.  { y }  e.  F  <->  ( X  \  { y } )  e.  F ) )
3918pm2.24d 137 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  y  e.  |^| F )  -> 
( -.  { y }  e.  F  ->  -.  y  e.  |^| F
) )
4038, 39sylbird 227 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  y  e.  |^| F )  -> 
( ( X  \  { y } )  e.  F  ->  -.  y  e.  |^| F ) )
4136, 40syld 42 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  y  e.  |^| F )  -> 
( A. x  e. 
~P  X ( ( X  \  x )  e.  Fin  ->  x  e.  F )  ->  -.  y  e.  |^| F ) )
4241impancom 428 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  A. x  e.  ~P  X
( ( X  \  x )  e.  Fin  ->  x  e.  F ) )  ->  ( y  e.  |^| F  ->  -.  y  e.  |^| F ) )
4342pm2.01d 163 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  A. x  e.  ~P  X
( ( X  \  x )  e.  Fin  ->  x  e.  F ) )  ->  -.  y  e.  |^| F )
4443eq0rdv 3662 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  A. x  e.  ~P  X
( ( X  \  x )  e.  Fin  ->  x  e.  F ) )  ->  |^| F  =  (/) )
4544ex 424 . . 3  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  ( A. x  e.  ~P  X
( ( X  \  x )  e.  Fin  ->  x  e.  F )  ->  |^| F  =  (/) ) )
4616, 45impbid 184 . 2  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  ( |^| F  =  (/)  <->  A. x  e.  ~P  X ( ( X  \  x )  e.  Fin  ->  x  e.  F ) ) )
47 rabss 3420 . 2  |-  ( { x  e.  ~P X  |  ( X  \  x )  e.  Fin } 
C_  F  <->  A. x  e.  ~P  X ( ( X  \  x )  e.  Fin  ->  x  e.  F ) )
4846, 47syl6bbr 255 1  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  ( |^| F  =  (/)  <->  { x  e.  ~P X  |  ( X  \  x )  e.  Fin }  C_  F ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   A.wral 2705   {crab 2709    \ cdif 3317    C_ wss 3320   (/)c0 3628   ~Pcpw 3799   {csn 3814   |^|cint 4050   ` cfv 5454   Fincfn 7109   Filcfil 17877   UFilcufil 17931
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1o 6724  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-fbas 16699  df-fg 16700  df-fil 17878  df-ufil 17933
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