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Theorem cflem 7872
Description: A lemma used to simplify cofinality computations, showing the existence of the cardinal of an unbounded subset of a set  A. (Contributed by NM, 24-Apr-2004.)
Assertion
Ref Expression
cflem  |-  ( A  e.  V  ->  E. x E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) ) )
Distinct variable group:    x, y, z, w, A
Allowed substitution hints:    V( x, y, z, w)

Proof of Theorem cflem
StepHypRef Expression
1 ssid 3197 . . 3  |-  A  C_  A
2 ssid 3197 . . . . 5  |-  z  C_  z
3 sseq2 3200 . . . . . 6  |-  ( w  =  z  ->  (
z  C_  w  <->  z  C_  z ) )
43rspcev 2884 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  A  /\  z  C_  z )  ->  E. w  e.  A  z  C_  w )
52, 4mpan2 652 . . . 4  |-  ( z  e.  A  ->  E. w  e.  A  z  C_  w )
65rgen 2608 . . 3  |-  A. z  e.  A  E. w  e.  A  z  C_  w
7 sseq1 3199 . . . . 5  |-  ( y  =  A  ->  (
y  C_  A  <->  A  C_  A
) )
8 rexeq 2737 . . . . . 6  |-  ( y  =  A  ->  ( E. w  e.  y 
z  C_  w  <->  E. w  e.  A  z  C_  w ) )
98ralbidv 2563 . . . . 5  |-  ( y  =  A  ->  ( A. z  e.  A  E. w  e.  y 
z  C_  w  <->  A. z  e.  A  E. w  e.  A  z  C_  w ) )
107, 9anbi12d 691 . . . 4  |-  ( y  =  A  ->  (
( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y 
z  C_  w )  <->  ( A  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  A  z  C_  w ) ) )
1110spcegv 2869 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  (
( A  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  A  z  C_  w )  ->  E. y ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w
) ) )
121, 6, 11mp2ani 659 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  E. y
( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y 
z  C_  w )
)
13 fvex 5539 . . . . . 6  |-  ( card `  y )  e.  _V
1413isseti 2794 . . . . 5  |-  E. x  x  =  ( card `  y )
15 19.41v 1842 . . . . 5  |-  ( E. x ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) )  <->  ( E. x  x  =  ( card `  y )  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y 
z  C_  w )
) )
1614, 15mpbiran 884 . . . 4  |-  ( E. x ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) )  <->  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) )
1716exbii 1569 . . 3  |-  ( E. y E. x ( x  =  ( card `  y )  /\  (
y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) )  <->  E. y
( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y 
z  C_  w )
)
18 excom 1786 . . 3  |-  ( E. y E. x ( x  =  ( card `  y )  /\  (
y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) )  <->  E. x E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) ) )
1917, 18bitr3i 242 . 2  |-  ( E. y ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w
)  <->  E. x E. y
( x  =  (
card `  y )  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y 
z  C_  w )
) )
2012, 19sylib 188 1  |-  ( A  e.  V  ->  E. x E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544    C_ wss 3152   ` cfv 5255   cardccrd 7568
This theorem is referenced by:  cfval  7873  cff  7874  cff1  7884
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-nul 4149
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-sn 3646  df-pr 3647  df-uni 3828  df-iota 5219  df-fv 5263
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