Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cflecard Structured version   Unicode version

Theorem cflecard 8123
 Description: Cofinality is bounded by the cardinality of its argument. (Contributed by NM, 24-Apr-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
cflecard

Proof of Theorem cflecard
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cfval 8117 . . 3
2 df-sn 3812 . . . . . 6
3 ssid 3359 . . . . . . . . 9
4 ssid 3359 . . . . . . . . . . 11
5 sseq2 3362 . . . . . . . . . . . 12
65rspcev 3044 . . . . . . . . . . 11
74, 6mpan2 653 . . . . . . . . . 10
87rgen 2763 . . . . . . . . 9
93, 8pm3.2i 442 . . . . . . . 8
10 fveq2 5720 . . . . . . . . . . 11
1110eqeq2d 2446 . . . . . . . . . 10
12 sseq1 3361 . . . . . . . . . . 11
13 rexeq 2897 . . . . . . . . . . . 12
1413ralbidv 2717 . . . . . . . . . . 11
1512, 14anbi12d 692 . . . . . . . . . 10
1611, 15anbi12d 692 . . . . . . . . 9
1716spcegv 3029 . . . . . . . 8
189, 17mpan2i 659 . . . . . . 7
1918ss2abdv 3408 . . . . . 6
202, 19syl5eqss 3384 . . . . 5
21 intss 4063 . . . . 5
2220, 21syl 16 . . . 4
23 fvex 5734 . . . . 5
2423intsn 4078 . . . 4
2522, 24syl6sseq 3386 . . 3
261, 25eqsstrd 3374 . 2
27 cff 8118 . . . . . 6
2827fdmi 5588 . . . . 5
2928eleq2i 2499 . . . 4
30 ndmfv 5747 . . . 4
3129, 30sylnbir 299 . . 3
32 0ss 3648 . . 3
3331, 32syl6eqss 3390 . 2
3426, 33pm2.61i 158 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wa 359  wex 1550   wceq 1652   wcel 1725  cab 2421  wral 2697  wrex 2698   wss 3312  c0 3620  csn 3806  cint 4042  con0 4573   cdm 4870  cfv 5446  ccrd 7812  ccf 7814 This theorem is referenced by:  cfle  8124 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-fv 5454  df-card 7816  df-cf 7818
 Copyright terms: Public domain W3C validator