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Theorem cflem 8086
Description: A lemma used to simplify cofinality computations, showing the existence of the cardinal of an unbounded subset of a set  A. (Contributed by NM, 24-Apr-2004.)
Assertion
Ref Expression
cflem  |-  ( A  e.  V  ->  E. x E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) ) )
Distinct variable group:    x, y, z, w, A
Allowed substitution hints:    V( x, y, z, w)

Proof of Theorem cflem
StepHypRef Expression
1 ssid 3331 . . 3  |-  A  C_  A
2 ssid 3331 . . . . 5  |-  z  C_  z
3 sseq2 3334 . . . . . 6  |-  ( w  =  z  ->  (
z  C_  w  <->  z  C_  z ) )
43rspcev 3016 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  A  /\  z  C_  z )  ->  E. w  e.  A  z  C_  w )
52, 4mpan2 653 . . . 4  |-  ( z  e.  A  ->  E. w  e.  A  z  C_  w )
65rgen 2735 . . 3  |-  A. z  e.  A  E. w  e.  A  z  C_  w
7 sseq1 3333 . . . . 5  |-  ( y  =  A  ->  (
y  C_  A  <->  A  C_  A
) )
8 rexeq 2869 . . . . . 6  |-  ( y  =  A  ->  ( E. w  e.  y 
z  C_  w  <->  E. w  e.  A  z  C_  w ) )
98ralbidv 2690 . . . . 5  |-  ( y  =  A  ->  ( A. z  e.  A  E. w  e.  y 
z  C_  w  <->  A. z  e.  A  E. w  e.  A  z  C_  w ) )
107, 9anbi12d 692 . . . 4  |-  ( y  =  A  ->  (
( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y 
z  C_  w )  <->  ( A  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  A  z  C_  w ) ) )
1110spcegv 3001 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  (
( A  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  A  z  C_  w )  ->  E. y ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w
) ) )
121, 6, 11mp2ani 660 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  E. y
( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y 
z  C_  w )
)
13 fvex 5705 . . . . . 6  |-  ( card `  y )  e.  _V
1413isseti 2926 . . . . 5  |-  E. x  x  =  ( card `  y )
15 19.41v 1920 . . . . 5  |-  ( E. x ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) )  <->  ( E. x  x  =  ( card `  y )  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y 
z  C_  w )
) )
1614, 15mpbiran 885 . . . 4  |-  ( E. x ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) )  <->  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) )
1716exbii 1589 . . 3  |-  ( E. y E. x ( x  =  ( card `  y )  /\  (
y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) )  <->  E. y
( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y 
z  C_  w )
)
18 excom 1752 . . 3  |-  ( E. y E. x ( x  =  ( card `  y )  /\  (
y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) )  <->  E. x E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) ) )
1917, 18bitr3i 243 . 2  |-  ( E. y ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w
)  <->  E. x E. y
( x  =  (
card `  y )  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y 
z  C_  w )
) )
2012, 19sylib 189 1  |-  ( A  e.  V  ->  E. x E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2670   E.wrex 2671    C_ wss 3284   ` cfv 5417   cardccrd 7782
This theorem is referenced by:  cfval  8087  cff  8088  cff1  8098
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-nul 4302
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-ral 2675  df-rex 2676  df-v 2922  df-sbc 3126  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-nul 3593  df-sn 3784  df-pr 3785  df-uni 3980  df-iota 5381  df-fv 5425
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