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Theorem cflim2 7905
Description: The cofinality function is a limit ordinal iff its argument is. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
cflim2.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
cflim2  |-  ( Lim 
A  <->  Lim  ( cf `  A
) )

Proof of Theorem cflim2
Dummy variables  s 
y  x  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rabid 2729 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  { y  e. 
~P A  |  U. y  =  A }  <->  ( y  e.  ~P A  /\  U. y  =  A ) )
2 cflim2.1 . . . . . . . . . 10  |-  A  e. 
_V
32elpw2 4191 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ~P A  <->  y  C_  A )
4 limord 4467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Lim 
A  ->  Ord  A )
5 ordsson 4597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Ord 
A  ->  A  C_  On )
6 sstr 3200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  C_  A  /\  A  C_  On )  -> 
y  C_  On )
76expcom 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A 
C_  On  ->  ( y 
C_  A  ->  y  C_  On ) )
84, 5, 73syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Lim 
A  ->  ( y  C_  A  ->  y  C_  On ) )
98imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Lim  A  /\  y  C_  A )  ->  y  C_  On )
1093adant3 975 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Lim  A  /\  y  C_  A  /\  U. y  =  A )  ->  y  C_  On )
11 ssel2 3188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  C_  On  /\  s  e.  y )  ->  s  e.  On )
12 eloni 4418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( s  e.  On  ->  Ord  s )
13 ordirr 4426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Ord  s  ->  -.  s  e.  s )
1411, 12, 133syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  C_  On  /\  s  e.  y )  ->  -.  s  e.  s )
15 ssel 3187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y 
C_  s  ->  (
s  e.  y  -> 
s  e.  s ) )
1615com12 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( s  e.  y  ->  (
y  C_  s  ->  s  e.  s ) )
1716adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  C_  On  /\  s  e.  y )  ->  (
y  C_  s  ->  s  e.  s ) )
1814, 17mtod 168 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  C_  On  /\  s  e.  y )  ->  -.  y  C_  s )
1910, 18sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( Lim  A  /\  y  C_  A  /\  U. y  =  A )  /\  s  e.  y
)  ->  -.  y  C_  s )
20 simpl2 959 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( Lim  A  /\  y  C_  A  /\  U. y  =  A )  /\  s  e.  y
)  ->  y  C_  A )
21 sstr 3200 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  C_  A  /\  A  C_  s )  -> 
y  C_  s )
2220, 21sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( Lim  A  /\  y  C_  A  /\  U. y  =  A )  /\  s  e.  y )  /\  A  C_  s )  ->  y  C_  s )
2319, 22mtand 640 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( Lim  A  /\  y  C_  A  /\  U. y  =  A )  /\  s  e.  y
)  ->  -.  A  C_  s )
24 simpl3 960 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( Lim  A  /\  y  C_  A  /\  U. y  =  A )  /\  s  e.  y
)  ->  U. y  =  A )
2524sseq1d 3218 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( Lim  A  /\  y  C_  A  /\  U. y  =  A )  /\  s  e.  y
)  ->  ( U. y  C_  s  <->  A  C_  s
) )
2623, 25mtbird 292 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( Lim  A  /\  y  C_  A  /\  U. y  =  A )  /\  s  e.  y
)  ->  -.  U. y  C_  s )
27 unissb 3873 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U. y  C_  s  <->  A. t  e.  y  t  C_  s )
2826, 27sylnib 295 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Lim  A  /\  y  C_  A  /\  U. y  =  A )  /\  s  e.  y
)  ->  -.  A. t  e.  y  t  C_  s )
2928nrexdv 2659 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Lim  A  /\  y  C_  A  /\  U. y  =  A )  ->  -.  E. s  e.  y  A. t  e.  y  t  C_  s )
30 ssel 3187 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y 
C_  On  ->  ( s  e.  y  ->  s  e.  On ) )
31 ssel 3187 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y 
C_  On  ->  ( t  e.  y  ->  t  e.  On ) )
32 ontri1 4442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( t  e.  On  /\  s  e.  On )  ->  ( t  C_  s  <->  -.  s  e.  t ) )
3332ancoms 439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( s  e.  On  /\  t  e.  On )  ->  ( t  C_  s  <->  -.  s  e.  t ) )
34 vex 2804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  t  e. 
_V
35 vex 2804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  s  e. 
_V
3634, 35brcnv 4880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( t `'  _E  s  <->  s  _E  t )
37 epel 4324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( s  _E  t  <->  s  e.  t )
3836, 37bitri 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( t `'  _E  s  <->  s  e.  t )
3938notbii 287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( -.  t `'  _E  s  <->  -.  s  e.  t )
4033, 39syl6bbr 254 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( s  e.  On  /\  t  e.  On )  ->  ( t  C_  s  <->  -.  t `'  _E  s
) )
4140a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y 
C_  On  ->  ( ( s  e.  On  /\  t  e.  On )  ->  ( t  C_  s  <->  -.  t `'  _E  s
) ) )
4230, 31, 41syl2and 469 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y 
C_  On  ->  ( ( s  e.  y  /\  t  e.  y )  ->  ( t  C_  s  <->  -.  t `'  _E  s
) ) )
4342impl 603 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( y  C_  On  /\  s  e.  y )  /\  t  e.  y )  ->  ( t  C_  s  <->  -.  t `'  _E  s ) )
4443ralbidva 2572 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  C_  On  /\  s  e.  y )  ->  ( A. t  e.  y 
t  C_  s  <->  A. t  e.  y  -.  t `'  _E  s ) )
4544rexbidva 2573 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y 
C_  On  ->  ( E. s  e.  y  A. t  e.  y  t  C_  s  <->  E. s  e.  y 
A. t  e.  y  -.  t `'  _E  s ) )
4610, 45syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Lim  A  /\  y  C_  A  /\  U. y  =  A )  ->  ( E. s  e.  y  A. t  e.  y 
t  C_  s  <->  E. s  e.  y  A. t  e.  y  -.  t `'  _E  s ) )
4729, 46mtbid 291 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Lim  A  /\  y  C_  A  /\  U. y  =  A )  ->  -.  E. s  e.  y  A. t  e.  y  -.  t `'  _E  s
)
48 vex 2804 . . . . . . . . . . . . 13  |-  y  e. 
_V
4948a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Lim  A  /\  y  C_  A  /\  U. y  =  A )  /\  ( card `  y
)  e.  om )  ->  y  e.  _V )
50 epweon 4591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  _E  We  On
51 wess 4396 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y 
C_  On  ->  (  _E  We  On  ->  _E  We  y ) )
5250, 51mpi 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y 
C_  On  ->  _E  We  y )
53 weso 4400 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  (  _E  We  y  ->  _E  Or  y )
5452, 53syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y 
C_  On  ->  _E  Or  y )
55 cnvso 5230 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  (  _E  Or  y  <->  `'  _E  Or  y )
5654, 55sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y 
C_  On  ->  `'  _E  Or  y )
5756adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  C_  On  /\  ( card `  y )  e. 
om )  ->  `'  _E  Or  y )
58 onssnum 7683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  _V  /\  y  C_  On )  -> 
y  e.  dom  card )
5948, 58mpan 651 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y 
C_  On  ->  y  e. 
dom  card )
60 cardid2 7602 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  dom  card  ->  (
card `  y )  ~~  y )
61 ensym 6926 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
card `  y )  ~~  y  ->  y  ~~  ( card `  y )
)
6259, 60, 613syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y 
C_  On  ->  y  ~~  ( card `  y )
)
63 nnsdom 7370 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
card `  y )  e.  om  ->  ( card `  y )  ~<  om )
64 ensdomtr 7013 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  ~~  ( card `  y )  /\  ( card `  y )  ~<  om )  ->  y  ~<  om )
6562, 63, 64syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  C_  On  /\  ( card `  y )  e. 
om )  ->  y  ~<  om )
66 isfinite 7369 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  Fin  <->  y  ~<  om )
6765, 66sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  C_  On  /\  ( card `  y )  e. 
om )  ->  y  e.  Fin )
68 wofi 7122 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( `'  _E  Or  y  /\  y  e.  Fin )  ->  `'  _E  We  y )
6957, 67, 68syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  C_  On  /\  ( card `  y )  e. 
om )  ->  `'  _E  We  y )
7010, 69sylan 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Lim  A  /\  y  C_  A  /\  U. y  =  A )  /\  ( card `  y
)  e.  om )  ->  `'  _E  We  y )
71 wefr 4399 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( `'  _E  We  y  ->  `'  _E  Fr  y )
7270, 71syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Lim  A  /\  y  C_  A  /\  U. y  =  A )  /\  ( card `  y
)  e.  om )  ->  `'  _E  Fr  y )
73 ssid 3210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  y  C_  y
7473a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Lim  A  /\  y  C_  A  /\  U. y  =  A )  /\  ( card `  y
)  e.  om )  ->  y  C_  y )
75 unieq 3852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  (/)  ->  U. y  =  U. (/) )
76 uni0 3870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  U. (/)  =  (/)
7775, 76syl6eq 2344 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  (/)  ->  U. y  =  (/) )
78 eqeq1 2302 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( U. y  =  A  ->  ( U. y  =  (/)  <->  A  =  (/) ) )
7977, 78syl5ib 210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( U. y  =  A  ->  ( y  =  (/)  ->  A  =  (/) ) )
80 nlim0 4466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  -.  Lim  (/)
81 limeq 4420 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  =  (/)  ->  ( Lim 
A  <->  Lim  (/) ) )
8280, 81mtbiri 294 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  =  (/)  ->  -.  Lim  A )
8379, 82syl6 29 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( U. y  =  A  ->  ( y  =  (/)  ->  -.  Lim  A ) )
8483necon2ad 2507 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( U. y  =  A  ->  ( Lim  A  ->  y  =/=  (/) ) )
8584impcom 419 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Lim  A  /\  U. y  =  A )  ->  y  =/=  (/) )
86853adant2 974 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Lim  A  /\  y  C_  A  /\  U. y  =  A )  ->  y  =/=  (/) )
8786adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Lim  A  /\  y  C_  A  /\  U. y  =  A )  /\  ( card `  y
)  e.  om )  ->  y  =/=  (/) )
88 fri 4371 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  _V  /\  `'  _E  Fr  y )  /\  ( y  C_  y  /\  y  =/=  (/) ) )  ->  E. s  e.  y 
A. t  e.  y  -.  t `'  _E  s )
8949, 72, 74, 87, 88syl22anc 1183 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Lim  A  /\  y  C_  A  /\  U. y  =  A )  /\  ( card `  y
)  e.  om )  ->  E. s  e.  y 
A. t  e.  y  -.  t `'  _E  s )
9047, 89mtand 640 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Lim  A  /\  y  C_  A  /\  U. y  =  A )  ->  -.  ( card `  y )  e.  om )
91 cardon 7593 . . . . . . . . . . 11  |-  ( card `  y )  e.  On
92 eloni 4418 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
card `  y )  e.  On  ->  Ord  ( card `  y ) )
93 ordom 4681 . . . . . . . . . . . 12  |-  Ord  om
94 ordtri1 4441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Ord  om  /\  Ord  ( card `  y )
)  ->  ( om  C_  ( card `  y
)  <->  -.  ( card `  y )  e.  om ) )
9593, 94mpan 651 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Ord  ( card `  y
)  ->  ( om  C_  ( card `  y
)  <->  -.  ( card `  y )  e.  om ) )
9691, 92, 95mp2b 9 . . . . . . . . . 10  |-  ( om  C_  ( card `  y
)  <->  -.  ( card `  y )  e.  om )
9790, 96sylibr 203 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Lim  A  /\  y  C_  A  /\  U. y  =  A )  ->  om  C_  ( card `  y ) )
983, 97syl3an2b 1219 . . . . . . . 8  |-  ( ( Lim  A  /\  y  e.  ~P A  /\  U. y  =  A )  ->  om  C_  ( card `  y ) )
99983expb 1152 . . . . . . 7  |-  ( ( Lim  A  /\  (
y  e.  ~P A  /\  U. y  =  A ) )  ->  om  C_  ( card `  y ) )
1001, 99sylan2b 461 . . . . . 6  |-  ( ( Lim  A  /\  y  e.  { y  e.  ~P A  |  U. y  =  A } )  ->  om  C_  ( card `  y
) )
101100ralrimiva 2639 . . . . 5  |-  ( Lim 
A  ->  A. y  e.  { y  e.  ~P A  |  U. y  =  A } om  C_  ( card `  y ) )
102 ssiin 3968 . . . . 5  |-  ( om  C_  |^|_ y  e.  {
y  e.  ~P A  |  U. y  =  A }  ( card `  y
)  <->  A. y  e.  {
y  e.  ~P A  |  U. y  =  A } om  C_  ( card `  y ) )
103101, 102sylibr 203 . . . 4  |-  ( Lim 
A  ->  om  C_  |^|_ y  e.  { y  e.  ~P A  |  U. y  =  A }  ( card `  y ) )
1042cflim3 7904 . . . 4  |-  ( Lim 
A  ->  ( cf `  A )  =  |^|_ y  e.  { y  e.  ~P A  |  U. y  =  A } 
( card `  y )
)
105103, 104sseqtr4d 3228 . . 3  |-  ( Lim 
A  ->  om  C_  ( cf `  A ) )
106 fvex 5555 . . . . . . 7  |-  ( card `  y )  e.  _V
107106dfiin2 3954 . . . . . 6  |-  |^|_ y  e.  { y  e.  ~P A  |  U. y  =  A }  ( card `  y )  =  |^| { x  |  E. y  e.  { y  e.  ~P A  |  U. y  =  A } x  =  ( card `  y
) }
108104, 107syl6eq 2344 . . . . 5  |-  ( Lim 
A  ->  ( cf `  A )  =  |^| { x  |  E. y  e.  { y  e.  ~P A  |  U. y  =  A } x  =  ( card `  y
) } )
109 cardlim 7621 . . . . . . . . 9  |-  ( om  C_  ( card `  y
)  <->  Lim  ( card `  y
) )
110 sseq2 3213 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( card `  y
)  ->  ( om  C_  x  <->  om  C_  ( card `  y ) ) )
111 limeq 4420 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( card `  y
)  ->  ( Lim  x 
<->  Lim  ( card `  y
) ) )
112110, 111bibi12d 312 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( card `  y
)  ->  ( ( om  C_  x  <->  Lim  x )  <-> 
( om  C_  ( card `  y )  <->  Lim  ( card `  y ) ) ) )
113109, 112mpbiri 224 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( card `  y
)  ->  ( om  C_  x  <->  Lim  x ) )
114113rexlimivw 2676 . . . . . . 7  |-  ( E. y  e.  { y  e.  ~P A  |  U. y  =  A } x  =  ( card `  y )  -> 
( om  C_  x  <->  Lim  x ) )
115114ss2abi 3258 . . . . . 6  |-  { x  |  E. y  e.  {
y  e.  ~P A  |  U. y  =  A } x  =  (
card `  y ) }  C_  { x  |  ( om  C_  x  <->  Lim  x ) }
116 eleq1 2356 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( card `  y
)  ->  ( x  e.  On  <->  ( card `  y
)  e.  On ) )
11791, 116mpbiri 224 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( card `  y
)  ->  x  e.  On )
118117rexlimivw 2676 . . . . . . . 8  |-  ( E. y  e.  { y  e.  ~P A  |  U. y  =  A } x  =  ( card `  y )  ->  x  e.  On )
119118abssi 3261 . . . . . . 7  |-  { x  |  E. y  e.  {
y  e.  ~P A  |  U. y  =  A } x  =  (
card `  y ) }  C_  On
120 fvex 5555 . . . . . . . . 9  |-  ( cf `  A )  e.  _V
121108, 120syl6eqelr 2385 . . . . . . . 8  |-  ( Lim 
A  ->  |^| { x  |  E. y  e.  {
y  e.  ~P A  |  U. y  =  A } x  =  (
card `  y ) }  e.  _V )
122 intex 4183 . . . . . . . 8  |-  ( { x  |  E. y  e.  { y  e.  ~P A  |  U. y  =  A } x  =  ( card `  y
) }  =/=  (/)  <->  |^| { x  |  E. y  e.  {
y  e.  ~P A  |  U. y  =  A } x  =  (
card `  y ) }  e.  _V )
123121, 122sylibr 203 . . . . . . 7  |-  ( Lim 
A  ->  { x  |  E. y  e.  {
y  e.  ~P A  |  U. y  =  A } x  =  (
card `  y ) }  =/=  (/) )
124 onint 4602 . . . . . . 7  |-  ( ( { x  |  E. y  e.  { y  e.  ~P A  |  U. y  =  A }
x  =  ( card `  y ) }  C_  On  /\  { x  |  E. y  e.  {
y  e.  ~P A  |  U. y  =  A } x  =  (
card `  y ) }  =/=  (/) )  ->  |^| { x  |  E. y  e.  {
y  e.  ~P A  |  U. y  =  A } x  =  (
card `  y ) }  e.  { x  |  E. y  e.  {
y  e.  ~P A  |  U. y  =  A } x  =  (
card `  y ) } )
125119, 123, 124sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( Lim 
A  ->  |^| { x  |  E. y  e.  {
y  e.  ~P A  |  U. y  =  A } x  =  (
card `  y ) }  e.  { x  |  E. y  e.  {
y  e.  ~P A  |  U. y  =  A } x  =  (
card `  y ) } )
126115, 125sseldi 3191 . . . . 5  |-  ( Lim 
A  ->  |^| { x  |  E. y  e.  {
y  e.  ~P A  |  U. y  =  A } x  =  (
card `  y ) }  e.  { x  |  ( om  C_  x  <->  Lim  x ) } )
127108, 126eqeltrd 2370 . . . 4  |-  ( Lim 
A  ->  ( cf `  A )  e.  {
x  |  ( om  C_  x  <->  Lim  x ) } )
128 sseq2 3213 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( cf `  A
)  ->  ( om  C_  x  <->  om  C_  ( cf `  A ) ) )
129 limeq 4420 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( cf `  A
)  ->  ( Lim  x 
<->  Lim  ( cf `  A
) ) )
130128, 129bibi12d 312 . . . . 5  |-  ( x  =  ( cf `  A
)  ->  ( ( om  C_  x  <->  Lim  x )  <-> 
( om  C_  ( cf `  A )  <->  Lim  ( cf `  A ) ) ) )
131120, 130elab 2927 . . . 4  |-  ( ( cf `  A )  e.  { x  |  ( om  C_  x  <->  Lim  x ) }  <->  ( om  C_  ( cf `  A
)  <->  Lim  ( cf `  A
) ) )
132127, 131sylib 188 . . 3  |-  ( Lim 
A  ->  ( om  C_  ( cf `  A
)  <->  Lim  ( cf `  A
) ) )
133105, 132mpbid 201 . 2  |-  ( Lim 
A  ->  Lim  ( cf `  A ) )
134 eloni 4418 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  On  ->  Ord  A )
135 ordzsl 4652 . . . . . . 7  |-  ( Ord 
A  <->  ( A  =  (/)  \/  E. x  e.  On  A  =  suc  x  \/  Lim  A ) )
136134, 135sylib 188 . . . . . 6  |-  ( A  e.  On  ->  ( A  =  (/)  \/  E. x  e.  On  A  =  suc  x  \/  Lim  A ) )
137 df-3or 935 . . . . . . 7  |-  ( ( A  =  (/)  \/  E. x  e.  On  A  =  suc  x  \/  Lim  A )  <->  ( ( A  =  (/)  \/  E. x  e.  On  A  =  suc  x )  \/  Lim  A ) )
138 orcom 376 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  =  (/)  \/ 
E. x  e.  On  A  =  suc  x )  \/  Lim  A )  <-> 
( Lim  A  \/  ( A  =  (/)  \/  E. x  e.  On  A  =  suc  x ) ) )
139 df-or 359 . . . . . . 7  |-  ( ( Lim  A  \/  ( A  =  (/)  \/  E. x  e.  On  A  =  suc  x ) )  <-> 
( -.  Lim  A  ->  ( A  =  (/)  \/ 
E. x  e.  On  A  =  suc  x ) ) )
140137, 138, 1393bitri 262 . . . . . 6  |-  ( ( A  =  (/)  \/  E. x  e.  On  A  =  suc  x  \/  Lim  A )  <->  ( -.  Lim  A  ->  ( A  =  (/)  \/  E. x  e.  On  A  =  suc  x ) ) )
141136, 140sylib 188 . . . . 5  |-  ( A  e.  On  ->  ( -.  Lim  A  ->  ( A  =  (/)  \/  E. x  e.  On  A  =  suc  x ) ) )
142 fveq2 5541 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  (/)  ->  ( cf `  A )  =  ( cf `  (/) ) )
143 cf0 7893 . . . . . . . . 9  |-  ( cf `  (/) )  =  (/)
144142, 143syl6eq 2344 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  (/)  ->  ( cf `  A )  =  (/) )
145 limeq 4420 . . . . . . . 8  |-  ( ( cf `  A )  =  (/)  ->  ( Lim  ( cf `  A
)  <->  Lim  (/) ) )
146144, 145syl 15 . . . . . . 7  |-  ( A  =  (/)  ->  ( Lim  ( cf `  A
)  <->  Lim  (/) ) )
14780, 146mtbiri 294 . . . . . 6  |-  ( A  =  (/)  ->  -.  Lim  ( cf `  A ) )
148 1n0 6510 . . . . . . . . . 10  |-  1o  =/=  (/)
149 df1o2 6507 . . . . . . . . . . . 12  |-  1o  =  { (/) }
150149unieqi 3853 . . . . . . . . . . 11  |-  U. 1o  =  U. { (/) }
151 0ex 4166 . . . . . . . . . . . 12  |-  (/)  e.  _V
152151unisn 3859 . . . . . . . . . . 11  |-  U. { (/)
}  =  (/)
153150, 152eqtri 2316 . . . . . . . . . 10  |-  U. 1o  =  (/)
154148, 153neeqtrri 2482 . . . . . . . . 9  |-  1o  =/=  U. 1o
155 limuni 4468 . . . . . . . . . 10  |-  ( Lim 
1o  ->  1o  =  U. 1o )
156155necon3ai 2499 . . . . . . . . 9  |-  ( 1o  =/=  U. 1o  ->  -. 
Lim  1o )
157154, 156ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  -.  Lim  1o
158 fveq2 5541 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =  suc  x  -> 
( cf `  A
)  =  ( cf ` 
suc  x ) )
159 cfsuc 7899 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  On  ->  ( cf `  suc  x )  =  1o )
160158, 159sylan9eqr 2350 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  On  /\  A  =  suc  x )  ->  ( cf `  A
)  =  1o )
161 limeq 4420 . . . . . . . . 9  |-  ( ( cf `  A )  =  1o  ->  ( Lim  ( cf `  A
)  <->  Lim  1o ) )
162160, 161syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  On  /\  A  =  suc  x )  ->  ( Lim  ( cf `  A )  <->  Lim  1o ) )
163157, 162mtbiri 294 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  On  /\  A  =  suc  x )  ->  -.  Lim  ( cf `  A ) )
164163rexlimiva 2675 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  On  A  =  suc  x  ->  -.  Lim  ( cf `  A
) )
165147, 164jaoi 368 . . . . 5  |-  ( ( A  =  (/)  \/  E. x  e.  On  A  =  suc  x )  ->  -.  Lim  ( cf `  A
) )
166141, 165syl6 29 . . . 4  |-  ( A  e.  On  ->  ( -.  Lim  A  ->  -.  Lim  ( cf `  A
) ) )
167166con4d 97 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  ( Lim  ( cf `  A
)  ->  Lim  A ) )
168 cff 7890 . . . . . . . . 9  |-  cf : On
--> On
169168fdmi 5410 . . . . . . . 8  |-  dom  cf  =  On
170169eleq2i 2360 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  dom  cf  <->  A  e.  On )
171 ndmfv 5568 . . . . . . 7  |-  ( -.  A  e.  dom  cf  ->  ( cf `  A
)  =  (/) )
172170, 171sylnbir 298 . . . . . 6  |-  ( -.  A  e.  On  ->  ( cf `  A )  =  (/) )
173172, 145syl 15 . . . . 5  |-  ( -.  A  e.  On  ->  ( Lim  ( cf `  A
)  <->  Lim  (/) ) )
17480, 173mtbiri 294 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  On  ->  -. 
Lim  ( cf `  A
) )
175174pm2.21d 98 . . 3  |-  ( -.  A  e.  On  ->  ( Lim  ( cf `  A
)  ->  Lim  A ) )
176167, 175pm2.61i 156 . 2  |-  ( Lim  ( cf `  A
)  ->  Lim  A )
177133, 176impbii 180 1  |-  ( Lim 
A  <->  Lim  ( cf `  A
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    \/ w3o 933    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   {cab 2282    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   {crab 2560   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   (/)c0 3468   ~Pcpw 3638   {csn 3653   U.cuni 3843   |^|cint 3878   |^|_ciin 3922   class class class wbr 4039    _E cep 4319    Or wor 4329    Fr wfr 4365    We wwe 4367   Ord word 4407   Oncon0 4408   Lim wlim 4409   suc csuc 4410   omcom 4672   `'ccnv 4704   dom cdm 4705   ` cfv 5271   1oc1o 6488    ~~ cen 6876    ~< csdm 6878   Fincfn 6879   cardccrd 7584   cfccf 7586
This theorem is referenced by:  cfom  7906
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-card 7588  df-cf 7590
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