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Theorem cfinufil 17675
Description: An ultrafilter is free iff it contains the Fréchet filter cfinfil 17640 as a subset. (Contributed by NM, 14-Jul-2008.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cfinufil  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  ( |^| F  =  (/)  <->  { x  e.  ~P X  |  ( X  \  x )  e.  Fin }  C_  F ) )
Distinct variable groups:    x, F    x, X

Proof of Theorem cfinufil
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpwi 3667 . . . . 5  |-  ( x  e.  ~P X  ->  x  C_  X )
2 ufilb 17653 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  x  C_  X )  ->  ( -.  x  e.  F  <->  ( X  \  x )  e.  F ) )
32adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  (
UFil `  X )  /\  x  C_  X )  /\  ( X  \  x )  e.  Fin )  ->  ( -.  x  e.  F  <->  ( X  \  x )  e.  F
) )
4 ufilfil 17651 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
54adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  x  C_  X )  ->  F  e.  ( Fil `  X
) )
6 filfinnfr 17624 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( X  \  x )  e.  F  /\  ( X 
\  x )  e. 
Fin )  ->  |^| F  =/=  (/) )
763exp 1150 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( ( X  \  x )  e.  F  ->  ( ( X  \  x )  e. 
Fin  ->  |^| F  =/=  (/) ) ) )
87com23 72 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( ( X  \  x )  e. 
Fin  ->  ( ( X 
\  x )  e.  F  ->  |^| F  =/=  (/) ) ) )
95, 8syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  x  C_  X )  ->  (
( X  \  x
)  e.  Fin  ->  ( ( X  \  x
)  e.  F  ->  |^| F  =/=  (/) ) ) )
109imp 418 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  (
UFil `  X )  /\  x  C_  X )  /\  ( X  \  x )  e.  Fin )  ->  ( ( X 
\  x )  e.  F  ->  |^| F  =/=  (/) ) )
113, 10sylbid 206 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  (
UFil `  X )  /\  x  C_  X )  /\  ( X  \  x )  e.  Fin )  ->  ( -.  x  e.  F  ->  |^| F  =/=  (/) ) )
1211necon4bd 2541 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  (
UFil `  X )  /\  x  C_  X )  /\  ( X  \  x )  e.  Fin )  ->  ( |^| F  =  (/)  ->  x  e.  F ) )
1312ex 423 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  x  C_  X )  ->  (
( X  \  x
)  e.  Fin  ->  (
|^| F  =  (/)  ->  x  e.  F ) ) )
1413com23 72 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  x  C_  X )  ->  ( |^| F  =  (/)  ->  (
( X  \  x
)  e.  Fin  ->  x  e.  F ) ) )
151, 14sylan2 460 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  x  e.  ~P X )  -> 
( |^| F  =  (/)  ->  ( ( X  \  x )  e.  Fin  ->  x  e.  F ) ) )
1615ralrimdva 2667 . . 3  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  ( |^| F  =  (/)  ->  A. x  e.  ~P  X ( ( X  \  x )  e.  Fin  ->  x  e.  F ) ) )
174adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  y  e.  |^| F )  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
18 uffixsn 17672 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  y  e.  |^| F )  ->  { y }  e.  F )
19 filelss 17599 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  {
y }  e.  F
)  ->  { y }  C_  X )
2017, 18, 19syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  y  e.  |^| F )  ->  { y }  C_  X )
21 dfss4 3437 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { y }  C_  X  <->  ( X  \  ( X 
\  { y } ) )  =  {
y } )
2220, 21sylib 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  y  e.  |^| F )  -> 
( X  \  ( X  \  { y } ) )  =  {
y } )
23 snfi 6984 . . . . . . . . . 10  |-  { y }  e.  Fin
2422, 23syl6eqel 2404 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  y  e.  |^| F )  -> 
( X  \  ( X  \  { y } ) )  e.  Fin )
25 difss 3337 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X 
\  { y } )  C_  X
26 filtop 17602 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  X  e.  F )
27 elpw2g 4211 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  F  ->  (
( X  \  {
y } )  e. 
~P X  <->  ( X  \  { y } ) 
C_  X ) )
2817, 26, 273syl 18 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  y  e.  |^| F )  -> 
( ( X  \  { y } )  e.  ~P X  <->  ( X  \  { y } ) 
C_  X ) )
2925, 28mpbiri 224 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  y  e.  |^| F )  -> 
( X  \  {
y } )  e. 
~P X )
30 difeq2 3322 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( X  \  { y } )  ->  ( X  \  x )  =  ( X  \  ( X 
\  { y } ) ) )
3130eleq1d 2382 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( X  \  { y } )  ->  ( ( X 
\  x )  e. 
Fin 
<->  ( X  \  ( X  \  { y } ) )  e.  Fin ) )
32 eleq1 2376 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( X  \  { y } )  ->  ( x  e.  F  <->  ( X  \  { y } )  e.  F ) )
3331, 32imbi12d 311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( X  \  { y } )  ->  ( ( ( X  \  x )  e.  Fin  ->  x  e.  F )  <->  ( ( X  \  ( X  \  { y } ) )  e.  Fin  ->  ( X  \  { y } )  e.  F
) ) )
3433rspcv 2914 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  \  { y } )  e.  ~P X  ->  ( A. x  e.  ~P  X ( ( X  \  x )  e.  Fin  ->  x  e.  F )  ->  (
( X  \  ( X  \  { y } ) )  e.  Fin  ->  ( X  \  {
y } )  e.  F ) ) )
3529, 34syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  y  e.  |^| F )  -> 
( A. x  e. 
~P  X ( ( X  \  x )  e.  Fin  ->  x  e.  F )  ->  (
( X  \  ( X  \  { y } ) )  e.  Fin  ->  ( X  \  {
y } )  e.  F ) ) )
3624, 35mpid 37 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  y  e.  |^| F )  -> 
( A. x  e. 
~P  X ( ( X  \  x )  e.  Fin  ->  x  e.  F )  ->  ( X  \  { y } )  e.  F ) )
37 ufilb 17653 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  {
y }  C_  X
)  ->  ( -.  { y }  e.  F  <->  ( X  \  { y } )  e.  F
) )
3820, 37syldan 456 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  y  e.  |^| F )  -> 
( -.  { y }  e.  F  <->  ( X  \  { y } )  e.  F ) )
3918pm2.24d 135 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  y  e.  |^| F )  -> 
( -.  { y }  e.  F  ->  -.  y  e.  |^| F
) )
4038, 39sylbird 226 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  y  e.  |^| F )  -> 
( ( X  \  { y } )  e.  F  ->  -.  y  e.  |^| F ) )
4136, 40syld 40 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  y  e.  |^| F )  -> 
( A. x  e. 
~P  X ( ( X  \  x )  e.  Fin  ->  x  e.  F )  ->  -.  y  e.  |^| F ) )
4241impancom 427 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  A. x  e.  ~P  X
( ( X  \  x )  e.  Fin  ->  x  e.  F ) )  ->  ( y  e.  |^| F  ->  -.  y  e.  |^| F ) )
4342pm2.01d 161 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  A. x  e.  ~P  X
( ( X  \  x )  e.  Fin  ->  x  e.  F ) )  ->  -.  y  e.  |^| F )
4443eq0rdv 3523 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  A. x  e.  ~P  X
( ( X  \  x )  e.  Fin  ->  x  e.  F ) )  ->  |^| F  =  (/) )
4544ex 423 . . 3  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  ( A. x  e.  ~P  X
( ( X  \  x )  e.  Fin  ->  x  e.  F )  ->  |^| F  =  (/) ) )
4616, 45impbid 183 . 2  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  ( |^| F  =  (/)  <->  A. x  e.  ~P  X ( ( X  \  x )  e.  Fin  ->  x  e.  F ) ) )
47 rabss 3284 . 2  |-  ( { x  e.  ~P X  |  ( X  \  x )  e.  Fin } 
C_  F  <->  A. x  e.  ~P  X ( ( X  \  x )  e.  Fin  ->  x  e.  F ) )
4846, 47syl6bbr 254 1  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  ( |^| F  =  (/)  <->  { x  e.  ~P X  |  ( X  \  x )  e.  Fin }  C_  F ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1633    e. wcel 1701    =/= wne 2479   A.wral 2577   {crab 2581    \ cdif 3183    C_ wss 3186   (/)c0 3489   ~Pcpw 3659   {csn 3674   |^|cint 3899   ` cfv 5292   Fincfn 6906   Filcfil 17592   UFilcufil 17646
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-int 3900  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1o 6521  df-er 6702  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-fin 6910  df-fbas 16429  df-fg 16430  df-fil 17593  df-ufil 17648
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